WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 10 01;03 Нелинейные капиллярно-гравитационные периодические волны на заряженной поверхности вязкой жидкости конечной глубины © А.В. Климов, Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: grig@uniyar.ac.ru (Поступило в Редакцию 16 февраля 2005 г.) В асимптотических расчетах второго порядка малости по амплитуде периодической бегущей капиллярногравитационной волны на однородно заряженной свободной поверхности вязкой несжимаемой жидкости конечной глубины найдено аналитическое выражение для временной зависимости профиля нелинейной волны. Выяснилось, что вид зависимости от вязкости жидкости и толщины ее слоя нелинейной поправки к линейному решению при переходе от толстых слоев жидкости к тонким качественно изменяется.

1. Исследование нелинейных периодических капил- поверхности жидкости в положительном направлении лярно-гравитационных волновых движений жидкости оси Ox распространяется волна амплитуды, которая представляет как академический, так и практический принимается меньшей длины волны с волновым чисинтерес в связи с широким распространением такого лом k и много меньшей капиллярной постоянной жид физического объекта. В этой связи за последние полтора кости a /g. Отношение к a определяет малый столетия обсуждаемой проблеме посвящено множество параметр задачи. Физические величины,,, g, d, E0, работ. Учет таких факторов, как вязкость жидкости, на-, k считаются постоянными. Кроме того, принимается, личие поверхностного заряда, конечность, но не малость что все переменные в пространстве величины не зависят толщины слоя жидкости, существенно усложняет и без от координаты y.

того непростую проблему. В последние годы выполнено С учетом вышесказанного математическая модель несколько детальных исследований нелинейных перионелинейного периодического капиллярно-волнового двидических волн на заряженной свободной поверхности жения на однородно заряженной поверхности вязкой бесконечно глубокой идеальной жидкости [1–4] на заэлектропроводной жидкости записывается в виде ряженной свободной поверхности бесконечно глубокой вязкой жидкости [5,6]. Большая часть нелинейных ис- U -d z : +( U) U следований волновых движений жидкости на заряженt ной поверхности слоев вязкой жидкости выполнена в 1 приближении „мелкой воды“, когда малым параметром = - p + U2 + gz + U; · U = 0;

задачи является отношение длины волны к толщине жидкой пленки (см., например, [7–10]). Подобное упроz : = 0; z : = -E0 · nz ;

щение не всегда обосновано [11], к тому же большинство работ сводится просто к выводу нелинейных уравнений, z = : + u = w;

имеющих именно солитонные решения [7–9].

t x Целью настоящей работы являются исследование · (n · )U + n · ( · )U = 0;

нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн на поверхности слоя вязкой электропроводной ( )жидкости конечной глубины, отыскание аналитического p - 2n · (n · )U + решения, пригодного при произвольных толщинах слоев -3/жидкости, допускающего экстраполяцию к тонким сло- ям жидкости, а также анализ одновременного влияния = - 1 + ; = 0;

x2 x вязкости жидкости и ее глубины на закономерности реализации нелинейного волнового движения.

z = -d : u = 0; w = 0, (1) 2. Пусть несжимаемая жидкость с плотностю, кигде = (x, t) — отклонение свободной поверхности нематической вязкостью, коэффициентом поверхностного натяжения заполняет в поле тяжести g -nz жидкости от равновесной плоской формы z = 0, вызванное волновым движением; U =(u, 0, w) —поле скоробесконечный в плоскости XOY слой -d z 0 в стей жидкости; p(r, t) — гидродинамическое давление декартовой системе координат x, y, z с началом на внутри жидкости; (r, t) — потенциал электрического невозмущенной свободной поверхности жидкости (nz — орт оси z ). Идеально электропроводная жидкость на- поля; n и — орты нормали и касательной к возходится в однородном электрическом поле с напря- мущенной волновым движением свободной поверхности женностью E0, вектор которого направлен вниз. По жидкости.

10 А.В. Климов, Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев w1 E0 Начальные условия, как это принято в задачах расчета -g1 + p1 - 2 - + = 0;

нелинейного периодического волнового движения [3–6], z 4 z xподбираются таким образом, чтобы получаемое в итоге z = -d : u1 = 0; w1 = 0, (3) решение имело как можно более простой вид. В качегде U1 —векторное поле (u1, 0, v1).

стве такого условия можно положить, что возмущение свободной поверхности в первом приближении по ма- 4б. Нетрудно убедиться в том, что уравнения неразрывности и Навье–Стокса, а также поле давлений могут лой амплитуде волны имеет вид бегущей вдоль оси быть записаны через потенциал поля скоростей 1 и абсцисс гармонической волны функцию тока 1 в виде (x, t) =2 exp(St - ikx) +c.c. + o(), (1a) 1 1 1 = 0; - 1 = 0; u1 = - ;

где S — комплексная частота волны, c.c. — комплексноt x z сопряженное слагаемое.

1 1 Ввиду крайней громоздкости решаемой задачи ограw1 = + ; p1 = -. (3a) z x t ничим свои цели выводом аналитического выражения для профиля нелинейных волн на поверхности жидкоВыражение для формы свободной поверхности 1 в сти. Все остальные искомые величины (поля скоростей комплексной форме представляется бегущей волной течения жидкости в слое, распределение давления в жидкости и электрического потенциала над ее поверхно- 1(x, t) = exp(St - ikx), (4) стью) будут определяться в процессе вычислений, но их где амплитудный множитель выражается через амплиявные конечные аналитические выражения выписывать туду начальной волны.

не станем из-за ограниченности объема статьи.

В итоге решение задачи первого порядка малости 3. В нулевом приближении свободная поверхность сводится к нахождению неизвестных величин 1, 1, жидкости является невозмущенной 0(x, t) =0. Величии комплексной частоты S.

ны полей скоростей и давления в жидкости, а также Выражения для потенциала скорости 1, функции электрического потенциала в пространстве над жидкотока 1, электрического потенциала будем искать в стью определяются из соотношений (1) виде, аналогичном виду 1, Eu0 = w0 = 0; p0 = - - gz ; = -E0z.

1(x, z, t) =B(z ) · exp(St - ikx);

Решение задачи (1) будем искать в виде разложения 1(x, z, t) =C(z ) · exp(St - ikx);

неизвестных компонент профиля свободной поверхно (x, z, t) =A(z ) · exp(St - ikx); (5) сти жидкости, поля скоростей (u, 0, w), давления p, электрического потенциала по степеням малого парагде A, B, C — амплитуды, подлежащие дальнейшему метра определению.

После подстановки выражений (4), (5) в (3), (3a) = 1 + 22 + O(3); u = u1 + 2u2 + O(3);

можно найти искомые величины электрического потенциала, давления p1 и компонент поля скоростей w = w1 + 2w2 + O(3);

u1 и w = E0 · exp(St - ikx - kz );

p = p0 + p1 + 2 p2 + O(3);

iS = + + 2 + O(3). (2) p1 = - 2 · q ch(k(z + d)) 0 1 k Подставим в (1) выражения (2) и разобьем задачу по + 1 sh(k(z + d)) exp(St - ikx);

порядкам малости.

4а. В первом порядке малости получим u1 = 2 · q ch(k(z + d)) U1 + 1 · k sh(k(z + d)) - 2 · q ch(q(z + d)) -d z 0 : + pt - 1 · q sh(q(z + d)) · exp(St - ikx);

- U1 = 0; · U1 = 0;

w1 = i 1 · k ch(k(z + d)) z 0 : = 0;

+ 2 · q sh k(z + d) - 1 · k ch(q(z + d)) z : | | 0; - E01 = 0;

1 - 2 · k sh(q(z + d)) exp(St - ikx);

1 u1 wz = 0 : - w1 = 0; + = 0;

q = k2 + S/, (6) t z x Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Нелинейные капиллярно-гравитационные периодические волны на заряженной поверхности... где частота S определяется из дисперсионного уравнения [12] EDet M = 0; 0 = gk 1 + k2 - k ; kd; qd;

g 4g k 00 -q 01 -10 M = - sh() - ch() ch( ) sh( ) S, (k2 + q2) ch() (k2 + q2) sh() -2kq sh( ) -2kq ch( ) - -2k2 sh() -2k2 ch() (k2 + q2) ch( ) (k2 + q2) sh( ) 5а. Полученная во втором порядке малости задача а постоянные 1, 2 имеют вид представляет собой систему неоднородных линейных i(2 sh() - (k2 + q2) sh( )) дифференциальных уравнений в частных производных.

1 - ;

Согласно принятому в методах возмущений правилу, q ch( ) sh() - k ch() sh( ) при решении задач методом малого параметра определяется общее решение задачи первого приближения, а i(2k2 ch() - (k2 + q2) ch( )) 2.

затем частное решение задачи второго порядка малости.

q ch( ) sh() - k ch( ) sh( ) Известно, что частное решение системы дифференциВажно отметить, что мы получили решение задачи альных уравнений определяется в виде, аналогичном первого порядка малости в комплексном виде с начальвиду ее правых частей (неоднородностей). Поэтому снаным условием (4). Чтобы решение задачи было действичала необходимо вычислить правые части соотношений тельным вида (1a), найденные величины (6) необходимо (7), (8) и (10)-(13). Это делается подстановкой вырадополнить комплексно-сопряженными частями и положений (8) в данные соотношения. При этом необходимо жить = 2.

принимать во внимание наличие у величин, p1, u1, 5. Во втором порядке малости получим задачу w1 и 1 комплексно-сопряженных слагаемых.

Неоднородную систему уравнений (7), (8) удобно -d z 0 : · U2 = 0; (7) записать в матричной форме, где вектор-функция неоднородности будет иметь вид U2 + p2 - U t Fj = 2 exp (S + S)t Aji ch(Qi (d + z )) i== - (U1 ) - ( U1) U1; (8) + H sh(Qi(d + z )) + 2 exp(2St - 2ikx) ji z 0 : = 0; (9) Vj0 + Z ch(Qi(d + z ))+C sh(Qi(d + z )) + c.c.;

2 w1 1 ji ji z = 0 : - w2 = 1 - u1 ; (10) i=t z x Q1 = k + q, Q2 = k - q, Q3 = q + q, - E02 = -1 1 ; (11) z Q4 = q - q, Q5 = 2k, (16) где Aji, H, Vji, C — некоторые матрицы размером w2 E0 22 ji ji -g2 + p2 - 2 - + 3 5 с коэффициентами не зависящими от времени и z 4 z x пространственных координат.

2w1 p1 1 1 2 1 Формулы для них не приведены ввиду их чрезмерной = 21 2 - 1 - + z z 8 x z громоздкости, но их явный вид легко может быть восстановлен подстановкой в правую часть системы (7), (8) E0 2 1 u1 1 wрешений первого порядка малости (6).

+ 1 21 - 2 - 2 ; (12) 4 z x z x x Вектор-функция неоднородности системы (10)-(13) имеет вид u2 w2 1 u+ = z x x x G = 2 exp (S + S)t N + N ch(dk) j j0 j1 w1 2w1 2u+ Uj1 sh(dk) +N ch(dq) +Uj2 sh(dq) - 2 - 1 - 1 2 ; (13) jx z xz z + 2 exp(2St - 2ikx) M + M ch(dk) j0 jz = -d : u2 = 0; w2 = 0; (14) + Tj1 sh(dk) +M ch(dq) +Tj2 sh(dq) + c.c., (17) jz : | | 0, (15) где N, Uji, M, Tji — некоторые матрицы размерноji ji где U2 =(u2, 0, w2). сти 4 3.

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 12 А.В. Климов, Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев Формулы для них не приведены ввиду их чрезмерной зависящими от параметров громоздкости, но их явный вид легко может быть восстановлен подстановкой в правую часть системы (10)-(13) L1(K, Q, ) = решений первого порядка малости (6). (K2 - Q2)((K2 - Q2) + ) 5б. Решением задачи второго порядка малости яв ляются аналитические выражения для неизвестных, 2 -Q2 0 iK((K2 - Q2) + ) p2, u2, w2 и 2. Дальнейшие рассуждения основаны на 0 K2 0 ;

представлении величин u2, w2, p2 в виде суммы iK((K2 - Q2) + ) 0 ((K2 - Q2) + 2) (u2, v2, p2) = u+, w+, p+ + u, w, p, (18) 2 2 2 2 2 Q L2(K, Q, ) = где первое слагаемое этой суммы (u+, w+, p+), име- (K2 - Q2)((K2 - Q2) + ) 2 2 нуемое в дальнейшем негибкой частью решения, пред ставляет собой частное решение системы уравне0 iK ний (7), (8), а второе слагаемое (u, w, p) вместе iK 2 2 0 (K2 - Q2) +.

с величинами и 2 составляет так называемую 0 ((K2 - Q2) + ) гибкую часть решения. Гибкая часть решения формируется на основе решения соответствующей (7), (8) Указанное линейное преобразование действует следуоднородной системы и содержит две произвольных конющим образом:

станты, значения которых выбираются таким образом, чтобы вся сумма (18) удовлетворяла граничным услови a = L1(0, Qi, S + S)Aji + L2(0, Qi, S + S)H ;

ji ji ям (10)-(15).

Сначала определим негибкую часть решения. Искать hji = L1(0, Qi, S + S)H + L2(0, Qi, S + S)Aji;

ji ее в соответствии с видом функций неоднородности Fji необходимо в виде g = L1(2k, Qi, 2S)Vji + L2(2k, Qi, 2S)C ;

ji ji (u+,w+, p+) =2 exp (S + S)t 2 2 c = L1(2k, Qi, 2S)C + L2(2k, Qi, 2S)Vji.

ji ji a ch(Qi(d + z )) + hji sh(Qi (d + z )) Данные выражения необходимо подставить в (19), что ji i=позволит найти окончательный вид выражений u+, w+ 2 и p+.

Гибкая часть решения задачи второго порядка малости + 2 exp(2St - 2ikx) g + g ch(Qi (d + z )) j0 ji является решением системы (7), (8) с нулевой правой i=частью. Данные уравнения эквивалентны следующей системе уравнений относительно потенциалов и функций + c sh(Qi(d + z )) + c.c., (19) ji тока:

2 2 где a, hji, g, c — неизвестные матрицы размером ji ji ji 2 = 0; - 2 = 0; u = - ;

t x z 3 5 с коэффициентами, не зависящими от времени и пространственных координат.

2 2 Чтобы их определить, необходимо подставить (19) в w = + ; p = -. (20) 2 систему уравнений (7), (8), правая часть которых имеет z x t вид (16). Затем в этой системе надо приравнять нулю Поскольку неоднородности уравнений (7), (8), опрекоэффициенты при одинаковых выражениях вида деляемые равенством (16), являются линейными комби нациями множителей exp (S + S)t и exp(2St - 2ikx), то exp( t - iKx) ch Q(d + z ) ;

искать гибкую часть решения задачи следует в виде exp( t - iKx) sh Q(d + z ).

2 = 2 exp (S + S)t Z0 + 2 exp(2St - 2ikx)Z1 + c.c.;

При этом (7), (8) распадается на некоторое количе ство простых систем алгебраических уравнений, из кото 2, 2, = 2 exp (S + S)t A0(z ) рых затем нетрудно выразить компоненты неизвестных коэффициентов a, hji, g, c.

ji ji ji + 2 exp(2St - 2ikx)A1(z ) +c.c., (21) На языке линейных преобразований данные неизвестные матрицы получаются из матриц Aji, H, Vji, C дей- где Zi — неизвестные постоянные, Ai(z ) — трехэлементji ji ствием линейного оператора, который задан матрицами, ные столбцы неизвестных постоянных.

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Нелинейные капиллярно-гравитационные периодические волны на заряженной поверхности... Подстановка выражений (21) в соотношения (7), (9), Оператор действует следующим образом:

(15), (20) позволяет уточнить вид функций Ai ивыразить 2 = 2 exp (S + S)t Z0Yu, w и p 2 2 + 2 exp(2St - 2ikx)Z1Y1 + c.c.;

= 2a0 exp (S + S)t T Y0 = S + S, -g, 0, -E0 ;

+ 2a1 exp(2St - 2ikx - 2kz ) +c.c.;

T Y1 = 2S, -g - 4k2, 0, -E0, (23) T u, w, p = 2 exp (S + S)t b00 · f + b10 · j2 2 где T — символ транспонирования матрицы.

Действие оператора B на выражения вида + b10 · f · (d + z ) +c00 · p0 · sh(w0(d + z )) (u, w, p)T = exp( t - iKx) + c10 · p0 ch(w0(d + z )) + 2 exp(2St - 2ikx) Aj ch(Q(d + z )) + H sh(Q(d + z )) ;

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.