WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 1998, том 68, № 2 01;02 Потери энергии релятивистских многозарядных ионов в электронной плазме © В.И. Матвеев1, С.Г. Толманов2 1 Научно-исследовательский институт прикладной физики Ташкентского государственного университета, 700005 Ташкент, Узбекистан 2 Отдел теплофизики АН Узбекистана, 700135 Ташкент, Узбекистан (Поступило в Редакцию 4 августа 1995 г. В окончательной редакции 23 октября 1996 г.) Получена простая формула для расчетов потерь энергии релятивистского многозарядного иона при движении в электронной плазме в области неприменимости борновского приближения. Вклад в потери энергии обусловленный столкновениями с отдельными электронами вычислен путем использования точного решения уравнения Дирака для кулоновского релятивистского рассеяния.

Введение вырождения 4N Ze2 2 dE k1V Известно, что быстрые заряженные частицы, движу= - ln, (2) dx mV2 p щиеся в плазме, тормозятся в основном при взаимодействии с электронами. Поляризационные потери энергии где m — масса электрона, p = 4Ne2/m — плазиона, движущегося в электронной плазме, могут быть менная частота, N — плотность электронной плазмы;

вычислены в рамках диэлектрического формализма. Выв) для параметров удара, меньших b1, потери энергии ражение для потерь энергии на единицу пути имеет обусловлены столкновениями с отдельными электровид [1] нами и могут быть рассчитаны с помощью формулы Резерфорда, которая, как известно, является точным dE Z2e2 решением для кулоновского рассеяния описываемого = d3k dx 22iV нерелятивистским уравнением Шредингера.

В случае расчета потерь энергии релятивистского мно2 (V -2/k2) гозарядного иона мы должны действовать следующим -. (1) k2l(k, ) c2 k2 -2tr(k, )/c2 образом: пункты а и б остаются без изменения, а пункт в меняется: для релятивистских скоростей столкновений необходимо решать задачу рассеяния для уравнения ДиЗдесь E — энергия иона, x — его координата, Ze — рака, результатом точного решением которой является заряд иона, V — его скорость, l(k, ) и tr(k, ) — сечение Мотта. Если же Ze — заряд иона, такой что соответственно продольная и поперечная проницаемости Ze2/ V 1, то можно ограничиться первым борновгаза, c — скорость света, = kV, e — заряд элекским приближением.

трона. Стандартная схема вычислений по формуле (1) В настоящей работе мы предполагаем, что Z поляризационных потерь энергии быстрого (но нере(например, для ”голого” ядра урана Z = 92), так лятивистского) иона состоит в следующем: а) второе что Ze2/ V 1 всегда, в частности и при V c слагаемое в квадратных скобках в формуле (1) соответ(т. е. условие применимости борновского приближения ствует отсутствующему в данном случае черенковскому нарушено несмотря на большую скорость), и учитываем излучению, поэтому может быть опущено; б) интеграл область отдельных столкновений путем использования от первого слагаемого, соответствующего возбуждению точного выражения для сечения.

продольных колебаний в электронной плазме, вычисляется до некоторых максимальных значений k1, соответствующих минимальным параметрам удара b1, начиная Вклад области отдельных столкновений с которых электронную плазму можно рассматривать как коллективную систему; потери в максвелловской Будем считать, что скорость иона много больше плазме, обусловленные столкновениями с плазмой как средней тепловой скорости электронов плазмы, тогда коллективной системой, были расcчитаны ранее [2,3], но электрон можно считать до столкновения неподвижным.

для случая нерелятивистских скоростей пробной частиПотери энергии иона выражаются через ( ) — сечение цы, существуют также расчеты тормозной способности передачи энергии :

вырожденного электронного газа (см., например, [4–8]), max при этом получено выражение для потерь энергии в dE = -N ( )d. (3) пределе больших скоростей, независящее от степени dx min 10 В.И. Матвеев, С.Г. Толманов Далее, следуя [9, § 82, раздел ”Большие передачи им- Поэтому кулоновский логарифм, входящий в формупульса”], при рассмотрении столкновений с отдельными лу (7), имеет вид электронами будем считать налетающий ион бесконечно 2 2mV тяжелой частицей, не меняющей своего движения при ln =ln = ln.

a(Z, V)min k1 1 - 2a(Z, V ) столкновении. Тогда сечение рассеяния первоначально покоящегося электрона на двигающемся с постоянной скоростью ионе можно получить при помощи преобразо- Нам удобнее использовать функцию f (Z, V), связанную с a(Z, V), следующим соотношением:

вания к системе, где двигающийся электрон рассеивается на неподвижном ионе. Соответствующий угол рассеяния 1 обозначим через. Можно считать [9] (исключая f (Z, V ) = exp. (9) область сверхвысоких энергий), что потеря энергии a(Z, V) = () и Используя данные численных расчетов [11] для отно2mV шения сечений /R, можно аппроксимировать f (Z, V) () = sin2, = V/c, (4) следующим образом (аппроксимация для a(Z, V ), пред(1 - 2) ложенная в [10] приводит к менее точным значениям а значения и достигаются при = и max min f (Z, V)):

= min соответственно. В результате формулу (3) можно переписать в виде [10] f (Z, V) =1 + 0.222592 - 0. Ze2 dE () +(0.6016 + 5.15289 - 3.732932) = -2N ctg d, (5) dx mV2 min R() - (0.52308 + 5.где () — сечение рассеяния электрона на неподвижном ионе заряда Z при произвольной скорости электро-8.113582)2. (10) на V, полученное [11,12] в результате точного решения задачи кулоновского рассеяния для уравнения Дирака, Таким образом, потери релятивистского многозарядR() — сечение Резерфорда ного иона при столкновениях с отдельными электронами Ze2 2(1 - 2) R =. (6) Таблица 1.

m2c44(1 - cos )Энергия иона, Заряд иона Согласно [11,12], при 0 оношение точного сечения к сечению Резерфорда ()/R() 1, поэтому MeV / nucl. 6 13 29 50 82 интеграл (5) при малых min можно представить в виде 91.8 1.0311 1.0802 1.2256 1.4168 1.6366 1.(ср. [10]) 183.6 1.0340 1.1002 1.2943 1.6260 2.1293 2.367.2 1.0530 1.1209 1.3678 1.8544 2.5596 3. N Ze2 dE 2 734.4 1.0575 1.1455 1.4306 2.0585 3.7396 4.= -4 ln. (7) 1285.2 1.0522 1.1505 1.4673 2.1815 4.3564 5.dx mV2 a(Z, V)min 1836 1.0689 1.1613 1.4846 2.2335 4.6402 5.3672 1.0707 1.1638 1.5025 2.2953 4.9749 6.Функция a(Z, V) учитывает отличие сечения рассея7344 1.0714 1.1655 1.5064 2.3170 5.5868 6.ния электрона на многозарядном ионе при релятивист18360 1.0688 1.1696 1.5137 2.3266 5.1620 6.ских скоростях от сечения Резерфорда (т. е. a(Z, V ) при = Z/c 0 и 0) и с учетом малости min определяется по формуле Таблица 2.

a(Z, V) = lim Энергия иона, Заряд иона min0 min MeV / nucl. 6 13 29 50 82 1 () 91.8 1.0300 1.0726 1.2118 1.4206 1.6399 1. exp - ctg(/2)d, (8) 2 R() min 183.6 1.0431 1.1003 1.2942 1.6212 2.1082 2.367.2 1.0562 1.1257 1.3746 1.8579 2.8311 3.что позволяет, используя данные работы [11] о cечении 734.4 1.0658 1.1419 1.4322 2.0787 3.7137 4.Мотта, численно найти a(Z, V). Связь между min и k1285.2 1.0701 1.1477 1.4577 2.2099 4.3581 5.дается выражением 1836 1.0717 1.1494 1.4666 2.2669 4.6712 5.3672 1.0731 1.1505 1.4747 2.3291 5.0395 6. k1 mV 7344 1.0736 1.1507 1.4773 2.3527 5.1865 6.min =, p =.

18360 1.0738 1.1508 1.4782 2.3612 5.2407 6.p 1 - Журнал технической физики, 1998, том 68, № Потери энергии релятивистских многозарядных ионов в электронной плазме Рис. 4. Z = 50.

Рис. 1. Z = 6.

Рис. 2. Z = 13. Рис. 5. Z = 80.

Рис. 3. Z = 29.

Рис. 6. Z = 92.

Журнал технической физики, 1998, том 68, № 12 В.И. Матвеев, С.Г. Толманов описываются следующей формулой: ионов T (MeV/nucl.); сплошная кривая — точный расчет, формула (12); пунктир — ”борновское приближение”, 4N Ze2 dE 2mV f (Z, V ) формула (13); штриховая — нерелятивистский предел, = - ln -. (11) dx mV2 k1 1 - 2 2 формула (14). Как видно из рисунков, поправки за счет точного учета поля иона растут с увеличением заряда Для проверки справедливости аппроксимации (10) в иона, достигая, например, для Z = 92 примерно 15%.

табл. 1 и 2 приведены значения f (Z, V), рассчитанные Таким образом, полученная нами формула (12) почисленно по данным [11] (формулы (8), (9); (табл. 1), зволяет рассчитывать потери энергии релятивистских и результаты формулы (10) (табл. 2) для тех же знавысокозарядных ионов в электронной плазме в случаях чений зарядов иона и его энергии: первый столбец — неприменимости борновского приближения. Причем для энергия многозарядного иона в (MeV / nucl.); остальные быстрых ионов малых зарядов наши результаты численстолбцы — значения f (Z, V ) для ионов заряда 6, 13, но переходят в борновское приближение, кроме того, 29, 50, 80, 92 соответственно). Как видно из таблиц, формула (12) имеет стандартный [1] нерелятивистский предложенная аппроксимация (10) достаточно хороша, предел (14).

во всяком случае в пределах изменения Z и V, для которых приведены данные работы [11].

Список литературы Складывая (2) и (11), мы получим величину полных потерь энергии релятивистского многозарядного иона на [1] Ахиезер А.И., Ахиезер И.А., Половин Р.В. и др. Электроединицу длины при движении в равновесной электрондинамика плазмы. М.: Наука, 1974.

ной плазме [2] Hamada T. // Austr. J. Phys. 1978. Vol. 31. P. 291–298.

[3] May R.M. // Austr. J. Phys. 1969. Vol. 22. P. 687–699.

4N Ze2 dE 2mV f (Z, V ) [4] Fermi E., Teller E. // Phys. Rev. 1947. Vol. 72. P. 399–408.

= - ln -. (12) dx mV 1 - 2p 2 [5] Ларкин А.И. // ЖЭТФ. 1959. Т. 37. Вып. 1. С. 264–272.

[6] Ritchie R.H. // Phys. Rev. 1959. Vol. 114. N 3. P. 644–654.

Полагая в (12) f (Z, V) =1, получим формулу, соот[7] Явлинский Ю.Н. // ЖЭТФ. 1981. Т. 80. Вып. 4. С. 1623– ветствующую теории торможения, которая может быть 1627.

получена из стандартной схемы расчета, когда вклад [8] Яковлев Д.Г., Котельников С.С. // ЖЭТФ. 1983. Т. 84.

Вып. 4. С. 1348–1356.

области отдельных столкновений учитывается в первом [9] Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая борновском приближении, электродинамика. Изд. 3-е, перераб. М.: Наука, 1989. 623 с.

[10] Матвеев В.И., Толманов С.Г. // ЖЭТФ. 1995. Т. 107.

4N Ze2 dE 2mV = - ln -. (13) Вып. 6. С. 1780–1791.

dx mV2 1 - 2p [11] Doggett J.A., Spenser L.V. // Phys. Rev. 1956. Vol. 103. N 6.

P. 1597–1601.

Приведем также нерелятивистский предел ( 0, [12] Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродина 0) формулы (12) (при получении последнего мика. Изд. 3-е, перераб. М.: Наука, 1969. Гл. 2. С. 154–155.

учитывалась связь (9) и том факт, что a(Z, V ) 1 при 0, 0) 4N Ze2 dE 2mV= - ln. (14) dx mV p Как следует из сравнения (12) и (13), введенная нами функция f (Z, V) описывает отклонения (появляющиеся для релятивистских ионов больших зарядов) от теории торможения, использующей первое борновское приближение. Для ионов малых зарядов значения f (Z, V) близки к единице, а с учетом того, что функция f входит в формулу (12) под знаком логарифма, наши результаты, при малых Z, не отличаются от борновского приближения — формула (13), тогда как при больших Z отклонения становится существенными; наконец, в нерелятивистском случае формула (12) переходит в известный [1] результат — формула (14). Именно такое поведение формулы (12) проиллюстрировано на рис. 1–6. На этих же рисунках приведена зависимость потерь энергии |dE/dx| (MeV/cm) релятивистских ионов для заряда Z = 6, 13, 29, 50, 80, 92 (принято для иллюстрации, что p = 0.5 at.un = 13.605 eV) от энергии Журнал технической физики, 1998, том 68, №




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.