WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 1997, том 67, № 10 01 Вариационный подход к трехмерным обратным задачам теории потенциала © Э.Л. Амромин, В.А. Бушковский Центральный научно-исследовательский институт им. А.Н. Крылова, 196158 Санкт-Петербург, Россия (Поступило в Редакцию 12 февраля 1996 г. В окончательной редакции 13 августа 1996 г. ) Описан метод регуляризации и решения задач обтекания тел по желательному распределению характеристик полей на поверхности самих тел. Приводятся примеры решения таких задач для потенциальных течений жидкости и способ сведения обратных задач гидромеханики эффективно невязкой жидкости к задачам потенциала.

Введение уравнений. Применение в таких случаях универсальных вычислительных процедур (см., например, [6]) приводит, Обратными называются задачи восстановления формы однако, к необходимости выполнять очень большой обътел по заданным на их поверхности характеристикам ем вычислений [7–10].

потенциальных полей. Различные конкретные задачи из В настоящей работе описывается реализация именно разных разделов физики и техники формализуются как такого вариационного подхода к решению обратных заоднотипные или даже одинаковые задачи для уравнений дач, в рамках которого одновременно происходит уточЛапласа, Гельмгольца и т. д. Часто оказывается, что к нение исходных данных и итеративное приближение к подобным математическим задачам сводятся и обратные решению задачи. В некотором смысле такая регуляризазадачи для тех относительно узких (пограничных) слоев ция исходных данных имеет сходство с методом квазивблизи тел, где имеют место необратимые процессы.

обращений Лионса. При этом в отличие, например, от Обратные задачи отыскания формы тел существенно метода [11] корректировка исходных данных предусмаотличаются от решаемых обычно с помощью регуляритривает зараннее заданные ограничения на них. Метод зации по Тихонову задач диагностики магнитных полей и ее решения иллюстрируется на задачах гидромеханики подобных тем, что граничные условия здесь определены типа описанной в [12], но он легко переносится и на там же, где находятся и источники возмущений. Поэтому разнообразные задачи электродинамики [13,14]. Акценразличен и используемый математический аппарат.

тируется роль параметрического описания искомой поСуществуют, однако, две основные трудности решения верхности для практически эффективного решения трехобратных задач. Первая обусловлена их нелинейностью, мерных задач. Формулируется способ сведения обратных в трехмерном случае она усугубляется отсутствием хозадач для пограничных слоев к обратным задачам теории рошо разработанного аппарата обращения переменных.

потенциала с помощью интегральных соотношений типа Вторая связана с самой их формулировкой и заданием уравнения Кармана.

исходных, т. е. желаемых для поверхностей тел характеристик полей. Произвольные исходные данные не соответствуют физически реальным решениям, т. е. односвязМетод квазилинеаризации для поиска ным замкнутым поверхностям [1], и эта трудность даже трехмерных свободных границ неестественна для инженерных приложений, потому что там, как правило, нет нужды точно задавать распредеВ стационарном потенциальном поле (x, y, ), где ленные характеристики полей на всей поверхности тел, {x, y, } — цилиндрическая система координат, ищем а следует только ограничивать диапазон изменения их поверхность S, описываемую формулой значений и фиксировать или минимизировать некоторые интегралы от распределений (силы, например). ПоэтоY = f (x,, R1,... Rm), (1) му классическая постановка обратных задач (например, в [1–5]) приводит к необходимости многократной корна которой при заранее неизвестном наборе параметров ректировки их исходных данных или экстраполяции их {R1,..., Rm} помимо условия на производную потенцинефизических решений. Таким образом, для приложеала вдоль внешней нормали N к поверхности S ний адекватнее вариационные задачи с совокупностью условий-ограничений, включающих как равенства, так и = 0 (2) неравенства, т. е. даже не задачи собственно вариационN S ного исчисления, а задачи нелинейного программирования, но при этом минимизируемые функционалы должны для уравнения Лапласа формироваться с использованием производных потенциалов, т. е. решений соответствующих дифференциальных = 0 (3) Вариационный подход к трехмерным обратным задачам теории потенциала выполняются условия-ограничения на распределение коэффициента Cp = 1 -|grad|2, (x, ) < Cp(x, ) <(x, ), (4) а также ограничения на сами ординаты или интегралы от них a(x, ) < f (x,, R1,..., Rm) < b(x, ), (5) L Fs(x, y, )dxyd < Cs; s = 1,..., J. (6) 0 Функции a, b, Fs и параметры C1,..., Cs обычно Рис. 1. Схема сопоставления искомой и известной поверхнов инженерной практике изменять нельзя: нарушение, сти.

например, какого-либо из ограничений (5) грозит невозможности разместить внутри тела оборудование, имеющее фиксированные размеры. Функции же, могут Пусть конкретно — потенциал простого слоя. Чтозаметно варьироваться — лишь бы они не выходили бы оценить изменение при вариациях поверхности S, за допустимые границы. При этом подразумевается, что следует составить уравнение для расстояния h между S входящие в (4), (6) производные являются решением и ее исходной формой S0, как это показано на схеме, (3) с условиями (2) и представленной на рис. 1. Откладывая h вдоль нормали n, на новой поверхности S имеем lim {+x+ycos sin } const (7) x = cos(N, n) + cos(N, t). (10) для = const при любом наборе {R1,..., Rm}, хоN n t тя всей совокупности условий (4)–(6) любой набор Здесь n — нормаль к S0, t — орт, параллельный grad не удовлетворяет. Итак, при классической постановке на S0. Поскольку в скалярном произведении обратных задач вместо (4) фигурировало бы равенство, а выполнение условий (5), (6) проверялось бы после отыс2 2 кания некой f, точно удовлетворяющей упомянутому · = + + N T B равенству. Здесь вместо этого рассматривается задача, формально записываемая как на новой поверхности, где B = N T, T параллельно grad на S, первое слагаемое — нуль в силу (2), а {min E|Gs(R1,..., Rm) 0; s = 1,..., M}. (8) третье обращалось в нуль на S0 по определению T, то для вычисления нового значения Cp достаточно найти Здесь в совокупности ограничений Gs 0 включенывсе ограничения (4), (6); E — некоторый минимизируемый функционал. Пусть, например, C — исходные данные = cos(T, t) + cos(T, n).

p T t n классической обратной задачи. Тогда, приняв в качестве функционала Из геометрических соображений очевидно, что E = max |C - Cp|, (9) cos(N - n, t) =-h/t и в линейном приближении из p (10), (11) следует можно минимизировать эту величину, чтобы приблизиться к желаемой эпюре C, не нарушая фзизически h p = -, (12) необходимых ограничений (5), (6).

N S n S t S t Задача (8) нелинейна, поскольку удовлетворяющая h ей граница потенциального поля заранее неизвестна, = -. (13) T S t S n S t т. е. является свободной. Поэтому (8) будет решаться итерациями. Однако универсальные методы решения за- Для правых частей (12), (13) используем разложения дач нелинейного программирования [5] требовали бы 0 не менее m + 1 раза решать прямую задачу (2), (3), = + + h, (14) (7) на каждой итерации уточнения формы S. Здесь n S n S0 n S0 n2 Sвслед за [12] будет применен более экономичный спе 0 цифический метод [15] решения задачи (8), существенно = + + h, (15) t S t S0 t S0 nt Sиспользующий то обстоятельство, что удовлетворяет (3), и требующий только одного решения прямой задачи где 0 — потенциал обтекания S0; (q) — возмущение в одной итерации. потециала 0, имеющиее плотность q на S.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № 10 Э.Л. Амромин, В.А. Бушковский Подставляя (14), (15), (2) в (12), обозначив |0| где rj = Rj - R0, а с другой стороны, эта разность равна j через U0 и учитывая, что 0 = 0, получаем квазилене- hNy, то из (21), (22) следует новая линейная взаимосвязь аризованное условие (2) на деформируемой поверхности Dp =(CA-1B + F)Hr, (23) в виде 2 (U0h) хотя в частном случае Rj могут совпадать со значениями =h -, b1 =n t. (16) n b2 t ординат S.

Итак, (23) дает возможность линеаризовать E и ограЗдесь вторая производная 0 по b1 может быть выничения (4), (6) по r1,..., rm, а (22) — проделать числена по распределению U0 на S0 с помощью изто же с ограничениями (5). Таким образом, каждая вестных формул, содеражащих коэффициент Ляма. При итерация метода решения нелинейной программы (8) квазилеаризации Cp следует, как видно из (15), оценить сведена здесь к однократным вычислениям U0 с помощью 20/(nt). Для этого S0 аппроксимируется вблизи линейного интегрального уравнения (19) и коррекции контрольной точки поверхностью второго порядка и расзначений r1,..., rm посредством решения задачи линейсматривается параллельное t сечение этой поверхности с ного программирования.

кривизной k. Затем смешанная производная вычисляется Изложенный в данном разделе метод не зависит от через отношение разности 0/n в близлежащих точфизического смысла потенциала и слабо изменится ках к расстоянию между ними. В итоге подстановки (2), даже при замене Cp на нормальную производную (11)–(15) в выражение для Cp на S получаем значение (как это требуется, например, в электростатических обозначенного через Dp возмущения Cp в виде задачах [13]). В дальнейшем же все конкретные примеры 2 2 будут касаться гидромеханики, хотя электродинамичеDp =Cp - 1 - U0 =2U0 - 2kU0 h. (17) t ские аналогии подобрать им нетрудно. Итак, далее здесь — потенциал скорости несжимаемой жидкости, а Cp — Потенциал представляет собой линейную функбезразмерное давление в ней.

цию q 1 q (x, y,, q) = dS, (18) Примеры решения трехмерных (S0) обратных задач теории потенциала где — значения расстояния между точкой поля и известной поверхностью S0 с известной кривизной k, а Наиболее простым примером решения трехмерной величина U0 вычислена с использованием интегрального обратной задачи является построение трехмерного тела уравнения с длинной цилиндрической частью, затупленной носовой Q 1 частью и изобарической частью между ними, на которой - + Q ds = Nx + sin Ny cos (19) 2 4 N Cn = const. Наличие неизобарических зон на оконеч(S0) ностях тела неизбежно в стационарном течении [16], если Cp < 0, и изобарическая зона занимает заметную относительно Q и формул Кулона. Очевидно, что (17), часть S. Для такой задачи отсутствуют ограничения (16) дают линейную взаимосвязь Dp, h и q, причем с (5), (6), в ограничении (4) (x, ) = 0 = const, точки зрения вычислителя очень удобно то, что про = 0, а в качестве параметров R1,..., Rm можно было изводные и 0 содержат интегралы, отличающиеся бы принять ординаты точек изобарической поверхности.

между собой только плотностью потенциала. Здесь Nx, Один из результатов такого решения приведен на рис. 2.

Ny — компоненты n на S0.

Там в качестве носовой части тела задана поверхность Итак, (16), (17) можно переписать как матричные соотношения между совокупностью значений h, q и Dp на контрольных точках S0, собрав эти совокупности в векторы h, q, Dp соответственно. Переписывая с очевидными обозначениями эти соотношения в виде Aq = Bh, Dp = Cq + Fh (20) и исключая из (20) q, имеют Dp =(CA-1B + F)h. (21) Далее следует связать h с параметрами R1,..., Rm задачи (8). Так как, с одной стороны, m f Y (x,, R1,..., Rm)-Y (x,, R0,..., R0 ) rj, = 1 m Rj i=Рис. 2. Сечения тела с изобарической поверхностью плоско(22) стями x = const.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № Вариационный подход к трехмерным обратным задачам теории потенциала эпюра Cp(x, ) на S). Во-вторых, на изобарической поверхности линии тока, т. е. направления grad, совпадают с геодезическими линиями [16]. Поэтому на такой поверхности в реальной (вязкой) жидкости, в которой на поверхности тела компоненты скорости равны нулю, а не производным, центробежные силы не смещают в пристенном пограничном слое частицы жидкости в сторону от этих линий, т. е. там не формируются вторичные течения [18], приводящие к дополнительным потерям и.

появлению крупных продольных вихрей в трехмерном пограничном слое.

Однако непосредственно использовать эти благоприятные свойства в технических приложениях сложно. Так, предотвращение появления крупных вихрей актуально для корпусов транспортных судов: индуцируемые этими вихрями всплески скорости вредно сказывается на Рис. 3. Распределение давления по телам вращения с оконечработе гребных винтов, однако цилиндрические части ностью типа (24) в осесимметричном потоке. 1 — = 0.20;

2 — 0.30, 3 — 0.41. судов должны иметь формы, не похожие на представленные на рис. 2, поскольку для перевозки грузов, размещения оборудования и т. п. прямостенные секции удобнее и, таким образом, технические требования не дадут здесь воспользоваться полученным точным решением задачи математической физики, поэтому придется Рис. 4. Распределение давления по искомой поверхности в неосесимметричном потоке при = 4. : 1 —0, 2 —/2, 3 —.

Рис. 5. Зависимости R1 и R2 от и для тел вращения (24) с минимальным. Цифры у кривых — значения.

эллипсоида x2 + y2(0.25 + 0.75 sin2 ) = 1 и угол атаки = 0. Сечение тела плоскостью x/B = 0.1, где B — его ширина, лежит полностью на носовой части. Ширина цилиндрической части B является результатом решения задачи при заданном 0, и сечение x/B=0.9 лежит полностью на ней. Промежуточные сечения расположены на изобарической части. Приведенный результат соответствует точности решения обратной задачи E = 0.025, хотя точность вычисления U0 методом [17] была здесь примерно равной 0.005.

Благоприятные гидродинамические свойства такой поверхности состоят, во-первых, в том, что именно изобарическая поверхность обеспечивает [16] минимум величине i = max |Cp|, характеризующей возникновение на теле такого нежелательно явления, как кавитация (только в идеальной жидкости, однако это вполне приРис. 6. Зависимости R3 и R4 от для тел вращения (24) с емлемое приближение, и оно тем точнее, чем плавнее минимальными.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.