WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 1997, том 67, № 9 01;03 Неустойчивость заряженного слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра © А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева Ярославский государственный университет, 150000 Ярославль, Россия (Поступило в Редакцию 10 апреля 1996 г.) Введено и проанализировано дисперсионное уравнение для спектра капиллярных движений сферического слоя вязкой жидкости, покрывающей твердое сферическое ядро слоем конечной толщины. Показано, что наличие двух механизмов вязкой диссипации энергии капиллярных движений жидкости — затухание в объеме слоя и на твердом ядре приводит к ограничению спектра реализующихся капиллярных движений жидкости как со стороны высоких, так и со стороны низких мод. При фиксированном заряде системы, закритическом для нескольких первых мод капиллярных движений, максимальными инкрементами при малом размере твердого ядра обладают моды из середины диапазона неустойчивых мод, в тонких же слоях жидкости максимальные инкременты имеют наиболее высокие из неустойчивых мод. Это указывает на различия в реализации неустойчивости заряженной поверхности сферического слоя при малых и больших относительных размерах твердого ядра.

В ряде академических, технических и технологиче- 1. Пусть твердое сферическое ядро радиуса R0 окруских проблем приходится иметь дело с неустойчивостью жено сферически симметрично расположенным шарозаряженного слоя вязкой жидкости конечной глубины, вым слоем идеально проводящей жидкости внешнего лежащего на криволинейной твердой подложке. Неустой- радиуса R. Будем считать жидкость несжимаемой и чивость заряженной жидкой поверхности тающих гра- маловязкой, характеризуемой коэффициентом кинемадин в грозовом облаке, сопровождающаяся эмиссией тической вязкости, плотностью и коэффициентом значительного количества заряженных микрокапелек [1], поверхностного натяжения. На поверхности жидкой играет важную роль в процессах микроразделения за- фазы равномерно распределен заряд Q. Поля скоростей рядов и в процессе зарождения разряда линейной мол- капиллярного волнового движения и давления обозначим нии [2]. Помимо геофизических приложений электро- соответственно U(r, t) и P(r, t). Искажение свободной статической неустойчивости заряженного слоя вязкой поверхности жидкости (r, t), возникающее из-за кажидкости это явление встречается в жидкостной масс- пиллярного волнового движения, будем считать малым спектрометрии [3,4]. Так, в некоторых типах жидкостных вместе с величинами U(r, t) и P(r, t). Кроме того, будем масс-спектрометров получение ионов нелетучих и тер- считать, что система обладает осевой симметрией.

мически нестабильных веществ осуществляется путем Для упрощения записи и последующих вычислений эмиссии в вакуумных низкотемпературных ( 100 K) введем безразмерные переменные, в которых R = 1, условиях микрокапелек и кластеров с мениска на верши- = 1, = 1. Тогда все остальные величины (за не металлического капилляра, по которому осуществля- которыми оставим прежние обозначения) будут вырается подача раствора в разрядную систему. При этом жены в единицах своих характерных значений r = R, вследствие низкой температуры раствор на срезе ка- t = R3/21/2-1/2, U = R-1/2-1/21/2, P = R-1, пилляра замерзает и электрогидродинамическая эмиссия Q = R3/21/2, = R1/2-1/21/2.

микрокапелек идет из пленки жидкости на поверхности Система уравнений гидродинамики, описывающая каледяного ядра [3,5]. Существование пленки жидкости пиллярные движения жидкости в такой системе, будет обеспечивается джоулевым нагревом при протекании состоять из линеаризованного уравнения Навье–Стокса по пленке электрического тока. С качественно сходной U ситуацией — с эмиссией заряженных микрокапель с = - Pin + · U, (1) t поверхности тонкой пленки жидкости в сильном электрическом поле приходится сталкиваться и в жидкомеусловия несжимаемости жидкости таллических источниках ионов [6].

Задача об устойчивости заряженного слоя вязкой жид- · U = 0 (2) кости на поверхности сферического ядра ранее раси граничных условий на поверхности твердого ядра сматривалась для асимптотического случая маловязкой жидкости в [7], где было получено и дисперсионное уравr = R0, откуда Ur = 0, U = 0, U = 0 (3) нение, но его численный анализ не был проведен. В этой связи представляется полезным рассмотреть обсуждаеи на свободной поверхности жидкости мую задачу в более общей постановке, не ограничиваясь маловязкими жидкостями. F(r, t) r - 1 - (, t) =0, Неустойчивость заряженного слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра откуда После несложных математических преобразований граdF F ничные условия на поверхности твердого ядра для про + U · F = 0, (4) екций поля скоростей (39) могут быть выражены через dt t скалярные функции i в виде:

· (n · )U + n · ( · )U = 0, (5) 1 -(Pin - Pex) +2n · (n · )U + P - PE = 0. (6) при r = R0 - 3 = 0, (8) r r В этих выражениях (, t) — функция, описывающая 1 возмущение равновесной сферической поверхности ка1 + (r3) =0, (9) r r r пли; n и — единичные векторы нормали и касательной к свободной поверхности жидкости; Pex — давление 2 =0. (10) внешней среды на поверхность капли; Pin — давление Граничные условия (4)–(6) примут вид внутри жидкости; U — поле скоростей; P — лапласовское давление под искаженной волновым движением (, t) 1 сферической поверхностью жидкого слоя [8] при r = 1 = - 3, (11) t r r P = 2 - (2 +)(, t), 1 23 2 + - (2 +)3 = 0, (12) r r r2 r — угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах.

r = 0, (13) Давление электрического поля на поверхность заряr r женной идеально проводящей капли PE определяется 21 выражением [7] -Pin(U, t) +2 r2 r r Q2 1 - PE() +P() =0. (14) PE = - Q2 + Q2 (m+1)Pm(µ) Pm(µ)dµ, 8 2 m=-1 3. Полагая где Pm(µ) — нормированные полиномы Лежандра, (r, t) = ZmPm(µ) exp(st), (15) µ cos. m 2. Для решения задачи (1)–(6) используем метод скарешения системы уравнений (7) будем искать в виде ляризации, подробно изложенный в [9]. В соответствии с этим представим поле скоростей в виде суммы трех 1(r, t) = Cmrm +D1 r-(m+1) Pm(µ) exp(st), ортогональных полей m m U(r, t) =1(r, t)+r2(r, t)+ r 3(r, t), S S j j j(r, t) = Cmim r +Dmkm r где первое слагаемое определяет потенциальную часть m поля скоростей, второе — вихревую тороидальную, а третье — вихревую полоидальную.

Pm(µ) exp(st) ( j = 2, 3), (16) В результате система векторных уравнений (1), (2) 1 j j Cm, Cm, D1, Dm —константы.

m примет скалярный вид Отметим, что задача для определения функции полностью автономна и не зависит от функций 1, 1 i(r, t) i(r, t) - (1 - i1) = 0 (i = 1, 2, 3), и. Другими словами, тороидальная компонента дви t жения жидкости, описываемая 2, не дает вклада в дисперсионное уравнение гармонически полоидальных Pin(U, t) =- 1(r, t). (7) движений жидкости в капле и не оказывает влияния на t рельеф ее поверхности.

Выражая компоненты поля скоростей U(r, t) через i, Подставляя (16) в граничные условия (11)–(12) и получим (14), получим 1 Ur = - 3, r r S 1 mCm - (m + 1)D1 + m(m + 1) Cmim m 1 1 1 U = + r, r r r S + D3 km = SZm, (17) m U = -.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № 10 А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева 1 Cm, D1, Cm, D3, Zm имеет нетривиальное решение S S m, m 2(m - 1)Cm - 2(m + 2)D1 + -2 im+m только в том случае, когда определитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю S S A11 A12 A13 A14 A+ + 2(m + 1)(m - 1) im Cm A21 A22 A23 A24 Adet A A31 A32 A33 A34 A35 = 0, (22) S S S A41 A42 A43 A44 A+ 2 km+1 + + 2(m + 1)(m - 1) A51 A52 A53 A54 A где A11 = m, A12 = -(m + 1), A13 = m(m + 1)im( S/), S km D3 = 0, (18) m S A14 = m(m + 1)km, A15 = -S, A21 = 2(m - 1), S + 2m(m - 1) Cm + S + 2(m + 1)(m + 2) D m S S S S S + 2m(m + 1) im+1 +(m - 1)im Cm A22 = -2(m + 2), A23 = -2 im+ S S S S S + 2m(m+1) - km+1 +(m-1)km D+ + 2(m + 1)(m - 1) im, m QS S S S + (m - 1)(m + 2) - (m - 1) Zm = 0. (19) A24 = 2 km+1 + +2(m+1)(m-1) km, При записи (17)–(19) были использованы известA25 = 0, A31 = S+2m(m-1), A32 = S+2(m+1)(m+2), ные [10] соотношения для цилиндрических функций S S S A33 = 2m(m+1) im+1 +(m-1)im, m fm(x) = fm+1(x) + fm(x), x x S S S 2 2 m(m-1) A34 = 2m(m+1) - km+1 +(m-1)km, fm(x) =- fm+1(x) + 1+ fm(x), x2 x xQim(x), A35 =(m-1)(m + 2) - (m - 1), A41 = mR(m-1), fm(x) = (-1)m+1km(x).

m(m + 1) S Здесь im(x) и km(x) — сферические цилиндрические A42 = -(m + 1)R-(m+2), A43 = im R0, Rфункции первого и третьего рода соответственно. Граничные условия (8), (9) для компонент поля скоростей m(m + 1) S на поверхности твердого ядра распишем с учетом (16) A44 = km R0, A45 = 0, Rm(m - 1) mR(m-1)Cm - (m + 1)R-(m+2)D1 + 0 0 m A51 = R(m-1), A52 = R-(m+2), 0 RS S (m + 1) S S S A53 = im+1 R0 + im R0, Cmim R0 + D3 km R0 = 0, (20) µ Rm S S (m + 1) S A54 = - km+1 R0 + km R0, S S 1 -(m+2) RR(m-1)Cm + R0 D1 + im+1 R0 m A55 = 0.

(m + 1) S S S Алгебраическое соотношение (22) связывает между + im R0 Cm + - km+1 Rсобой частоту и номер моды, т. е. является дисперсиR0 онным уравнением, определяющим спектр возможных гармонически полоидальных и чисто вихревых поло(m - 1) S + km R0 D3 = 0. (21) m идальных движений в слое жидкости на поверхности Rтвердого сферического ядра.

Система пяти однородных алгебраических 4. На рис. 1–6 представлены результаты численных уравнений (17)–(21) для пяти неизвестных величин расчетов по (22) в виде зависимостей вещественной и Журнал технической физики, 1997, том 67, № Неустойчивость заряженного слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра мод капиллярных колебаний жидкого слоя, реализация неустойчивости будет идти на счет преимущественного развития первой не подавляющейся вязкостью высокой моды с номером m m. Это приведен к формированию на неустойчивой по отношению к собственному заряду поверхности жидкого слоя не двух эмиссионных выступов, как это имеет место для капли без ядра [1], а m выступов. По-видимому, именно такая ситуация зафиксирована на фотографии в [11, с. 2437]. Из рис. 1 и видно, что частоты капиллярных колебаний выделенной моды уменьшаются с увеличением вязкости.

Зависимости Re S = Re S(R0) для существенно закритического заряда системы (W = 13) при =0.приведены для m = 2 на рис. 4 и 6 на рис. 5 (отметим, что при W = 13 неустойчивы моды с m < 11). Кривые с номером 2 на этих рисунках определяют инкременты неустойчивости соответствующих мод. Кривые с большими номерами определяют декременты вихревых полоидальных движений. Несложно видеть, что утоньшение слоя жидкости (увеличение R0) приводит к снижению инкрементов неустойчивых движений и к увеличению декрементов вихревых затухающих движений жидкости.

На рис. 6 приведены значения инкрементов нескольких неустойчивых мод, номера которых указаны у соответствующих кривых, рассчитанные при W = 13, = 0.1. Из физического смысла задачи очевидно, Рис. 1. Зависимости вещественной и мнимой компонент что связь величин инкрементов с номерами мод опречастоты S реализующихся капиллярно-полоидальных движений деляется степенью закритичности заряда и влиянием жидкости от величины радиуса ядра R0.

вязкого затухания в объеме и на поверхности твердого ядра. Отметим, что m-я мода становится неустойчивой при W = 2 + m. Это означает, что при принятом мнимой компонент безразмерной комплексной частоты от безразмерного радиуса ядра для различных мод и при различных значениях безразмерных физических параметров вязкости и заряда W.

На рис. 1 и 2 указанные зависимости приведены при W = 0, = 0.03 для мод с m = 2 (основной моды) и 6 соответственно. На рис. 3 та же зависимость для основной моды приведена для в десять раз большей вязкости = 0.3 и W = 0. Из этих рисунков можно видеть, что на спектр реализующихся движений важное влияние оказывает как затухание в объеме жидкого слоя, так и затухание на дне. Причем из рис. 1 и 2 видно, что влияние затухания на дне для моды с m = 2 более существенно, чем для моды с m = 6. Видно, что при принятой величине вязкости область значений радиуса ядра R0, в которой существуют капиллярные колебания для шестой моды, шире чем для основной, что указывает на определяющую роль для тонких слоев жидкости затухания движений на твердом дне. Этот феномен должен сказываться (за счет ограничения спектра реализующихся капиллярных движений) на закономерностях развития финальнойстадиинеустойчивостизаряженнойповерхности жидкости, когда на ней формируются эмиссионные выступы и начинается сброс избыточного заряда [1]. В частности, в достаточно тонких слоях вязкой жидкости, когда затухание на дне подавляет несколько первых Рис. 2. То же, что и на рис. 1, но для m = 6.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № 12 А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева значении W заряд максимально закритичен для основной моды с m = 2 и минимально закритичен для m = 10. Тем не менее инкремент основной моды в описанной системе оказывается не самым большим изза существенного влияния вязкой диссипации. Другим существенным моментом является то, что соотношение между величинами инкрементов различных мод зависит и от толщины жидкого слоя: в тонких слоях инкременты высоких мод оказываются большими инкрементов мод с меньшими номерами. Бросается в глаза и сильная зависимость величин инкрементов от толщины слоя жидкости в области малых толщин.

Рис. 5. То же, что и на рис. 4, но для m = 6.

Рис. 6. Зависимости безразмерных инкрементов нескольких неустойчивых мод от безразмерного радиуса ядра R0.

Рис. 3. То же, что и на рис. 1, но при = 0.3.

На рис. 1–3 кривые 1 описывают капиллярные колебания жидкого слоя. На рис. 1–5 кривые 2 и 3 описывают апериодически затухающие гармонически полоидальные движения. Кривые же с номерами большими трех соответствуют апериодически затухающим чисто полоидальным вихревым движениям. Из приведенных зависимостей легко видеть, что утоньшение слоя жидкости, увеличение ее вязкости и увеличение номера моды приводят к быстрому увеличению декрементов затухания движений этого типа.

5. Вернемся к задаче определения вихревой тороидальной компоненты поля скоростей, связанной со скалярной функцией 2, которая определяется системой уравнений (10), (12). Подставляя (16) в (10), (12), найдем S S Рис. 4. То же, что на рис. 1, но только вещественной Cmim R0 + D2 km R0 =0, (23) m компоненты при W = 13.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № Неустойчивость заряженного слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра радиусу капли приближается к единице. Наличие двух S S S im+1 +(m-1)im Cm механизмов вязкой диссипации — затухания в слое и на твердом дне — ограничивает спектр мод, принимающих участие в формировании эмиссионных выступов на S S S + - km+1 +(m-1)km D2 = 0.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.