WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

уравнениям, тогда как в данном случае она получа -1 - ется после повторного усреднения. Свойства системы (13) (15) достаточно хорошо изучены, и мы укажем только 3) функцию Бесселя заменим двумя первыми членами ее некоторые из них. Стационарные значения амплитуды разложения в ряд по A, т. е. J1(A) A/2 - A3/16.

W =(x2 +y2)1/2 задаются выражениями Проделав все это, мы приходим к следующей системе уравнений относительно новых переменных W1 = 0, W2, 3 = 4 ± m2 - 2. (17) dx = - x - A1 sin - m - x - A1 sin d 2 16 Если || < m2 - 2, (18) - y + A2 cos y+A2 cos, то состояние с амплитудой W = W2 устойчиво, в то 16 2 время как состояние с W = 0 является сингулярной седловой точкой, а состояние с W = W3 не может быть dy = - y + A2 cos - m - x - A1 sin реализованым. Когда d 2 16 > m2 - 2, (19) - y + A2 cos x-A1 sin, (14) 16 2 то состояния с W = 0 и W=W2 оказываются устойчигде выми, а состояние с W = W3 является седловым. Устой2(B1 ± B2) 0 - m A1, 2 =, m =.

чивые состояния с ненулевыми значениями амплитуды Журнал технической физики, 1997, том 67, № Динамика маятника с квазипериодическим возбуждением возникают попарно и различаются только по фазе. Таким образом, в области параметров, задаваемых уравнением (18), существует три устойчивых состояния равновесия, возникающие в результате суперкритической бифуркации, и пять устойчивых состояний в области (19), которые возникают в результате субкритической бифуркации.

Из уравнения (19) очевидно, что субгармонические колебания могут возникать только тогда, когда выполняются одновременно следующие условия m >, >- m2 -2, или с учетом обозначений, принятых в системы (3), они переписываются в следующем виде:

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма квазипериодически возбуB1B2 > 22, (20) ждаемого маятника с параметрами, соответствующими рис. 2.

Приведены бифуркационные кривые, найденные численно 0 - m 1 +2 B2 +B2 B2B1 2 1 2 (сплошные линии) и аналитически (штриховые линии) для > - -2. (21) 0 2 22 44 бифуркации удвоения (h) и тангенциальной бифуркации (t1, t2).

Область хаоса отмечена точками.

Напомним, что =2 -1 =(1 -2)/0.

Как ожидалось, бифуркации удвоения тора в слабонелинейном маятнике происходят благодаря взаимодействию спектральных компонент внешней силы условия (21) путем замены в нем знака неравенства (см. (20)). Минимальное значение интенсивности на знак равенства. На двумерной плоскости параметров I (B2 +B2)/2, приводящее к возникновению колебания 1 (B, 1), приведенной на рис. 3, соответствующая бифурна разностной частоте, достигается при B1 = B2 B и, кационная кривая обозначена как h1. Здесь же приведена согласно уравнению (20), равно эта кривая, найденная численно. Следует отметить хорошее совпадение численных и аналитических результатов Imin B2 = 22. (22) min даже при / = 4. Внутри плоскость параметров, охваИз соотношений (13) находим выражение для крити- тываемой этой кривой, хаотические состояния возникают на базе новых (индуцированных) гиперболических ческого значения амплитуды A вынужденных колебаний периодических орбит в фазовом пространстве системы в момент, когда происходит бифуркация удвоения, (14). Координаты этих орбит в сечении Пуанкаре соот Acr = 2 2. (23) ветствуют стационарным седловым состояниям системы уранений (15) (см. (17)). Гомоклиническая структура Примечательно, что эта величина практически совпав фазовом пространстве системы (14) формируется в дает (с точностью до множителей) со значением амплирезультате перечения устойчивых и неустойчивых многотуды A, дающей рост локальной неустойчивости (см.

образий таких орбит. Применительно к исходному урав(8)). Она определяется только значением диссипации и нению хаотические состояния возникают в результате может стать сколь угодно малой при уменьшении значепересечения устойчивых и неустойчивых многообразий ния в отличие от случая периодически возбуждаемого индуцированных гиперболических инвариантных торов.

маятника, где Acr.

Обратимся опять к плоскости параметров на рис. 3.

Следует заметить, что значения и в уравнении Видно, что существуют дополнительные области хаоса, (22) должны удовлетворять условию (16) и, следователькоторые не предсказываются условиями (20), (21). В но, величина Imin не может сколь угодно уменьшаться этих областях возникновение хаотических колебаний при уменьшении. Величина || 4, как следует из связано с другими резонансами, определяемыми усло(16), может рассматриваться как предельное значение.

виями (11), (12). Эти резонансы могут быть изучены В этом случае вместо уравнения (22) имеем тем же способом, который описан выше. Поэтому мы здесь приводим только конечные результаты. В этом слуImin 3223. (24) чае системы уравнений, полученные после повторного Таким образом, чем меньше диссипация, тем при меньусреднения, имеют стационарные значения амплитуды, шей интенсивности внешней силы происходит первая определяемые из следующего кубического уравнения бифуркация удвоения и при меньшей амплитуде выотносительно A2:

нужденных колебаний хаотические состояния начинают проявлять себя.

B2 1 A2, Уравнение для бифуркационной поверхности в проA2 1, 2 + - + 2 = B2. (25) 1, 82 странстве параметров данной системы находится из Журнал технической физики, 1997, том 67, № 6 А.Д. Грищенко, Д.М. Ваврив Здесь первый и второй индексы относятся соответ- Заключение ственно к резонансам (11) и (12). Когда B1 = B2, обе В этой работе проанализированы условия перехода к резонансные кривые одинаковы, единственным отличием хаосу в квазипериодически возбуждаемом маятнике с является то, что они сдвинуты относительно друг друга затуханием. Показано, что хаотические состояния мовдоль оси частот. Анализ устойчивости стационарных гут возникать при слабонелинейной режиме возбужесостояний, определяемых уравнением (25), показывает, ния маятника, когда он совершает малые колебания что, когда B1 или B2 превышают критическое значение возле вертикали. Этот эффект обусловлен разрушением B1, 2 > Bcr 53/2, (26) индуцированных гиперболических инвариантных торов, тогда в системе возникают седловые состояния в резуль- которые возникают в фазовом пространстве системы под внешними воздействием. Двухкратное применение метотате тангенциальной бифуркации. Критическое значение да усреднения позволило свести задачу о бифуркациях амплитуды колебаний маятника при B1 = Bcr или двумерных торов к изучению бифуркаций состояний B2 = Bcr задается выражением равновесия, а также позволило изучить аналитически Acr = 5. (27) резонансы, ответственные за разрушение торов. Эти результаты дополнены исследованием локальных свойств Вновь очевидно хорошее совпадение этих результатов с аналогичными результатами, полученными ранее мето- фазового потока исследуемой системы, что позволило получить другим независимым путем условия хаотизадом текущих показателей Ляпунова (см. (8), (9)).

Бифуркационные кривые, соответствующие тангенци- ции колебаний.

альной бифуркации, представлены на рис. 3. Они Результаты этой работы могут быть использованы найдены как путем прямого численного интегрирования для анализа устойчивости многих практических прибосистемы (3), так и аналитически из уравнения (25). В ров, например параметрических усилителей на основе результате тангенциальной бифуркации любая периоди- джозефсоновских переходов, смесителей и т. д. Наши ческая орбита, существующая в фазовом пространстве исследования показали, что стабильная работа таких системы (3), расщепляется на две устойчивые орбиты и устройств при гармоническом воздействии необязательодну седловую орбиту. С ростом интенсивности внеш- но будет сохраняться при реальном многочастотном него возмущения происходит пересечение устойчивых воздействии из-за резкого уменьшения порога возники неустойчивых множеств седловых орбит, что приво- новения хаоса в последнем случае. Переход к хаосу в дит к возникновению хаотических состояний. Последнее результате разрушения квазипериодических колебаний в утверждение может быть доказано не только численно, слабонелинейном пределе может представлять реальную но также путем применения метода Мельникова к си- угрозу для практических приборов, ограничивая попытки стеме (3) аналогично тому, как это было сделано для понижения выходного уровня шумов, увеличения чувосциллятора Дуффинга в работе [5]. Однако здесь мы ствительности и т. д.

ограничимся необходимыми условиями возникновения хаоса, задаваемыми уранением (26). Отметим также, Список литературы что регулярное движение переходит в хаотическое при амплитуде вынужденных колебаний A, задаваемой вы[1] Miles J. // Press. Nat. Acad. Sci. Phys. Sci. USA. 1984. Vol. 81.

ражением (27), значение которой может быть сколь P. 3919–3923.

угодно малым за счет уменьшения диссипации, как и в [2] Белогорцев А.В., Ваврив Д.М., Третьяков О.А. // ЖТФ.

предыдущем случае (см. (23)).

1988. Т. 58. Вып. 2. С. 284–294.

Области хаоса, которые соответствуют различным [3] Belogortsev A.B., Vavtiv D.M., Tretyakov O.A. // Appl. Mexh.

резонансам, расположены близко одна к другой в проRev. 1988. Vol. 33. N 7. P. 174–179.

странстве параметров и частично перекрываются при [4] Yagasaki K., Sakata M., Kimura K. // ASME J. Appl. Mech.

увеличении интенсивности возмущения, как, например, 1990. Vol. 57. N 1. P. 209–219.

в случае, показанном на рис. 3. Это является од- [5] Belogortsev A.B. // Nonlinearity. 1992. Vol. 5. N 4. P. 889–897.

[6] Vavriv D.M., Ryabov V.B., Sharapov S.A., Ito M. // Phys.

ной из причин мультистабильности слабонелинейного Rev. E. 1996. Vol. 53. N 1. P. 431–436.

маятника, когда в результате пересечения резонансов [7] Romeiras F.J., Ott E. // Phys. Rev. A. 1987. Vol. 35. N 6.

в фазовом пространстве системы сосуществуют приP. 4404–4412.

тягивающиеся множества, обусловленные различными [8] Wiggins S. // SIAM. J. Appl. Math. 1988. Vol. 48. N 1. P. 262– резонансами. Вместе с тем существует и другая причина 269.

возникновения мультистабильности, которая обусловле[9] Kautz R.L. // J. Appl. Phys. 1985. Vol. 58. N 1. P. 424–440.

на тем, что возникновение индуцированных седловых [10] Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимпотические орбит, как уже отмечалось выше, всегда сопровождаетметоды в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

ся формированием нескольких притягивающих орбит в 346 с.

фазовом пространстве. Представляет интерес детальное [11] Ваврив Д.М., Рябов В.Б. ЖВМиМФ. 1992. Т. 32. № 9.

изучение этих процессов, так как, на наш взгляд, они C. 1409–1421.

являются типичными для различных типов осцилляторов [12] D’Humieres D. et al. // Phys. Rev. A. 1982. Vol. 26. N 6.

(см., например, [3,16]). P. 3483–3496.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № Динамика маятника с квазипериодическим возбуждением [13] Guckenheimer J.M., Holms P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Berlin:

Springer Verlag, 1983. 454 p.

[14] Holms C., Holms P. // J. Sound. Vibration. 1981. Vol. 78. N 2.

P. 161–174.

[15] Ваврив Д.М., Рябов В.Б., Чернышев И.Ю. ЖТФ. 1991.

Т. 61. Вып. 12. С. 1325–1331.

[16] Ваврив Д.М., Рябов В.Б. // Письма в ЖТФ. 1991. Т. 17.

Вып. 11. С. 55–59.

Журнал технической физики, 1997, том 67, №

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.