WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 1997, том 67, № 10 01 Динамика маятника с квазипериодическим возбуждением © А.Д. Грищенко, Д.М. Ваврив Институт радиоастрономии НАН Украины, 310002 Харьков, Украина (Поступило в Редакцию 25 марта 1996 г. В окончательной редакции 10 июля 1996 г.) Исследуется динамика маятника с затуханием и квазипериодическим внешним воздействием. Показано, что в отличие от маятника с периодическим воздействием квазипериодическое возбуждение приводит к возникновению хаоса в слабонелинейном пределе, когда размах колебаний маятника является малым.

Этот эффект связывается с возникновением седловых состояний, индуцированных внешним воздействием.

С помощью метода текущих показателей Ляпунова, а также техники повторного усреднения получены аналитические условия возникновения хаотических колебаний.

Введение Математическая модель Осцилляторы с квазипериодическим возбуждением в Уравнение движения маятника с квазипериодическим отличие от осцилляторов с гармоническим возбужде- возбуждением может быть записано в виде нием могут проявлять хаотическое поведение даже в d2 d слабонелинейном пределе. К настоящему времени этот 2 + 20 + 0 sin dt2 dt факт был доказан при рассмотрении динамики осцилляторов Дуффинга и Ван-Дер-Поля [1–5]. Существование 2 = 20(B1 sin 1t + B2 sin 2t), (1) хаотических состояний при этих условиях доказывает, что квазипериодическое воздействие в отличие от где — угловое отклонение маятника от вертикали;

периодического может качественно изменить динамику > 0 — безразмерный коэффициент затухания; 0 — слабонелинейных систем и устойчивость большинства из собственная частота; B1, B2 — безразмерные амплитуды них должна быть пересмотрена с учетом возможности периодических компонент внешней силы с частотами 1, существования хаотических состояний в слабонелиней2.

ном пределе. В данной работе мы анализируем с этой Странные хаотические и нехаотические аттракторы точки зрения динамику маятника с квазипериодическим этого осциллятора интенсивно изучались в связи с возбуждением. Мы покажем, что при таком типе возбумногочисленными приложениями уравнения данного тиждения колебания маятника становятся хаотическими, па [7–9], однако основное внимание было уделено динадаже когда его угловое смещение от вертикали мало мике сильно нелинейного маятника. В данной работе расили, более того, оно может быть произвольно малым.

сматриваются хаотические состояния слабонелинейного Переход к хаосу в данном случае связан с индуциромаятника, возникающие под действием малого внешнего ванными седловыми орбитами, возникающими под вливозмущения и характеризующиеся малыми значениями янием внешнего воздействия. Когда во внешней силе отклонения. Для удобства перепишем уравнение (1) появляется дополнительная периодическая компонента, в следующем виде:

в фазовом пространстве системы возникает гиперболический инвариантный тор вместо седловой орбиты.

d2 d 2 + 0 = - 20 + 0( - sin ) Странные аттракторы, формирующиеся в результате пеdt2 dt ресечения устойчивых и неустойчивых многообразий + 20(B1 sin 1t + B2 sin 2t), (2) индуцированных торов, возникают здесь при значительно меньшей величине интенсивности внешнего воздействия где в правой части уравнения содержатся нелинейные по сравнению с периодически возбуждаемым маятником.

слагаемые относительно и члены, описывающие затуОсновным результатом данной работы является аналихание и внешнюю силу, которые рассматриваются как тическое определение условий возникновение хаоса в малые возмущения.

маятнике в результате разрушения двумерных торов.

Это предположение позволяет нам использовать метод Для этого используется метод текущих показателей Ляусреднения для изучения уравнения (2). При условии пунова, а также техника повторного усреднения. Для что имеет место резонансное возбуждение осциллятора, интерпретации результатов и объяснения механизмов пет. е. |1, 2 - 0| 0, мы воспользуемся следующим рехода к хаосу используется концепция индуцированных преобразованием, чтобы привести (2) к стандартному седловых состояний [6].

1 2 А.Д. Грищенко, Д.М. Ваврив виду [10], результат оказывается верным для различных режимов = u cos( t) +sin( t), возбуждения маятника (регулярных и хаотических) в широком диапазоне изменения параметров, если только d = - u sin( t) + cos( t), max{A( )} /2.

dt В отличие от уравнения (1) усредненные уравнения где u(t) и (t) — медленно меняющиеся функции времене описывают хаотические состояния периодически возни; — пока произвольная частота, удовлетворяющая буждаемого маятника. В этом случае, например, когда условию резонанса | - 0| 0.

B1 = 0, а B2 = 0, система (3) обладает только Дальнейшее применение процедуры усреднения [10] устойчивыми состояниями равновесия с амплитудой, приводит к следующей системе укороченных уравнений определяемой из решения следующего уравнения:

относительно u( ) и ( ):

J1(A) du J1(A) A2 1 + - + 2 = B2. (4) = - u - + - A d A Однако в случае квазипериодического возбуждения - B1 cos( - 1) - B2 cos( - 2), (B1 = 0иB2 =0) динамика системы становится намного d J1(A) богаче и включает хаотические состояния слабонелиней=- + + - u ного маятника.

d A - B1 sin( - 1) - B2 sin( - 2), (3) Условия возникновения хаоса где = 0t, = (0 - ), 1, 2 = (0 1, 2)/0, в сильно- и слабонелинейном маятнике J1(A) — функция Бесселя первого рода, A = u2 + 2 — амплитуда вынужденных колебаний.

Для того чтобы получить некоторые общие условия Выбирая равным 1 или 2, видим, что система возникновения хаоса в системе (3), следует проана(3) переходит в неавтономную систему уравнений с лизировать свойства фазового потока этой системы.

периодическим возмущением в отличие от квазипериодиДля этого воспользуемся методом текущих показателей ческого возмущения, которое присутствовало в исходной Ляпунова [11]. Согласно этому методу рассмотрим системе. Период возмущения равен T = 2/||, где поведение малых возмущений решения системы (3) =2 -1 (1 -2)/0 — безразмерная частота ( ), ( ), определяемых как ( ) = u( ) - u( ), биений квазипериодического возбуждения.

( ) = ( ) - ( ), где u( ), ( ) — координаты Для того чтобы найти соответствие между решениями возмущенной траектории в фазовом пространстве систеуранения (3) и исходной системы (2), мы нашли чимы (3). После линеаризации системы (3) в окрестности сленно решения этих уравнений и сравнили полученные ее траектории приходим к следующей системе уравнений результаты. Пример такого сравнения приведен на рис. 1, относительно амплитуды ( )2 + ( )2 и фазы где представлена зависимость амплитуды вынужденных tg ( )/( ) вектора в касательном пространстве колебаний A от расстройки частоты 1 для периодисистемы (3) чески возбуждаемого маятника. Очевидно, хорошее как d AJ0(A) - 2J1(A) качественное, так и количественное совпадение между = -2 + sin(2), решениями приведенных выше уравнений даже для слу- d 2 A чая, когда амплитуда колебаний достигает /2. Этот d 1 AJ0(A) - 2J1(A) = 2 - 1 + cos(2). (5) d 2 A Здесь =-, A= u2 +2, =arctg(/u), где u( ) и ( ) — решения усредненных уравнений (3). Максимальный текущий показатель Ляпунова определяется как µ1( ) =(d/d )In, и для рассматриваемого случая мы имеем AJ0(A) - 2J1(A) µ1 = - + sin(2). (6) 2A Следует отметить, что стандартный характеристический показатель Ляпунова 1 находится из µ1 усреднением по времени [11] Рис. 1. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний периодически возбуждаемого маятника от параметра частотной T расстройки. Исходно (сплошная линия) и укороченные (штри1 = lim µ1( )d.

ховая уранения при = 0.001, 0 = 1, B2 = 0, линия) T T B1 = 2 · 10-2.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № Динамика маятника с квазипериодическим возбуждением Таким образом, необходимое условие возникновения хаоса сводится к очевидному требованию µ1( ) > 0, что должно иметь место на некотором конечном интервале времени. Обратное неравенство является достаточным условием для регулярного движения системы.

Исходя из уравнения (6), мы можем написать следующее необходимое условие для возникновения хаоса в слабонелинейном маятнике AJ0(A) - 2J1(A) max >. (7) 2A Максимум этого выражения равен 0.24, он достигается при A Aext = 3. Таким образом, система (3) может иметь хаотические решения только при <0.24, иначе поведение маятника остается регулярным вне зависимости от значения других параметров и вида внешнего воздействия. Рассмотрим случай малых колебаний маРис. 2. Диаграмма состояний для периодически и квазипериоятника, когда максимальное значение амплитуды A( ) дически возбуждаемого маятника при = 0.001, 0 = 1. Точмало, тогда с точностью до O(A3) вместо уравнения (7) ки — область хаоса с наименьшими значениями интенсивности получаем I для квазипериодически возбуждаемого маятника с B1 = B2, max |A( )| > 4. (8) - 2 = 0.04.

Следовательно, чем меньше диссипация в системе, тем меньший размах колебаний маятника может привести к возникновению хаоса. Это неравенство дает при B2 = 0, = 0.01, 0 = 1. В этом случае оценку порога возникновения хаотических колебаний хаос возникает только тогда, когда внешняя сила допо отношению к амплитуде вынужденных колебаний.

статочно велика для того, чтобы привести маятник во Допустим, что максимальное значение амплитуды вынувращательное движение или близка к такому значению.

жденных колебаний A( ) приблизительно такое же, как Механизм перехода к хаосу в данной области связан и для периодически возбуждаемого маятника. Следует с существованием гомоклинической петли сингулярной ожидать, что это предположение выполняется хорошо, седловой точки в цилиндрическом фазовом пространстве если, например, одна из амплитуд внешней силы много невозмущенного маятника (1), когда диссипация и внешбольше другой, т. е. B1 B2, либо вторая периодическая няя сила отсутствуют. Наличие возмущения приводят к компонента действует нерезонансным способом. Тогда возникновению гомоклинической структуры в результате максимальное значение амплитуды A( ) можно легко пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий оценить из уравнения (4), что дает max |A( )| =B1/.

гиперболических периодических орбит [12,13].

Этот результат в комбинации с уравнением (8) позволяПодобным образом хаотические колебания могут такет найти приближенное выражение для порогового знаже возникать и в квазипериодически возбуждаемом маятчения амплитуды B1cr вынуждающей силы и необходимое нике [8], однако порог возникновения хаоса относительусловие возникновения хаоса но интенсивности I практически не изменяется, поскольку формирование гомоклинической структуры связано с B1 > B1cr = 43/2. (9) вышеуказанными седловыми состояниями невозмущенКогда условия (8), (9) удовлетворяются одновремен- ного маятника. Однако в этом случае возникают дополно, в фазовом пространстве системы (3) наблюдается нительные области хаоса, отмеченные точками на рис. 2, локальная неустойчивость траекторий. Выяснилось, что где пороговое значение интенсивности I уменьшается эта неустойчивость может привести к глобальной не- на несколько порядков по сравнению с периодически устойчивости и возникновению хаотических колебаний возбуждаемым маятником. Это и есть области хаотичев слабонелинейном пределе. В этом случае величина ского поведения слабонелинейного маятника. Переход к интенсивности внешнего возмущения I (B2 + B2)/2, хаосу в этих областях никак не связан с сингулярными 1 необходимая для возбуждения хаотических колебаний седловыми точками невозмущенного маятника. Это слев квазипериодически возбуждаемом маятнике, оказыва- дует из того, что хаотическое движение маятника в этих ется намного меньше, чем в маятнике, возбуждаемом областях полностью описывается системой усредненных периодически. Для иллюстрации этого факта на рис. 2 уравнений (3), в которой существование указанных седприведена диаграмма состояний маятника на плоскости ловых точек не учитывается. Следовательно, формиропараметров (log I, 1) для этих двух случаев. Штриховая вание гомоклинической структуры в слабонелинейном линия показывает границу возникновения хаотических маятнике может иметь место только на основе других областей для периодически возбуждаемого маятника (1) седловых состояний, которые возникают в фазовом про1 Журнал технической физики, 1997, том 67, № 4 А.Д. Грищенко, Д.М. Ваврив странстве системы (3) под влиянием внешней силы. Та- Полагая, что правая часть этих уравнений мала, а кие седловые состояния, согласно [6], мы будем называть частота достаточно велика (смотри ниже), мы можем индуцированными. применить к этой системе процедуру усреднения по временному интервалу [0, 2T ]. В результате получаем Индуцированные седловые состояния dx = -x - +m- (x2 + y2) y, и хаос d Индуцированные седловые состояния возникают при dy = -y - - m - (x2 + y2) x, (15) выполнении определенных резонансных соотношений в d системе (3). Выделим три основных вида резонансов в где этой системе. Первый резонанс определяется условием B2 +B2 B1B1 =m -, m=.

22 |0 - m| |1 -2|, (10) Применение процедуры усреднения возможно только где m (1 + 2)/2 — средняя частота.

в том случае, если характерный временной масштаб Возникновение колебания с частотой, равной средней системы (15), который составляет величину порядка частоте, соответствует первой бифуркации удвоения в 1/, существенно больше интервала усреднения. Это системе (3), что соответствует бифуркации удвоения приводит к следующему условию:

двумерных торов в исходной системе (1).

Два других резонанса наблюдаются тогда, когда одна ||/4, (16) из частот внешнего воздействия (1 или 2) близка к которое совместно с условием (10) определяет область собственной частоте 0, т. е. когда применимости укороченных уравнений (15). В дей|1 -0| |1 -2|, (11) ствительности это условие является слишком жестким, поскольку численные эксперименты показали, что эти |2 - 0| |1 -2|. (12) укороченные уравнения адекватно описывают динамику В этих случаях наблюдается нарастание колебаний с маятника даже при ||/4.

частотой 1 или 2. Возбуждению субгармонических колебаний с периРассмотрим условия возникновения индуцированных одом 2T в системе (3) соответствует существование седловых состояний для этих резонансов. Для изучения нетривиальных состояний устойчивого равновесия в сирезонанса (10) выполним следующие преобразования стеме (15). Следуетж отметить, что система (5) подобна системы (3): 1) частоту выберем равной (1 + 2)/2; системам уравнений, возникающим при изучении суб2) введем новые переменные гармонических бифуркаций в периодически возбуждаемом осцилляторе Дуффинга [14] или параметрически B1 Bвозбужаемом осцилляторе [15]. В указанных примерах x = u+ sin( -1) + sin( -2), - 1 - такая система уравнений возникает после непосредственного применения процедуры усреднения к исходным B1 By = - cos( -1) - cos( -2) ;

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.