WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 27 |

Рассмотрим первое из уравнений системы (2), получим равенство rP(0,0) = P(1,0).

Следовательно, для компонент вектора P(0) можно записать P(0,0) = n, P(1,0) = rn, где n – постоянная. Таким образом, вектор P(0) имеет вид P(0) = enP, (13) где вектор P определен равенством P ={1,r}.

Этап 2. Используя разложение матриц A( jew, S - e) = A0(S) + jewA1(S) - eA0(S) + O(e2), B( jew) = B0 + O(e2), (14) а также равенство (13), уравнение (7) запишем в виде F(w,e ) A0(S) + je wA1(S) - e A0(S) + enPB0 = 0. (15) { } Решение F(w,e) этого уравнения запишем в виде разложения F(w, e) = F(w)R(S) + ef (w) + O(e2), (16) подставив которое в (15), и так как R(S)A (S) = 0, для f (w) при e ® можно записать равенство f (w)A (S) + jwF(w)R(S)A (S) - F(w)R(S)A (S) + nPB = 0, 0 1 0 которое является неоднородной системой линейных алгебраических уравнений, поэтому ее решение f (w) можно представить в виде f (w) = F(w){jwf - f }+ nf, (17) 1 2 в котором векторы f, f и f являются решениями систем:

1 2 f A (S) + R(S)A (S) = 0, (18) 1 0 f A (S) + R(S)A (S) = 0, (19) 2 0 f A (S) + P(e)B = 0. (20) 3 0 Решение f системы (19) имеет вид f = R (S). Чтобы существовало 2 решение f системы (18), необходимо выполнение равенства R(S)A (S)E = 0, которое определяет значение величины пропускной способности S. Более того, так как вектор f ортогонален единичному вектору E, то будем полагать, что векторы f и f также обладают этим свойст1 вом, то есть для них выполняются равенства f E = 0, f E = 0.

1 Таким образом, (17) имеет вид f (w) = F(w){jwf - R (S)}+ nf, (21) 1 поэтому разложение (16) для F(w,e) можно записать следующим образом:

F(w,e) = F(w)R(S) + eF(w){jwf - R (S)}+ enf + O(e ). (22) 1 Этап 3. Для нахождения функции F(w) просуммируем по k все уравнения системы (7) и, принимая во внимание (13), получим равенство F(w,e)A( jew, S - e)E + enPB( jew)E = 0. (23) Для матриц A и B из этого равенства запишем разложения ( jew) A( jew,S - e)E = jewA1(S)E + A2 (S)E - je2wA1(S) + O(e3 ), (24) B( jew)E = jewB1E + O(e2 ).

Таким образом, равенство (23) с учетом разложений (22) и (24), при e ® 0 запишем в виде F(w) jw f1A1(S)E + R(S)A2 (S)E - [R(S)A1(S)E + f2 A1(S)E] + + n[f3 A1(S)E + PB0E]= Получаем, что характеристическая функция нормированного числа заявок в ИПВ равна n[f A (S)E + PB E] 3 1 F(w) =.

[R(S)A (S)E + f A (S)E]- jw f A (S)E + R(S)A (S)E 1 2 1 1 1 Так как F(0) = 1, то величина n принимает значение R(S)A1(S)E + f2 A1(S)E n =, f3A1(S)E + PB0E а функция F(w) примет вид k F(w) =, k - jw которая определяет экспоненциальное распределение с параметром k, значение которого определяется равенством R(S)A1(S)E + f2 A1(S)E k =.

f1A1(S)E + R(S)A2 (S)E Таким образом, в работе получено выражение для нахождения пропускной способности сети при определенных параметрах, а также найдена характеристическая функция нормированного числа заявок в ИПВ.

Литература 1. Назаров А. А., Моисеева С. П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. – Томск: Изд-во НТЛ, 2006. – 112 с.

2. Назаров А. А., Любина Т. В. Исследование системы массового обслуживания М/М/1/ИПВ с конфликтами заявок, управляемой динамическим протоколом доступа // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009): Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (13–14 ноября 2009 г.). – Томск : Изд-во Том. ун-та, 2009. – С. 65–68.

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 годы)», проект № 4761 «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ИНДЕКСА ПАССАЖИРООБОРОТА ОБЩЕГО ПОЛЬЗОВАНИЯ Д. Н. Матанцева Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске В докладе рассматриваются данные индекса пассажирооборота транспорта общего пользования в России на период с января 1997 по ноябрь 2009 года включительно, показания являются ежемесячными, общее число членов временного ряда N = 155. Необходимо построить модель этого временного ряда с целью использования ее для осуществления прогноза на будущее. Для построения модели мы будем брать данные начиная с 1997 по 2008 год, а «прогноз» сделаем на 2009 год, затем сравним полученные прогнозные значения с реальными данными. Это позволит судить о правильности модели и точности прогнозирования на основе построенной модели.

На рис. 1 показан график индекса пассажирооборота транспорта общего пользования. Из графика ясно виден сезонный характер колебаний, наслаивающихся на монотонно растущий тренд. Всплески активности пассажирооборота в течение года происходят летом, на период отпусков, и зимой, на период новогодних праздников.

135 Пассажиро оборот Рис. 1. Индекс пассажирооборота транспорта общего пользования Анализируемый временной ряд содержит монотонно растущий тренд и сезонную составляющую. В нашем случае тренд предполагается линейным. Сезонная составляющая является периодической функцией, которая достаточно хорошо может быть представлена отрезками ряда Фурье, следовательно, эта составляющая может рассматриваться как тригонометрический тренд. Как видно из рис. 1, амплитуда колебаний временного ряда не постоянна, она возрастает со временем, следовательно, сезонная компонента умножается на некоторый мультипликатор D.

1997 1999 2001 2003 2005 2007 Таким образом, временной ряд можно представить в виде x(t) = fтр(t) + Dtj(t) + e(t), (1) где fтр (t) – функция тренда, j(t) -функция сезонной составляющей, e(t) – случайная составляющая, t = 1,2,..,n, Dt -мультипликатор.

Данный временной ряд имеет линейный тренд fтр = a0 + a1t. Оценки коэффициентов тренда имеют следующий вид [1]:

n yt (t - t) ^ ^ ^ 1+ n t =a = y - a t, a =, t =.

0 1 n (t - t)t =^ ^ Для рассматриваемых данных a0 =104,8416, a = 0,16586.

Так как временной ряд можно представить в виде (1), то для того, чтобы получить остатки после выделения тренда, надо выразить e(t) + Dtj(t) из (1). Получим:

e(t) + Dtj(t) = x(t) - fтр(t).

Далее будем работать с остатками. Найдем значения мультипликатора. Для точек с максимальными и минимальными периодами активности вычислим прямые линии, которые наилучшим образом аппроксимируют эти точки. Обозначим эти прямые l1 = a1 + b1t и l2 = a2 + b2t. Разделим остатки после выделения случайной составляющей на величину l1(t) - l2(t) a1 - a2 b1 - bD = l3(t) = = a3 + b3t = + t.

2 2 Полученные значения от деления будем использовать в дальнейшем при выделении сезонной составляющей. Сезонную составляющую можно представить отрезками ряда Фурье в виде:

(m / 2)-2pj 2pj f (t,a) = a0 + [a2 j -1 cos( t) + a2 j sin( t)] + am-1(-1)t. (2) m m j =Идентификация коэффициентов производится с помощью МНК [1]:

n ^ ^ ^ 2 2pj 2 2pj m a = y, a = yt cos( t), a = yt sin( t), j = 1,.., -1, 0 2 j-1 2 j n m n m t =n ^ t a = (3) m-(-1) yt.

n t =Период тригонометрического тренда равен 12, были вычислены коэффициенты по формулам (3):

a0=0,002485; a1=-0,5848; a2=-0,3774; a3=0,2473;

a4=0,1687; a5=0,02459; a6=-0,1452; a7=0,02459;

a8=0,0528; a9=0,03555; a10=0,0366; a11=-0,00027.

Случайные остатки могут быть вычислены по формуле e(t) = x(t) - fтр(t) - Dj(t), На рис. 2 показаны остатки после выделения неслучайных составляющих.

Остатки --Остатки -Рис. 2. Случайные остатки временного ряда Представим случайную составляющую как процесс АР(1):

e(t) = ae(t -1) + d(t), где d(t) представляет собой «белый шум».

Оценки параметров модели находим по формулам:

n-1 2 s = (1- )(0), = 0 ((t) n t=1 - )((t +1) - ), (0) - где (0) – выборочная дисперсия остатков.

Получаем следующие численные значения:

s = 10,3135; = 0,71399.

Итак, математическая модель индекса пассажирооборота транспорта общего пользования по исходным данным с 1997 по 2008 год построена.

На основе этой модели построен прогноз на 2009 год. Сравнение с реальными данными показывает, что полученная модель позволяет строить достаточно хороший прогноз. Причем при прогнозировании более чем на 6 месяцев случайную составляющую можно считать белым шумом. Использование модели авторегрессии позволяет несколько улучшить точность прогноза при горизонте прогнозирования от 1 до 3 месяцев.

Литература 1. Колемаев В. А. Эконометрика. – М.: Инфра-М, 2009. – 160 с.

7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ИССЛЕДОВАНИЕ RQ-СИСТЕМЫ МЕТОДОМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА А. А. Назаров, И. А. Семенова Томский государственный университет Рассмотрим RQ -систему (Retrial Queue), то есть однолинейную систему массового обслуживания с источником повторных вызовов, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью l.

Считается, что требование, заставшее прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметром m. Если прибор занят, то поступившая заявка переходит в источник повторных вызовов (ИПВ), где осуществляет случайную задержку, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром s. Из ИПВ после случайной задержки заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата. Если прибор свободен, то заявка из ИПВ занимает его на случайное время обслуживания, если же он занят, то заявка мгновенно возвращается в источник повторных вызовов для реализации следующей задержки случайной продолжительности [4].

Пусть i(t)– число заявок в ИПВ, а l(t)– определяет состояние прибора следующим образом:

0, если прибор свободен, l(t)=1, если прибор занят.

Обозначим P{l(t)= l, i(t) = i}= P(l,i,t) вероятность того, что прибор в момент времени t находится в состоянии l и в источнике повторных вызовов находится i заявок.

Процесс {l(t),i(t)} изменения во времени состояний описанной системы является марковским.

Для распределения вероятностей P(l,i,t) состояний {l,i} рассматриваемой RQ -системы составим дифференциальные уравнения Колмогорова, по формуле полной вероятности записав равенства ¶P(0,i,t) = -(l + is)P(0,i,t)+ mP(1,i,t), ¶t (1) ¶P (1,i,t) = -(l + m)P(1,i,t)+ lP(0,i,t)+ s(i + 1)P(0,i +1,t)+ lP(1,i -1,t).

¶t Из (1) получим систему уравнений, определяющих характеристические функции [1] ¶H(0,u) - sj ¶u = -lH(0,u)+ mH(1,u), (2) sje- ju ¶H(0,u) = lH(0,u)+(l(e ju m)H(1,u), -1) ¶u решение {H(0,u), H(1,u)} которой удовлетворяет условию нормировки H(0,0)+ H(1,0)=1. (3) Систему (2) будем решать методом асимптотического анализа в условии большой задержки в ИПВ, то есть при s ® 0.

Метод асимптотического анализа в матричном виде Для простоты и компактной записи вычислений дальнейшие исследования будем проводить в матричном виде [2].

Обозначив вектор-строку H(u)= {H(0,u), H(1,u)}, систему (4) перепишем в матричном виде ¶H(u) sj A( ju)= H(u)B( ju), (5) ¶u H(0)E =1, (6) где равенство (6) – условие нормировки, а матрицы A( ju) и B( ju) имеют вид -1 e- ju n ( ju) A( ju) = = An, n! 0 n= - l l n ( ju) B( ju) = = Bn.

m l(e- ju -1)- m n! n=Асимптотика первого порядка Для нахождения асимптотики первого порядка обозначим s = e и в системе (5–6) выполним замены u = ew, H(u)= F1(w,e). (7) Тогда уравнение (5) примет вид ¶F1(w,e) j A( jew)= F1(w,e)B( jew), (8) ¶w а равенство (6) запишем следующим образом:

F1(0,e)E =1. (9) В задаче (8)–(9) выполним предельный переход при e ® 0, получим систему [3] ¶F1(w) j A0 = F1(w)B0, ¶w F1 =1, (0)E решение F1(w) которой запишем в виде произведения F1(w) = RF1(w) = R exp{jwk1} (10) вектора R, определяемого системой R B0 + 1A0 = 0, ( ) (11) RE =и скалярной функцией F1(w), вид которой определен равенством (10).

Значения величины k1 определим следующим образом:

Сложим все уравнения системы (8), умножив это равенство справа на единичный вектор-столбец E, и выполним разложение матриц, получим ¶F1(w,e) j jewA1E = F1(w,e)jewB1E + O(e2), ¶w где, выполнив предельный переход, получим нелинейное скалярное уравнение относительно величины kR(B1 + k1A1)E = 0. (12) Откуда, выполнив обратные замены, получим функцию, которую будем называть асимптотикой первого порядка характеристической функции h1(u) числа заявок i(t) в источнике повторных вызовов [3] k.

h1(u)= exp ju (13) s Асимптотика второго порядка Для нахождения асимптотики второго порядка в уравнении (5) выполним замены u H(u)= exp j k1H2(u), s = e2, u = ew, H (u)= F2(w,e).

s Получим задачу ¶F2(w,e) je A( jew)= F2(w,e){B( jew)+ k1A( jew)}, (14) ¶w F2(0,e)E =1. (15) Далее, выполняя аналогичные действия, что и в первой асимптотике, получим асимптотику второго порядка характеристической функции h2(u) числа заявок i(t) в источнике повторных вызовов k1 ( ju) kh2(u)= exp ju +, s 2 s где - g1(B1 + k1A1)E + R(B2 + k1A2)E k2 =, (16) g(B1 + k1A1)E + RA1E А векторы g и g1 определяются неоднородными системами линейных алгебраических уравнений g(B0 + k1A0 )+ RA0 = 0, g1(B0 + k1A0 )+ R(B1 + k1A1)= 0.

Асимптотика (n+1)-го порядка Для нахождении асимптотики произвольного порядка будем применять метод математической индукции.

Пусть вектор – функция Hn(u) (n 3) удовлетворяет уравнению n n-¶Hn(u) ( ju) sj A( ju)= Hn(u)B( ju)+ k1A( ju)+ kn+1A( ju), (17) n! ¶u n= в которых известны все kn при n =1,2,...,n -1.

Пусть применяя уравнение (17), найдено значение величины kn, тогда в (17) выполним замены n ( ju) kn Hn(u) = exp (u), s = en+1, u = ew, Hn+1(u)= Fn+1(w,e).

H n+n! s Получим задачу ¶Fn+1(w,e) jen A( jew) = ¶w (18) n n-( jew) = Fn+1(w,e)B( jew)+ k1A( jew)+ kn+1A( jew) n! n= Fn+1(0,e)E =1. (19) Далее, выполняя аналогичные действия, что и в первой, и во второй асимптотиках, получим асимптотику (n+1)-го порядка характеристической функции hn+1(u) числа заявок i(t) в источнике повторных вызовов [3] n+1 ju)n hn+1(u)= exp (20) ( kn, n=1 n! s где n-1 n-n n k kn+1 = -gn(B1 + k1A1)E + fn Bт+1-n + kk+1An+1-n-k E +, Cn+1 Cn+1-n n+n=1 k= n- k + R Bn+1 + E C kk An+1-k {g(B1 + k1A1)E + RA1E}.

n+1 n+1 + k = А векторы g и gn определяются неоднородными системами линейных алгебраических уравнений g(B0 + k1A0)+ RA0 = 0, n-1 n-n n k gn(B0 + k1A0)+ fn Bn-n + kk+1An-n-k + Cn Cn-n n=1 k=n- k + R Bn + kk+1An-k = 0.

C n k=Таким образом, в работе получено асимптотическое распределение вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов (n+1)-го порядка, в условии большой задержки.

Литература 1. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. – М.: ЛКИ, 2007. – 400 с.

2. Назаров А. А., Терпугов А. Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. – Томск: Изд-во НТЛ, 2006. – 204 с.

3. Назаров А. А., Моисеева С. П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. – Томск : НТЛ, 2006. – 112 с.

4. Назаров А. А., Терпугов А. Ф. Теория массового обслуживания. – Томск:

НТЛ, 2004. – 228 с.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 27 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.