WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 27 |

r r r r r r ¶V Ha2 H Ra r + (V )V = -p - + DV + T ez + Ha2(H)H, (1) ¶t Pm 2 Pr r div V =, (2) r ¶T + V T = DT, (3) ¶t Pr r r r r ¶H = rot(V H)- rot(rotH). (4) ¶t Pm r r V H Здесь – скорость движения жидкости, – напряженность магнитного поля, р – давление, T – температура, t – время, – оператор Лапласа, Ra – число Рэлея, Pr – число Прандтля, Ha – число Гартмана, Pm – r ez магнитное число Прандтля, – единичный вектор, направленный против силы тяжести.

W = {(x, y, z) RРассмотрим прямоугольную область :

0 x Lx, 0 y Ly, 0 z Lz} с границей ¶W. Предположим, что на всей границе скорость жидкости обращается в нуль; на ее верхней и нижней части поддерживаются заданные значения температуры, а боковые стенки – теплоизолированы. Задаются также начальные условия.

Разностный алгоритм решения задачи (1)–(4) с граничными и начальными условиями строится на основе процедуры расщепления по физическим процессам. На каждом временном слое сначала из уравнений (1), (2) определяется поле скоростей. На этом этапе электромагнитные силы в уравнениях Навье-Стокса вычисляются по значениям магнитной индукции с предыдущего шага по времени. Затем, используя найденное поле скоростей, последовательно решаются уравнения теплопроводности (3) и магнитной индукции (4).

Для решения уравнений движения используется неявный алгоритм типа предиктор-корректор. На равномерной сетке алгоритм решения уравнений (1)–(3) имеет второй порядок точности по пространству и первый по времени.

Проведено тестирование построенного разностного метода на задаче с известным аналитическим решением.

r V Пусть в покоящейся среде. Добавим в правую часть уравнеr f = - {c1,c2,c3} ния (4) слагаемое вида, где с1, с2, с3 – произвольные Pm константы.

r r r ¶H = - rot(rotH)+ f. (5) ¶t Pm r Hf ={c1z2,c2x2,c3y2} Это уравнение имеет стационарное решение.

Получим его методом установления, задав на границе тангенциальные r r Hf H =компоненты вектора. В качестве начальных условий выберем.

Расчёт для безразмерных значений Lx = Ly = l, 16 узлов сетки по каждому из направлений, = 0.01, Рm = 2, с1 = 1, с2 = 2, с3 = 3 показал, что за r Hf время t = 2 во всей области устанавливается искомое распределение.

Абсолютная ошибка имеет порядок 10-10, равный точности решения итерационным методом системы линейных алгебраических уравнений. Результат не зависит от шага сетки по пространству и времени. Это естественно, так как схема имеет второй порядок аппроксимации, а точное решение является полиномом второй степени от х, у, z.

Литература 1. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. – М.: Наука, 1972. – 392 с.

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VПI: Электродинамика сплошных сред. – М.: Наука, 1982. – 620 с.

3. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. – М.: Логос, 2005. – 326 с.

УСЛОВИЕ ПРЕДЕЛЬНО ЧАСТЫХ ИЗМЕНЕНИЙ СОСТОЯНИЙ УПРАВЛЯЮЩЕЙ ЦЕПИ MMP-ПОТОКА И. Л. Лапатин Томский государственный университет Широким классом потоков с зависимыми длинами интервалов между моментами наступления событий является класс марковских потоков (Markovian Arrival Process). Его понятие впервые было введено М. Ньютсом [1], а затем уточнено Д. Лукантони в работе [2], которая также содержит первые исследования основных характеристик MAP-потоков. В русскоязычной литературе определения таких потоков даны в книгах Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко [3], А. Н. Дудина, В. И. Клименок [4], А. А. Назарова, С. П. Моисеевой [5].

Частным случаем MAP-потоков является класс MMP-потоков (Markov Modulated Poisson Process), имеющий наглядную физическую интерпретацию. У потока имеется несколько уровней интенсивности, процесс изменения которых образует цепь Маркова с непрерывным временем. Пока эта цепь находится в некотором состоянии, MMP-поток ведет себя как простейший с соответствующей состоянию интенсивностью. Таким образом, MMP-поток является «смесью» нескольких простейших потоков разной интенсивности.

В данной работе рассматривается условие, при выполнении которого MMP-поток является асимптотически простейшим.

Теперь перейдем к строгому определению MMP-потока [5].

Случайным потоком однородных событий или точечным случайным процессом по определению называется последовательность t0 < t1 < t2 < t3 <...

моментов наступления рассматриваемых событий.

Случайный поток однородных событий будем определять в виде случайного процесса n(t) – числа событий рассматриваемого потока, наступивших за время t.

Пусть эргодическая цепь Маркова k(t) задана матрицей инфинитезимальных характеристик Q с элементами qk. Также задан набор неотрицательных чисел k, которые имеют смысл условных интенсивностей MMP-потока.

Случайный поток однородных событий будем называть МMРпотоком, управляемым эргодической цепью Маркова k(t), если выполняются равенства P{n(t + Dt) = n +1| n(t) = n,k(t) = k}= lkDt + o(Dt), P{n(t + Dt) > n +1| n(t) = n,k(t) = k}= o(Dt).

Заметим, что пока управляющая цепь Маркова k(t) находится в некотором состоянии k, события в МMР-потоке наступают как в простейшем с параметром k.

Состояния управляющей цепи Маркова будем называть состояниями МMР-потока.

Определим диагональную матрицу с элементами k на главной диагонали.

Наиболее полной и удобной для исследования характеристикой MMP-потока является вектор-функция H(u,t), компоненты которой определяются равенством jun H (k,u,t) = e P(k, n,t), n где P(k, n, t) – распределение вероятностей значений двумерной цепи Маркова {k(t), n(t)}.

Известно [5], что вектор-функция H(u,t) является решением задачи Коши ju ¶H (u,t) = H (u,t)[Q + (e -1)L], (1) ¶t H (u,0) = R а интенсивность рассматриваемого MMP-потока определяется равенством k = RLE, (2) где R – вектор-строка стационарного распределения вероятностей состояний управляющей цепи Маркова k(t), определяемый системой RQ = 0, (3) RE = 1, а E – единичный вектор-столбец.

Будем рассматривать MMP-поток в условии предельно частых изменений его состояний. Для этого в задаче (1) сделаем следующие замены, полагая, что S некоторая положительная величина, Q = S Q(1), H (u,t) = F(u,t,S).

Тогда для вектор-функций F(u, t, S) можно записать ju ¶F(u,t, S) = F(u,t, S)[S Q(1) + (e -1)L].

(4) ¶t F(u,0, S) = R Заметим, что стационарные распределения вероятностей состояний управляющей цепи k(t), заданной матрицами инфинитезимальных характеристик Q(1) и Q=S Q(1), совпадают (не зависят от S), но при увеличении значений величины S состояния цепи Маркова k(t) меняются предельно часто.

Теорема. Сумма компонентов предельного, при S ®, значения вектор-строки F(u, t) решения F(u, t, S) задачи (4) имеет вид ju F(u,t)E = exp{(e -1)kt}, (5) где E – единичный вектор-столбец, величина определяется равенством (2).

Доказательство. Поделив левую и правую части уравнения для F(u,t,S) задачи (4) на S и устремив S к бесконечности, получим систему F(u,t)Q(1) = 0, которая совпадает по виду с системой (3), откуда можно записать F (u, t) = R F(u, t), (6) где (u,t) – некоторая скалярная функция. Для определения ее вида умножим справа уравнение для F(u, t, S) задачи (4) на единичный вектор-стобец соответствующей размерности, устремим S к бесконечности и подставим разложение (6). Тогда функция (u,t) будет удовлетворять уравнению ¶F(u, t) ju = F(u, t)(e - 1)k, ¶t решая которое и учитывая (6), получим, что F(u, t)E удовлетворяет равенству (5). Теорема доказана.

Сформулированная теорема говорит о том, что MMP-поток в условии предельно частых изменений состояний управляющей цепи является асимптотически простейшим. При этом равномерный рост интенсивностей перехода управляющей цепи Маркова k(t) из одного состояния в другое не влияет на стационарное распределение состояний этой цепи и на интенсивность потока.

Литература 1. Neuts M.F. A versatile Markovian arrival process // Journal of Appl. Prob. – 1979. – Vol. 16. – P. 764–779.

2. Lucantoni D. New results for the single server queue with a batch Markovian arrival process // Stochastic Models. – 1991. – Vol. 7. – P. 1–46.

3. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. 3-е изд., испр. и доп. – М.: КомКнига, 2005. – 400 с.

4. Дудин А. Н., Клименок В. И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. – Мн.: БГУ, 2000. – 175 с.

5. Назаров А. А., Моисеева С. П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. – Томск: Изд-во НТЛ, 2006. – 109 с.

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 годы)», проект № 4761 «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

О СУПЕРПОЗИЦИИ ЭЛЛИПСА И ОКРУЖНОСТИ А. Г. Ложкин, А. И. Тимофеев Ижевский государственный технический университет Получение точек пересечений двух эллипсов решается в настоящее время, используя методы Декарта-Эйлера и Кардано-Тартальи. Уравнение четвертой степени сводится к кубическому, а далее находятся его корни.

Для некоторых действительных корней rR, последний метод дополнительно дает комплексную составляющую irC. И хотя величина rC / rR небольшая, хотелось бы получить аналитическое решение без комплексных чисел.

Предложена цепочка преобразований [1], позволяющая свести уравнение четвертой степени к квадратному, то есть, получено более простое решение, чем метод Декарта-Эйлера.

Важнейшим шагом в выделенной цепочке является преобразование 1 h 1 сдвига с матрицей h, g. Данное преобразоваили 0 1 g 1, где ние необходимо для приведения двух эллипсов к единому ортогональному базису. Для того, чтобы трансформировать эллипсы, надо найти такой связанный со сдвигом угол x, чтобы после поворота сцены сдвиг приводил к единому базису.

Используя ПАМ, получена система тригонометрических уравнений 1 h для преобразования сдвиг, описывающая произвольно располо0 женный эллипс и окружность с центром в начале координат:

tg2a= 2/ h xsin x + y cosx tga=, xcosx- ysin x+ h(xsin x+ ycosx) 2(b2 cosj1(hcosj1 - sinj1) + a2 sin j1(cosj1 + hsin j1)) tg2a= (a2(cosj1 + hsin j1)2 + b2(hcosj1 - sin j1)2) - (b2 cos2 j1 + a2 sin2 j1) где j1 =j+x – угол поворота эллипса, после поворота x, a – угол поворота эллипсов после преобразования сдвига, x, y – центр эллипса, a,b – полуоси эллипса, j1, j, a, x, x, y, a, b.

Ранее [1] было получено решение для коэффициента h из первого и x третьего уравнений: h = -2ctgj1. Углы arctg и j рассматривались как y независимые. При зависимости этих углов выведено из первого и второго ( y2 - x2)sin j + 2xycosj уравнений значение для угла x: tgx=.

(y2 - x2)cosj - 2xysin j cos -sin Осуществив преобразования фигур с матрицами, sin cos 1 h cos -sin,, получаем два симметричных относительно оси 0 sin cos абсцисс эллипса, нахождение точек пересечения которых, после растяжения одного из них, сводится к решению квадратного уравнения [1].

Литература 1. Вычислительная планиметрия с вырожденными преобразованиями. – Екатеринбург : Изд-во Института экономики Уро РАН, 2009. – 158 с.

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ RQ-СИСТЕМЫ С КОНФЛИКТАМИ ЗАЯВОК Т. В. Любина, А. А. Назаров Томский государственный университет Однолинейную систему массового обслуживания с источником повторных вызовов (ИПВ), управляемую динамическим протоколом доступа будем называть динамической RQ-системой (retrial queue) [1].

Рассмотрим динамическую RQ-систему с конфликтами заявок. На вход системы поступает простейший поток с параметром l. Заявка, заставшая прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметром m. По завершении успешного обслуживания заявка покидает прибор. Если во время обслуживания некоторой заявки поступает другая, то в приборе возникает конфликт и обе заявки переходят в ИПВ. Из ИПВ после случайной задержки заявка, с интенсивностью s / i, вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата, i – число заявок в ИПВ. Если прибор свободен, то заявка становится на обслуживание, если же он занят, то вновь возникает конфликт заявок [2].

Состояние системы в момент времени t определяется двумерной цепью Маркова k(t), i(t) [3, 4], где i(t) – число заявок в ИПВ, а k(t) оп{ } ределяет состояние прибора следующим образом:

0, если прибор свободен, k = 1, если прибор занят.

Обозначим P k(t) = k, i(t) = i = P(k,i,t) – вероятность того, что в { } момент времени t прибор находится в состоянии k и в источнике повторных вызовов i заявок.

Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для P(k,i,t), i 2 :

¶P(0,i,t) = -(l + s)P(0,i,t) + mP(1,i,t) + sP(1,i -1,t) + lP(1,i - 2,t), ¶t (1) ¶P(1,i,t ) = -(l + m + s)P(1,i,t) + sP(0,i +1,t) + lP(0,i,t).

¶t Будем полагать, что система функционирует в стационарном режиме.

Запишем систему (1) для стационарного распределения P(k,i,t) P(k,i) :

-lP(0,0) + mP(1,0) = 0, i = 0, -(l+m)P(1,0) +lP(0,0) +sP(0,1) = 0, i = 0, -(l + s)P(0,1) + mP(1,1) = 0, i =1, -(l+s+m)P(1,1) +lP(0,1) +sP(0,2) = 0, i =1, (2) -(l+s)P(0,i) +mP(1,i) +sP(1,i -1) +lP(1,i - 2) = 0, i 2, -(l+s+m)P(1,i) +lP(0,i) +sP(0,i +1) = 0, i 2.

Метод асимптотического анализа в условиях большой загрузки Обозначив jui H (k,u) = P(k,i), e i из системы для распределения вероятностей (2) получим систему уравнений для функций H (k,u) в виде ju s se s s ju ju - (r + )H (0,u) + (1 + + re2 )H (1,u) = e P(1,0) - P(0,0), m m m m (3) s s s s (r + e- ju )H (0,u) - (1 + + r)H (1,u) = e- ju P(0,0) - P(1,0), m m m m l где r =.

m Обозначив векторы H (u) ={H (0,u), H (1,u)}, P(0) = {P(0,0), P(1,0)} и матрицы s s s s - (r + ) r + e- ju - e- ju m m m m A( ju,r) =, B( ju) =, (4) 1+ s e ju + re2 ju (1+ s - s e ju s - + r) m m m m систему уравнений (3) для функций H (k,u) запишем в виде H (u)A( ju,r) + P(0)B( ju) = 0. (5) Для нахождения значения пропускной способности S [1, c. 97], а также других вероятностно-временных характеристик уравнение (5) будем решать методом асимптотического анализа в условии большой загрузки r ­ S, обозначив e = S - r и полагая e ® 0.

В уравнении (5) выполним замены r = S - e, u = ew, H (u) = F(w, e), P(0) = eP, (6) получим F(w,e)A( jew, S - e) + ePB( jew) = 0. (7) Этап 1. Обозначим lim A( jew, S - e) = A(0, S) = A0(S), (8) e®где A (S) определяется из равенства n n ( jew) A( jew, S - e) = (S) -e A (S). (9) ( jew) An n n! n! n=0 n=Тогда, выполнив в (7) предельный переход (8), получим равенство F(w)A (S) = 0. (10) Решение F(w) однородной системы (10) линейных алгебраических уравнений можно записать в виде F(w) = F(w)R(S), (11) где R(S) – распределение вероятностей значений цепи k(t), определяемое системой R(S)A (S) = 0, (12) RE = 1, а скалярная функция F(w) будет определена ниже.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 27 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.