WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 27 |

Обозначим {n1(t),n2(t)} – двумерный процесс, компоненты которого характеризуют число событий просеянных потоков, наступивших до момента времени t.

Если в некоторый начальный момент времени t0 < T система обслуживания свободна, то есть в ней нет обслуживаемых заявок, то для момента времени T выполняется равенство i1(T ) = n1(T ), i2(T ) = n2(T ), (1) то есть число ik (T) приборов, занятых в k -м блоке обслуживания рассматриваемой системе обслуживания, равно числу nk (T) событий просеянного потока, наступивших до момента времени T.

Равенство (1) является основным для дальнейших исследований, так как проблему исследования немарковизируемой системы обслуживания с неограниченным числом приборов сводит к задаче анализа просеянного нестационарного потока, определяемого процессом {n1(t),n2(t)}. Найдя характеристики этого случайного процесса в произвольный момент времени t, где t0 t T, положим t = T, тогда, в силу равенства (1), его характеристики совпадают с характеристиками величины {i1(t),i2(t)}.

Обозначим P(n1,n2,t) = P{n1(t) = n1, n2(t) = n2} – распределение вероятностей состояний двумерной цепи Маркова, характеризующей число событий двумерного просеянного потока, наступивших до момента времени t.

Для распределения P(n1,n2,t) можно записать систему дифференциальных уравнений Колмогорова [2]:

¶P(n1,n2,t) = l[(1- S1(t))(1- S2(t))-1]P(n1,n2,t) + ¶t + lS1(t)S2(t)P(n1 -1,n2 -1,t) + l S1(t) (1- S2(t))P(n1 -1,n2,t) + lS2(t) (1- S1(t))P(n1,n2 -1,t). (2) Определив производящую функцию двумерного распределения P(n1,n2,t) в виде n1 G(x, y,t) = (3) x yn P(n1,n2,t), n1 =0n2 =нетрудно показать, что она удовлетворяет уравнению ¶G(x, y,t) = G(x, y,t)l{[(1- S1(t))(1- S2(t))-1]+ xyS1(t)S2(t) + ¶t + xS1(t)(1- S2(t))+ yS2(t) (1- S1(t))}, (4) решение которого с учетом начальных условий G(x, y,0) 1 имеет вид T T T G(x, y,T ) = expl(x -1)(y -1) (t)S2(t)dt +(x -1) (t)dt +(y -1) (t)dt 1 1 S S S. (5) 0 0 Финальное распределение получим при выполнении условия T ®.

Учитывая, что 1 S (t)dt = [1- B1(T - t)]dt = b1, S (t)dt = [1- B2(T - t)]dt = b2, 0 0 0 запишем (5) следующим образом.

G(x, y) = expl x -1 y -1 (t)S2(t)dt + x -1 b1 + y -1 b( )( ) ( ) ( ) S Литература 1. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. – 3-е изд., испр. и доп.– М.: КомКнига, 2005. – 408 с.

2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 448 с.

3. Назаров А. А., Моисеева С. П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. – Томск: Изд-во НТЛ, 2006. – 112 с.

4. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», проект № 4761 «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗОРЕНИЯ ДЛЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ С УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОСТИ ОДНОВРЕМЕННОГО НАСТУПЛЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ СТРАХОВЫХ СЛУЧАЕВ Е.В. Капустин, Е.А. Бабенко Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске В классической модели страховой компании [1] предполагается, что:

1) страховые взносы поступают в компанию равномерно по времени с постоянной скоростью;

2) страховые случаи образуют простейший поток событий;

3) величины страховых выплат независимы и имеют одинаковое распределение.

Таким образом, в этой модели поток выплат является ординарным.

Однако при более тонком анализе работы страховой компании нужно учитывать, что одновременно могут пострадать и, соответственно, обратиться за выплатой страхового возмещения сразу несколько клиентов страховой компании. Такая ситуация возможна, например, при аварии туристического автобуса, при авиационной катастрофе, при наводнении или другом стихийном бедствии.

Пусть величина страховой выплаты каждому отдельному клиенту имеет экспоненциальное распределение со средним q, то есть её плотность распределения имеет вид x q p(x) = e, x 0. (1) q Количество страховых случаев, наступающих одновременно, является случайной величиной, принимающей значения n =1, 2, 3K. Предположим, что вероятность того, что одновременно наступает n страховых случаев, равна n N e-N p(n) =, n =1,2,3K, (2) n! 1- e- N то есть количество страховых случаев, наступающих одновременно, имеет распределение пуассоновского типа со средним N. Тогда плотность распределения величины общей суммы, выплачиваемой страховой компанией, имеет вид [2] n N e- N - x xN q p(x) = e (3) 1.

q 1- e- N n=0 q n!(n +1)! Известно [1], что если страховые взносы поступают в компанию со скоростью c, поток страховых случаев (страховых выплат) имеет интенсивность l, а величина страховой выплаты имеет плотность распределения p(x), то при уровне капитала S вероятность разорения страховой компании P(S) удовлетворяет уравнению S cP (S) - lP(S) + l P(S - x)p(x)dx + (4) p(x)dx = 0 S и граничному условию lim P(S) = 0. (5) S ® Далее, известно [1], что если c > lm1, где m1 – момент 1-го порядка, величина страховой выплаты, то задача (4)–(5) имеет единственное решение P(S), удовлетворяющее условию 0 P(S) 1, причем его изображение (преобразование Лапласа) имеет вид 1 c - lm~ P( p) = - (6) ~(.

p cp - l(1- p p)) Для плотности распределения (3) имеем:

N m1 = q, (7) 1- e-N N ~( p) = e-N e 1+qp.

p -1 (8) 1- e-N Раскладывая дробь, стоящую в правой части (6), в ряд по степеням N eqp+1, имеем n a e-N Nn ~ 1 1- lq N n P( p) = - + (-1) q eqp+1, (9) p c 1- e-N p - a n=1 a n+ p - q q где lq a =. (10) c 1- e-N Осталось найти оригинал правой части (9). Для этого введем функции fn(t) = (11) k!(n1 tn+k, n =1, 2,3,K, + k)! k =и найдем их изображения. Имеем 1 1 1 p k!(n1 tn+k « k! pn+k+1 = 1 k! pk = 1 e, + k)! pn+1 k=0 pn+k=0 k=поэтому [3] n+1 Nn S Nn Nn Nn q eqp+1 « e fn S. (12) qp +1 q q Для выражения в правой части (9) имеем Nn n+1 Nn n+1 1 qp +1 Nn eqp+1 = eqp+1 = n+1 n+Nn qp + a a p - p q q n+1 n+1 Nn n+q a + 1 Nn = 1 + eqp+1 = Nn qp - a qp + n+1 Nn n+n q 1 Nn k+k += (a +1) 1+ Cn+1 1 eqp+1.

k +Nn qp + (qp - a) k = Учитывая, что [3]:

« 1, p S a q « e, a p q k S a 1 1 1 S q « e, k +q k! q (qp - a) n+1 Nn k -x S S x a 1 Nn 1 1 S - x Nn Nn q q eqp+1 « e e fn xdx, k +qp +1 q k! q q q (qp - a) получаем оригинал правой части (9), то есть вероятность разорения страховой компании при уровне капитала S n S n P(S) = 1-1- lq N ea + q (-1) ae-N c 1- e-N Nn n= k - x x S S S n - a - Nn 1 1 S Nn k +1 - x k +q q fn S + (a +1) e e fn x dx. (13) e q Cn+ q q k! q q k = Для вычисления значения выражения, стоящего в правой части (13), написана программа. Правильность полученных результатов проверена с помощью имитационного моделирования.

Литература 1. Глухова Е. В., Змеев О. А., Лившиц К. И. Математические модели страхования. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. – 180 с.

2. Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения для модели страховой компании, учитывающей возможность одновременного наступления нескольких страховых случаев // Обработка данных и управление в сложных системах: Сборник статей / Под ред. А.Ф. Терпугова. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. – Вып. 6.– С. 188–195.

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973. – 736 с.

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 годы)», проект № 4761 «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗОРЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ С ПУАССОНОВСКИМ ПОТОКОМ ВЗНОСОВ И С УЧЕТОМ ИЗДЕРЖЕК, РАВНОМЕРНЫХ ПО ВРЕМЕНИ Е. В. Капустин, М. С. Михайленко Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске При описании работы страховой компании можно использовать хорошо известную классическую модель, а также модель с пуассоновским потоком взносов [1]. Эти модели достаточно точно описывают функционирование страховой компании и в то же время доступны для исследования. Однако модель страховой компании должна учитывать, что компания расходует денежные средства на заработную плату сотрудникам, аренду помещений, налоговые отчисления и прочие издержки. Для простоты расходование средств на издержки можно считать равномерными по времени.

В классической модели это означает лишь уменьшение скорости поступления капитала в компанию, но модель с пуассоновским потоком взносов и с учетом издержек уже имеет существенные отличия, требующие дополнительного исследования.

Пусть денежные средства расходуются на обязательные отчисления со скоростью c, поток страховых взносов имеет интенсивность l1, поток страховых выплат имеет интенсивность l2, величина страхового взноса имеет экспоненциальное распределение с плотностью y a p(y) = e, y 0, (1) a величина страховой выплаты имеет плотность распределения p(x). Применяя стандартный Dt -метод, можно показать, что P(S) – вероятность разорения страховой компании при уровне капитала S – удовлетворяет уравнению cP (S) + (l1 + l2 )P(S) = l1 + y) p(y)dy + P(S S + l2 - x)p(x)dx + (2) P(S p(x)dx 0 S и граничному условию lim P(S) = 0. (3) S ® Применяя операционный метод [2], можно показать, что если выполняется условие нормального функционирования компании l1a > c + l2m1, (4) где m1 – момент 1-го порядка величины страховой выплаты, то задача (2)– (3) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 P(S) 1, причем его изображение (преобразование Лапласа) имеет вид ~( 1 1- p p) c - (c + l2m1) + l~ 1 1 - pa p P( p) =. (5) ~( a 1- p p) p c - l1 + l1 - pa p Теперь, чтобы найти вероятность разорения компании P(S), нужно ~ найти оригинал функции P( p). Предположим, что страховые выплаты имеют экспоненциальное распределение, x q p(x) = e, x 0. (6) q Тогда m1 = q, (7) ~( p) = 1, p qp +~( 1 - p p) q =, (8) p qp +поэтому (5) принимает вид ca(qp +1) + l2q(a + q) ~ P( p) =. (9) c(qp +1)( pa -1) + l1a(qp +1) + l2q( pa -1) Несложно показать, что если выполняется (4), то знаменатель дроби в правой части (9) имеет два различных вещественных отрицательных корня, то есть (9) имеет вид ~ p + a P( p) =, (10) ( p + k1)( p + k2) где ca + l2q(a + q) a =, (11) caq k1 k2, k1 > 0, k2 > 0.

Отсюда ~ - k1 + a 1 - k2 + a P( p) = +, - k1 + k2 p + k1 - k2 + k1 p + kпоэтому вероятность разорения страховой компании при уровне капитала S равна - k1 + a - k2 + a 1 P(S) = e-k S + e-k S. (12) - k1 + k2 - k2 + kЛитература 1. Глухова Е. В., Змеев О. А., Лившиц К. И. Математические модели страхования. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. – 180 с.

2. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973. – 736 с.

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 годы)», проект № 4761 «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ПОДСЧЕТА КОЛИЧЕСТВА ПРОСТЫХ ЦИКЛОВ В ГРАФЕ А. М. Караваев Петрозаводский государственный университет Введение В нашей предыдущей работе [1] был рассмотрен алгоритм подсчета количества простых циклов в графе, основанный на общей схеме метода динамического программирования по подмножествам [3]. Было показано, что с помощью нашей двуэтапной схемы можно значительно уменьшить объем используемой в процессе вычислений памяти. В завершение работы были сделаны предположения о возможности эффективной параллельной реализации предложенного алгоритма.

Напомним кратко содержание задачи подсчета количества простых циклов в графе. В процессе изложения мы в основном следуем определениям из [2]. Граф обозначается парой G = (V, E), в которой V – множество вершин, а E – множество ребер, причем V = n и E = m.

Рассматриваются только неориентированные графы без петель и кратных ребер. Задача заключается в том, чтобы для заданного графа G подсчитать количество простых циклов длиной k для k = 3, 4, …, n.

В [1] обозначены основные недостатки известных подходов для решения поставленной задачи и указаны возникающие в этой связи преимущества нашего двухэтапного алгоритма. В данной работе обсуждается параллельная реализация алгоритма и демонстрируется характер его поведения на практике. Тестирование алгоритма проводилось на кластере КарНЦ РАН [4].

Параллельный алгоритм Схема нашего двухэтапного алгоритма со всеми обозначениями приводится в [1]. Кратко отметим лишь основную идею алгоритма. Для экономии памяти выбирается специальный параметр 1 d n, смысл которого сводится к тому, что на первом этапе алгоритма выполняется поиск всех путей и циклов длиной не больше d, а на втором этапе выполняется поиск простых путей длиной не больше n - d, которые, объединяясь с путями из первого этапа, дают все возможные циклы длиной от d +1 до n.

Параметр d должен быть как можно меньшим, но таким, чтобы хватило памяти для выполнения второго этапа. Чем больше значение d, тем на большее количество подзадач разбивается главная задача. Чем меньше d, тем меньше подзадач, но тем они сложнее.

Предложенный метод может быть естественным образом расширен для параллельных вычислений. Первый этап выполняется на одном главном ядре, в результате чего получается некоторое множество путей, которые сразу же передаются для дальнейшей обработки на остальные ядра. Таким образом, одно ядро выполняет роль менеджера, который должен распределять нагрузку между всеми процессорами и затем просуммировать результат. Максимальный коэффициент ускорения, который можно достигнуть с использованием этой схемы, есть N -1, где N – количество задействованных ядер. При использовании такой схемы обнаружились некоторые сложности.

Обсуждения В качестве демонстраций возможностей параллельной схемы были проведены вычислительные эксперименты. Исследовалась скорость работы алгоритма на следующих видах тестов:

· Complete- n – полный граф из n вершин.

· Графы шахматных фигур: коня (Knight- n ), короля (King- n ), ладьи (Rook- n ) и ферзя (Queen- n ) на шахматных досках размером n n.

· Grid- n – прямоугольная решётка размером n n узлов.

· Hyper- n – n -мерный гиперкуб.

Тесты специально подбирались в параметрическом виде, чтобы другие авторы могли повторить наш эксперимент со своими алгоритмами. В таблице приводится время работы параллельной программы в секундах на различном количестве вычислительных ядер:

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 27 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.