WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 27 |

Полумарковский поток определяется полумарковской матрицей A(x) с элементами Ak (x), Ank x = P x n +1 = k,t n +1 < x x n = n, ( ) ( ) ( ) ( ) { } где (n) – эргодическая цепь Маркова с дискретным временем [5] и матрицей P = [pk] вероятностей перехода за один шаг; процесс (n) принимает неотрицательные значения из непрерывного множества.

Для элементов полумарковской матрицы в общем случае имеет место мультипликативная форма, которую можно записать в виде Ank x = Gnk x pnk, ( ) ( ) где Gk (x) – условная функция распределения длины интервала полумарковского потока при условии, что в начале этого интервала вложенная цепь Маркова приняла значение, а в конце его примет значение k.

Матрицу A(x) можно записать в виде произведения Адамара A x = G x * P (1) ( ) ( ) двух матриц G(x) и P, и можно полагать, что полумарковский поток задан двумя матрицами G(x) и P.

Условие предельно редких изменений состояний SM-потока Исследование системы SMM будем проводить в условии предельно редких изменений состояний (ПРИС) входящего потока [6, 7].

Условие предельно редких изменений состояний полумарковского потока формализуется следующим равенством для матрицы P() вероятностей переходов его вложенной цепи Маркова P d = I +dQ, (2) ( ) где – некоторый малый параметр ( 0), а I – единичная диагональная матрица.

Матрица Q c элементами qk аналогична матрице инфинитезимальных характеристик и имеет такие же свойства, то есть при k элементы матрицы qk > 0, а также выполняются равенства q = 0, q =-qkk.

nk nk k k n Пусть система функционирует в стационарном режиме [5-6]. Обозначим i(t) – число приборов, занятых в момент времени t, тогда стационарное распределение вероятностей значений процесса i(t) обозначим p(i) = P{i(t)= i}.

Рассмотрим трехмерный процесс {s(t), z(t),i(t)}, который является марковским [4]. Здесь процесс z(t) – длина интервала от момента времени t до момента наступления очередного события в рассматриваемом SMпотоке, процесс s(t) принимает и сохраняет то значение, которое вложенная по моментам наступления событий в полумарковском потоке цепь Маркова x(n) принимает в конце рассматриваемого интервала.

Для распределения вероятностей процесса {s(t), z(t),i(t)} P(s, z,i,t) = P{s(t) = s, z(t) < z,i(t) = i}, из которого затем получим одномерное маргинальное распределение p(i) = P(s,,i), нетрудно составить s систему дифференциальных уравнений Колмогорова, которую перепишем для стационарного распределения вероятностей P(s, z,i) P(s, z,i,t) в условии ПРИС [7] в виде ¶P(s, z,i,d) ¶P(s,0,i,d) - - P(s, z,i,d)im+ P(s, z,i +1,d) i +1 m+ ( ) ¶z ¶z + ¶P(n,0,i -1,d) Ans (z,d) = 0.

¶z n jui Обозначив H (s, z,u,d) = e P(s, z,i,d), для функций H (s, z,u,d) i=получим систему уравнений, которую перепишем в матричном виде ¶H (z,u,d) ju + jm 1- e- ju + e A(z,d) - I = 0, (3) ( )¶H (z,u,d) ¶H (0,u,d){ } ¶z ¶u ¶z решение H (z,u,d ) которого, удовлетворяющее условию H (z,0,d) = R(z,d), (4) определяет характеристическую функцию числа i(t) приборов, занятых в стационарном режиме в системе SM|M|, равенством jui(t) h(u) = Me = H (,u)E.

Здесь вектор R(z,d) с компонентами R(s, z,d), имеет вид z R z,d = k1 d r ( ) ( ) (P(d) - A(x,d))dx, где r – стационарное распределение вероятностей значений вложенной цепи Маркова, величина k1 d определяется равенством ( ) k1 d =, ( ) rA d E ( ) а матрица A d имеет вид ( ) A d = ( ) (P(d) - A(x,d))dx.

В соответствии с теоремой Пуанкаре [9] об аналитической зависимости решения от параметра существует предел lim H u, z,d = H u, z. (5) ( ) ( ) d®Тогда в уравнении (3), с учетом (5), выполним предельный переход при d® 0. Для функций H u, z,t, с учетом вида матрицы A(z), получим ( ) совокупность независимых дифференциальных уравнений ¶H (s, z,u) ju + jm 1- e- ju + e Gss z -1 = 0. (6) ( ) ( )¶H (s, z,u) ¶H (s,0,u){ } ¶z ¶u ¶z Условие растущего времени обслуживания Будем решать уравнение (6) в асимптотическом условии растущего времени обслуживания [4, 6, 8], полагая, что m ® 0. Обозначим m = e и в уравнении (6) выполним замены u = ew, H (s, z,u) = F1(s, z,w,e), (7) для F1(s, z, w,e ) получим уравнение ¶F1(s, z,w,e) jew + j 1- e- jew 1 + e Gss z -1 = 0. (8) ( ) ( )¶F (s, z,w,e) ¶F1(s,0,w,e){ } ¶z ¶w ¶z Рассмотрим такой класс решений H s, z,u уравнения (6), для ко( ) торых, в силу (7), функции F1 s, z,w,e обладают следующими свойства( ) ми: существуют конечные пределы при e ® 0 функций F1 s, z,w,e и их ( ) производных по w, по z и по z в нуле Теорема. При e ® 0 решение уравнения (8) имеет вид F1(s, z,w) = R(s, z)exp jwk1, (9) { } где стационарное распределение R(z) двумерного марковского процесса z {s(t), z(t)} имеет вид R(z)= k1r - A(x))dx. Здесь A x = lim A x,d – по( ) ( ) (P d ®лумарковская матрица, P = lim P d – стохастическая матрица вероятно( ) d ®стей переходов вложенной цепи Маркова, r – стационарное распределение вероятностей значений вложенной цепи Маркова, а величина k1 определяется равенством k1 =, где матрица A определяется равенством rAE A = - A(x))dx.

(P Следствие. Функцию jukh1(u)= exp m будем называть асимптотикой первого порядка характеристической функции h(u) стационарного процесса i(t).

Заключение В данной работе найдено асимптотическое распределение вероятностей числа занятых приборов в системе в условии предельно редких изменений состояний в SM-потоке и условии растущего времени обслуживания. Полученное распределение может быть многомодальным.

Литература 1. Lucantoni D. New results for the single server queue with a batch Markovian arrival process // Stochastic Models. – 1991. – V. 7. – P. 1–46.

2. Lucantoni D. M., Meier-Hellsten K. S., Neuts M. F. A single-server queue with server vacations and a class of non-renewal arrival processes // Adv. Appl. Prob. – 1990. – №22. – P. 676–705.

3. Neuts M. F. A versatile Markovian arrival process // Journal of Appl. Prob. – 1979. – V. 16. – P. 764–779.

4. Лопухова С. В. Асимптотические и численные методы исследования специальных потоков однородных событий: дис. … канд. физ.-мат. наук // Лопухова Светлана Владимировна. – Томск, 2008.

5. Назаров А. А. Теория вероятностей и случайных процессов: учебное пособие. – Томск: Изд. НТЛ, 2006.

6. Назаров А.А. Методы асимптотического анализа в теории массового обслуживания. – Томск: НТЛ, 2006.

7. Горбатенко А. Е., Назаров А. А Метод асимптотического анализа MАPпотока в условии предельно редких изменений состояний потока // Современные информационные компьютерные технологии: сб. науч. ст.: в 2 ч. – Ч. 2 (mcIT – 2008). – Гродно: ГрГУ, 2008. – С. 30–32.

8. Горбатенко А. Е. Исследование квазиразложимого поумарковского потока // Теория вероятностей, математическая статистика и приложения: Материалы международной научной конференции. – Минск, 2010. – C. 53–59.

9. Эльсгольц Л. Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 годы)», проект № 4761 «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН С ПОГРУЖЕННЫМ В ИДЕАЛЬНУЮ НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И. В. Григорьева, И. Л. Теплова Кемеровский государственный университет Работа посвящена численному моделированию взаимодействия волн с погруженным телом в идеальной несжимаемой жидкости методом граничных элементов в линейной пространственной постановке. В качестве тестовых выбраны две различные задачи: задача о колебаниях твердой сферы под свободной поверхностью и задача о распространении волн в прямоугольном бассейне.

1. Постановка задачи Пусть область течения W(t) ограничена сверху свободной поверхностью G1, которая описывается функцией подъема свободной поверхноz = h(x, y,t) сти, снизу – твердой стенкой G. Боковые границы G, G, G 2 3 4 и G области W(t) представляют собой открытые границы. Под свободной поверхностью G1 расположено твердое тело с поверхностью S. В области W(t) происходит безвихревое потенциальное движение однородной несжимаемой жидкости. На жидкость действует поле сил тяжести с потенциалом gz [2].

Рис. 1. Погруженное тело Постановка задачи в безразмерных переменных имеет вид [1]. Поr тенциал поля скоростей j = j(t, x) удовлетворяет уравнению Лапласа r Dj = 0, x W(t), (1) а также кинематическому и динамическому условиям на свободной границе r ¶j ¶h ¶j ¶h ¶j ¶h, x G, (2) = + + ¶z ¶t ¶x ¶x ¶y ¶y r ¶j 1 + j + gh = 0, x G. (3) ¶t Кроме того, потенциал j удовлетворяет условию непротекания на границе G2 и на поверхности погруженного тела S.

r ¶j = 0, x G, S, (4) ¶n r где n – внешняя по отношению к жидкости нормаль.

Потенциал поля скоростей представляется в виде суммы j = j + j, i s где j – волновой потенциал, j – потенциал, учитывающий распростраi s нение возмущений, генерируемых погруженным телом [2].

На открытой границе задается условие, учитывающее, что возмущения, порождаемые погруженным телом, не доходят до свободной границы r j = j, x G, G, G, G. (5) i 3 4 5 Необходимо задать начальные условия: положение свободной границы в начальный момент времени t = 0 и распределение потенциала на ней:

r G = G, j = j(0, x). (6) 1 t =0 t =Из уравнения (1), граничных условий (2), (3), (4) и (5), а также начальных условий (6) нужно определить форму свободной поверхности и распределение потенциала на ней во все последующие моменты времени.

2. Метод граничных элементов В качестве основного соотношения МГЭ используется третья формула Грина, записанная для потенциала поля скоростей j и его нормаль¶j ной производной q =.

¶n v v v v v v v v v v v v v v v * * * - (x,x)q(x,x)d W(x)+ (x,x)j(x, x)d W(x)- (x, x)q(x, x)d W(x)j q j G1 S Gv v v v v v v v v v v v v v v * * * - (x, x)q(x, x)d W(x)- (x, x)q(x, x)d W(x)- (x, x)q(x, x)d W(x)j j j G4 G5 Gv v v v v * - (x, x)q(x, x)d W(x), j G* где j – фундаментальное решение уравнения Лапласа, которое в проr r r r странственном случае записывается в виде j* =1 4pr (x,x), r(x,x) – расv v стояние между точками x и x, расположенными на границе области W(t) [1].

3. Результаты вычислений В качестве тестовых были выбраны две различные задачи. Первая – задача о колебаниях твердой сферы под свободной поверхностью [2]. Задача выбрана в качестве тестовой потому, что в начальный момент времеj ни жидкость покоится, соответственно =0. Возмущение свободной поi верхности G вызвано колебаниями тела. Для данной задачи была выбрана симметричная относительно центральной оси расчетная область. Радиус расчетной области в безразмерных переменных равен 3, высота столба жидкости – 4, центр сферы радиусом 0,2 располагается на расстоянии 0,под свободной поверхностью G. Движение твердой сферы начинается с опускания, амплитуда колебаний сферы – 0.06, период колебаний – 0.012.

В процессе колебаний сферы в центре свободной поверхности G формируется возвышение, которое на этапе погружения сферы опускается и переходит во впадину. В процессе колебаний возмущения распространяются от центра свободной поверхности G к краям расчетной области, при этом осевая симметрия течения сохраняется.

Вторая тестовая задача – это задача о распространении волн в пряj моугольном бассейне [2]. Ввиду отсутствия тела =0 и движение жидкоS H g cosh[k(h + z)] сти обусловлено волновым потенциалом ji = и функ2 d cosh[kh] H hi = cos(kx - dt) цией возмущения свободной поверхности, где d – радиальная частота, вычисляемая из соотношения d = gk tanh(kh), H – высо2p та волны, k = – волновое число, с длиной волны L. В этом случае волL ны заданной высоты распространяются вдоль оси абсцисс и выходят за границу расчетной области, сохраняя свою форму.

Литература 1. Afanasiev K. E., Grigorieva I. V. Numerical investigation of three-dimensional bubble dynamics // Journal of Engineering Mathematics. – Volume 55. – Springer, 2006. – 65 p.

2. Vimal V. V. Boundary-Integral Analysis of Nonlinear Diffraction Forces on a Submerged Body. – Florida Atlantic University, 2003. – 118 p.

ХАРАКТЕРИСТИКИ КАПИТАЛА СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ С УЧЕТОМ ИНВЕСТИЦИЙ В БЕЗРИСКОВЫЕ АКТИВЫ И ПРИ НАЛИЧИИ НЕЯВНОЙ РЕКЛАМЫ Д. Д. Даммер Томский государственный университет В настоящее время широкий интерес вызывают математические модели так называемой актуарной математики, изучающей различные аспекты страхового дела. В большинстве работ последнего времени рассматривается как классическая модель страховой компании, так и модели, приближенные к реальности [1]. В данной работе определяются характеристики капитала страховой компании при нестационарном потоке входящих страховых рисков, при вложении денежных средств компании в безрисковые активы и с учетом неявной рекламы.

Пусть страховая компания в момент времени t характеризуется капиталом S(t) и числом застрахованных рисков k(t). Модель страховой компании будем исследовать с учетом следующих предположений:

1. В компанию поступает поток новых рисков, который мы будем считать пуассоновским потоком событий переменной интенсивности l(t)+ b(t)k(t). Первое слагаемое отражает поток новых рисков, которые клиенты страхуют по не зависящим от неё обстоятельствам. Второе слагаемое характеризует поток рисков, пришедших в компанию благодаря распространению информации о компании среди незастрахованных клиентов, и величина b(t) определяет скорость распространения информации, т. е. имеет место так называемая неявная реклама. Каждый новый риск вносит в капитал компании премию x, размер которой является случайной величиной с функцией распределения Fx(x) и с М{x}= a1, М{x2}= a2. Так как величина первого страхового взноса – это прерогатива компании и устанавливаться по её усмотрению, то будем считать, что величины a1, aзависят от времени, т. е. a1(t), a (t).

2. Каждый из застрахованных рисков выплачивает дополнительные взносы в размере случайной величины с функцией распределения Fz(z), М{z}= с1, М{z2}= с2. Также считаем, что c1(t), c2(t) являются функциями времени. Предполагается, что взносы осуществляются независимо друг от друга с интенсивностью m2k(t).

3. Будем считать, что с каждым риском может наступить страховой случай с интенсивностью m1k(t) и эти страховые случаи для различных рисков независимы. При этом компания выплачивает страховое возмещение в размере случайной величины с функцией распределения Fh(y), и М{h}= b1, М{h2}= b2. Предполагаем, что средние выплаты и величина bзависят от времени.

4. Введем детерминированную функцию r(t), определяющую ставку доходности по безрисковым активам. Предположим, что страховая компания вкладывает все свои денежные средства в эти самые активы.

5. Функции l(t), b(t), a1(t), a (t), c1(t), c2(t), b1(t), b2(t), r(t) являются непрерывными либо функциями, которые имеют разрывы только первого рода.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 27 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.