WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 27 |

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ РЕССЛЕРА В. Г. Борисов, Е. И. Штаб Кемеровский государственный университет Исследуются бифуркации периодических решений системы дифференциальных уравнений Ресслера [1], описывающей модельную химическую реакцию:

& y = -( ) y + 1 2 y = y +ayy, (1), & 2 1 & ( ) 3 3 y =a+ y y -m.

Здесь у1, y2, y3 – концентрации реагирующих веществ,, – числовые параметры. Периодические решения системы исследуются численно с помощью метода отображений Пуанкаре, описанного в [2]. Суть метода состоит в том, что периодическим решениям сопоставляются неподвижные точки отображения Пуанкаре, соответствующие некоему трансверсальному многообразию S фазового пространства. Отображение Пуанкаре строится численным интегрированием системы (1), дополненной уравнениями, описывающими вариацию начальных условий вдоль многообразия S. Точка покоя отображения Пуанкаре строится методом Ньютона. Численная аппроксимация дифференциала отображения Пуанкаре, необходимого для реализации метода Ньютона, получается интегрированием упомянутых выше уравнений в вариациях. Дифференциал отображения Пуанкаре, в его неподвижной точке представляет собой матрицу монодромии соответствующего периодического решения, и поведение собственных значений этой матрицы (мультипликаторов) характеризует устойчивость цикла и его бифуркации [3].

Описанная выше методика реализована в программе, позволяющей по начальному условию, заданному на многообразии S в достаточной близости от предельного цикла, строить неподвижную точку отображения Пуанкаре и выводить мультипликаторы соответствующего ей цикла. Кроме того, программа позволяет методом продолжения по параметру строить серию периодических решений, используя в качестве начального приближения для следующего значения параметра, точку покоя отображения Пуанкаре, полученную при предыдущем значении параметра. Начальную точку на многообразии S, в случае наличия в системе устойчивого цикла, можно попытаться построить методом стабилизации [2]. Численное интегрирование траекторий проводится BDF методом [4].

Ниже приводятся результаты численного исследования периодических решений системы (1) при фиксированном значении параметра = 0,2.

Значение параметра варьируется. В качестве начального значения параметра берется значение = 0.4, при котором происходит рождение изолированного однократного цикла, далее при увеличении параметра исследуются бифуркации циклов с использованием данных об их мультипликаторах. В качестве многообразия S для всех циклов выбрана плоскость у1 = Таблица Значения мультипликаторов циклов k 1 1 0,403 0.964139 + 0.070237i 0.964139 - 0.070237i 1 1 0.512074 -0.1 2 -0.125057 -0.1 2,6 -0.264773 -0.1 2,8 -0.283507 -0.1 3,1 -0.297636 -0.1 3,2 -0.299604 -1.2 3,2 0.275493 0.1 3,6 -0.297862 -1.2 3,6 -0.585808 -0.1 3,7 -0.295540 -1.2 3,7 -0.737808 -0.1 3,9 -0.289176 -1.2 3,9 -0.912239 -1.4 3,9 -0.741641 0.На рис. 1 изображены циклы системы при значениях параметра, равных 0,403, 1,0, 2,0, 2,6 и 3,1. Значения мультипликаторов 1, 2 циклов кратности k при некоторых значениях параметра приведены в таблице.

Из этих данных видно, что при увеличении значения параметра в интервале (0,4, 3,1] диаметр цикла увеличивается, мультипликаторы цикла изменяются, оставаясь внутри единичного круга комплексной плоскости, следовательно [3] цикл остается устойчивым. При значении =3,1 мультипликатор 2 находится вблизи границы единичного круга и при дальнейшем росте параметра пересекает эту границу. Как видно из таблицы, при некотором значении параметра 1, принадлежащем интервалу (3,1, 3,2), мультипликатор пересекает границу единичного круга, при этом исследуемый цикл теряет устойчивость, и в его окрестности возникает двукратный цикл (рис. 2). Родившийся двукратный цикл, судя по его мультипликаторам, приведенным в таблице, является устойчивым, но при дальнейшем росте значений параметра он также теряет устойчивость, и в его окрестности возникает устойчивый четырехкратный цикл. С дальнейшим ростом значений параметра последовательность бифуркаций периодических решений приводит к возникновению в системе (1) хаотического аттрактора.

Литература 1. Ressler O. E. Chemical Turbulence: Chaos in a small reaction-diffusion system.

– Z. Naturforch. – a 31, 1168-1172, 1976.

2. Штаб Е. И., Борисов В. Г. Локализация и численное исследование бифуркаций периодических решений ОДУ // Информационные Недра Кузбасса. INтехнологии. – Кемерово: Изд-во КемГУ, 2008. – C. 449–451.

3. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. – М.: Марек; М.: Мир, 1991.

4. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных. – М.: Мир, 1990.

ПОСТРОЕНИЕ КОЛЬЦА ИНВАРИАНТОВ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHEMATICA А. А. Брусенцова, И. М. Новик Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук Т. Ю. Войтенко Лесосибирский педагогический институт – филиал Сибирского федерального университета Пусть P – поле нулевой характеристики и G GL(n, P) – конечная линейная группа. Многочлен f (x) P[x1,Kxn] называют инвариантом (относительно) группы G, если f (x) = f (Ax) при всех AG. Множество P[x1,Kxn]G всех инвариантных многочленов группы G образует подкольцо в кольце P[x1,Kxn]. Многочлен f инвариантен относительно группы G тогда и только тогда, когда инвариантны все его однородные компоненты.

Важным инструментом изучения колец P[x1,Kxn]G является оператор Рейнольдса, определяемой формулой RG( f ) = f (Ax), | G | AG где f (x) P[x1,K, xn]. Линейный оператор RG обладает следующими важными свойствами:

1) RG является линейным по f ;

2) RG ( f ) P[x1,Kxn]G для любого f P[x1,K, xn];

3) RG ( f ) = f для любого f P[x1,K, xn]G.

Кроме того, оператор Рейнольдса переводит любой однородный многочлен в однородный многочлен той же степени.

С помощью оператора Рейнольдса доказывается один из важнейших результатов теории инвариантов.

Теорема (Э. Нетер). Пусть G GL(n, P) – конечная линейная группа. Тогда P[x1,Kxn]G = P[RG(ab)], где ab – любые мономы с полной степенью b, удовлетворяющей условию b | G |.

Из этой теоремы, в частности, вытекает, что кольцо P[x1,Kxn]G порождается конечным числом однородных инвариантов.

Приведенная теорема позволяет найти все инварианты, порождающие кольцо P[x1,Kxn]G. Однако, не все из найденных инвариантов могут оказаться алгебраически независимыми. Алгебраические соотношения между образующими инвариантами можно описать, вычислив базис Грёбнера идеала, содержащего все нетривиальные алгебраические соотношения между образующими кольца P[x1,Kxn]G. Нахождение конечной системы образующих кольца инвариантов в каждом конкретном случае является трудной задачей.

Рассмотрим пример построения множества образующих кольца инвариантов для конечной линейной группы G, порожденной матрицей - A = 1 -1 GL(2, P). Для вычисления базиса Грёбнера воспользуемся системой компьютерной алгебры Mathematica.

0 - -1 1 1 Кольцо инвариантов группы G =,, будет 1 -1 0 -1 состоять из всех многочленов f P[x, y], удовлетворяющих условию f (x, y) = f (-y, x - y). Оператор Рейнольдса группы G задается формулой RG ( f )(x, y) = ( f (x, y) + f (-y, x - y) + f (-x + y,-x)).

По теореме Нётер все образующие инварианты кольца P[x, y]G слеj дует искать среди однородных многочленов RG(xi y ), i + j 3. Результаты вычислений для каждого такого многочлена приведены в таблице.

Таблица j j xi y RG(xi y ) x y (x2 + y2 - xy) xxy (x2 + y2 - xy) y2 (x2 + y2 - xy) x2 y - xyxx2 y (-x3 - y3 + 3x2 y) xy2 (-x3 - y3 + 3xy2) - x2 y + xyxСледовательно, кольцо P[x, y]G порождается инвариантами x2 + y2 - xy, x2 y - xy2, - x3 - y3 + 3x2 y, - x3 - y3 + 3xy2. Опишем алгебраические соотношения между порождающими многочленами. Для этого положим u = x2 + y2 - xy, v = x2 y - xy2, w = -x3 y3 + 3x2 y, s = -x3 - y3 + 3xy2.

Тогда идеал соотношений будет определяться исключением x, y из заданной системы. Вычислим базис Грёбнера идеала u - x2 - y2 + xy,v - x2 y + xy2,w + x3 + y3 - 3x2 y, s + x3 + y3 - 3xy2 с упорядочением x > y > u > v > w > s. Результаты вычислений в системе Mathematica приведены на рис. 1.

Рис. 1. Построение базиса Грёбнера Первое соотношение раскрывает линейную зависимость между s, v и w. Следовательно, многочлен - x3 - y3 + 3xy2 можно исключить из списка образующих. Оставшиеся образующие связаны нетривиальным соотношением u3 - 9v2 + 3vw - w2. Таким образом, P[x, y]G = [x2 + y2 - xy, x2 y - xy2,-x3 - y3 + 3x2 y], и все соотношения между образующими инвариантами порождаются соотношением (x2 + y2 - xy)3 = = 9(x2 y - xy2)2 - 3(x2 y - xy2)(-x3 - y3 + 3x2 y) + (-x3 - y3 + 3x2 y)2.

Литература 1. Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. – М. :

Мир, 2000. – 687 с.

2. Винберг Э. Б. Курс алгебры. – М. : Факториал Пресс, 2002. – 544 с.

ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗОРЕНИЯ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ ПРИ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКОМ ПОТОКЕ СТРАХОВЫХ ВЫПЛАТ Я. С. Бублик Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске 1. Математическая модель страховой компании Классическая модель страховой компании строится в предположении, что основные характеристики, определяющие изменение капитала страховой компании: скорость поступления денежных средств c и интенсивность потока страховых выплат l – не зависят от времени, однако эти характеристики могут изменяться за счет, например, сезонных изменений.

Подходящей моделью потока страховых выплат при этом является дважды стохастический пуассоновский поток с переменной интенсивностью l(t).

Будем предполагать, что интенсивность l(t) является однородной цепью Маркова с непрерывным временем и n состояниями. Переход из состояния в состояние задаётся матрицей инфинитезимальных характеристик q Q = ранга n -1. Таким образом, переход из состояния i в состояние ij j за малое время Dt имеет вероятность Pij (Dt) = qijDt +o(Dt), i j, (1) Pii (Dt) =1+ qiiDt + o(Dt), i =1, n, где qij 0 при i j и n (2) q = 0.

ij j=Будем считать, далее, что страховые выплаты являются независимыми случайными величинами с плотностью распределения y x, сред( ) ним значением M x = a и вторым моментом M x2 = a2. Наконец, в со{ } { } ответствии с классической моделью страховой компании будем считать, что страховые премии поступают непрерывно во времени с постоянной скоростью c, так что за время Dt приращение капитала за счет страховых премий равно cDt.

Можно показать, что при t >>1 средний капитал в момент времени t S(t) : (c -l0a)t, (3) где l0 – средняя интенсивность потока страховых выплат. Отсюда следует, что при t >>1 и q >0 капитал компании в среднем монотонно возрастает, если c = (1 + q)l a. (4) При q< 0 компания разоряется. Параметр q, как и в классической модели, – нагрузка страховой премии.

2. Уравнения для вероятностей разорения Пусть T = inf t : S t < 0 и T =, если S(t) > 0 "t. Случайная вели{ ( ) } чина T – момент разорения. Обозначим через pi s = P T < – вероят( ) { } ность разорения страховой компании при условии, что в начальный момент времени ее капитал равен s и значение интенсивности l = li. Наконец, считая, что начальное распределение вероятностей состояний интенсивностей совпадает с финальными вероятностями pi, обозначим n p(s) = pi(s) (5) pi i=– вероятность разорения страховой компании при условии, что начальный капитал равен s. Можно показать, что вероятности разорения pi(s) удовлетворяют системе уравнений:

s n & cpi s =li pi s - pj s -li pi s - x y x dx -li ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q ij y(x)dx, (6) j=0 s с граничным условием lim pi s = 0. (7) ( ) s® Для решения системы уравнений (6) можно применить преобразование Лапласа. Обозначим 1- Y w ( ) -ws Fi w = pi s e-wsds, Y w =.

( ) ( ) ( ) y(s)e ds, X (w) = w Применяя преобразование Лапласа к системе (6), получим систему уравнений относительно Fi w :

( ) n (8) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) q Fj w +w c -li X w Fi w = cpi 0 -li X (w).

ij j=Для определения вероятностей разорения pi s нужно теперь ре( ) шить систему уравнений (6) и вычислить обратные преобразования Лапласа. Из соотношений (8) можно получить значение вероятности разорения p 0 при нулевом начальном капитале:

( ) p 0 =. (9) ( ) 1+q Таким образом, как и в классической модели страховой компании, вероятность разорения при нулевом начальном капитале зависит только от нагрузки страховой премии.

3. Вероятность разорения при малой нагрузке страховой премии Получить точное решение системы уравнений (6) не удается. Поэтому рассмотрим далее асимптотический случай, когда нагрузка страховой премии q =1. Решение системы уравнений (6) будем искать в виде pi s = ji qs,q. (10) ( ) ( ) 1+q Относительно функций ji z,q будем предполагать, что они явля( ) ются дважды дифференцируемыми по своим аргументам. Подставляя (10) в уравнения (6) и сделав замену переменной qs = z, получим уравнения относительно функций ji z,q ( ) z n q & cqji z,q =lji z,q - j z,q -li i z -qx y x dx ( ) ( ) ( ) i qij j j ( ) ( ) j=(11) -li 1+ q ( ) y(x)dx z q Обозначим ji z = limji z,q.

( ) ( ) q®Переходя в (11) к пределу при q® 0, получим, что n (12) ( ) q jj z = 0.

ij j= Так как по условию Rang = n -1, то из сравнения систем уравqij нений (2) и (12) получаем, что ji z = j z "i, где j z неизвестная по( ) ( ) ( ) ка функция. Представим теперь функции ji z,q в виде ( ) ji (z,q) = j(z) + Bi (z)q + Ci (z)q2 + o(q2).

Можно показать, что функции Bi (z) и Ci (z) удовлетворяют уравнениям:

n & ( ) ( ) ( ) q Bj z = li - l0 aj z, ij j=n & &&& ( ) ) ( ) ( ) ( ) q Cj z -(li -l0 aBi z +li a2 j z +l0aj z = 0.

ij j=Исключая из получившейся системы уравнений функции Bi (z) и Ci (z), получим уравнение относительно j z :

( ) &&& A1j z + A2j z = 0, ( ) ( ) n-l0a2 n-где A1 = - a2 li -l0 pi ij l -l0, A2 =l0a.

( ) ( ) R j i=1 j=A- z AОткуда j z =U1 +U2e.

( ) Из условий P(+) = 0 и P(0) = получим, что U1 = 0, U2 =1, и 1+q при q <

ИССЛЕДОВАНИЕ SMM В УСЛОВИЯХ ПРЕДЕЛЬНО РЕДКИХ ИЗМЕНЕНИЙ СОСТОЯНИЙ SM-ПОТОКА И РАСТУЩЕГО ВРЕМЕНИ ОБСЛУЖИВАНИЯ А. Е. Горбатенко, С. В. Лопухова Томский государственный университет Математическая модель Рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает полумарковский поток (SMпоток) [1–4]. Продолжительности обслуживания различных заявок стохастически независимы, одинаково распределены и имеют экспоненциальное распределение с параметром m. Поступившая заявка занимает любой из свободных приборов, завершив обслуживание, заявка покидает систему.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 27 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.