WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 27 |

k(t) – состояние прибора, при этом 0- линия свободна, k(t) = i - линия занята, заявка находитсяна i-й фазе обслуживания, i =1,n, z(t) – длина интервала от текущего момента времени t до момента окончания текущего обслуживания, если линия занята.

Определим вероятности для описания процесса обслуживания.

P 0,t,N – вероятность того, что однолинейная система пуста, ( ) P z,t, N (k, ) – вероятность того, что линия занята, заявка находится на k-й фазе обслуживания и до конца обслуживания остается времени меньше z.

Составим Dt -методом прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова [2]:

n-¶P 0,t, N ¶P k,0,t, N ¶P n,0,t, N ( ) ( ) ( ), l = - P 0,t, N + 1- rk + ( ) ( ) ¶t N¶z ¶z k=¶P 1, z,t, N ¶P 1, z,t, N ¶P 1,0,t, N ( ) ( ) (( ) ( ) ) l =-+ P 0,t, N B1 z, ¶t ¶z ¶zN ¶P k, z,t, N ¶P k, z,t, N ¶P k,0,t, N ¶P k -1,0,t, N ( ) ( ) ( ) ( )r Bk (z).(1) =-+ k-¶t ¶z ¶z ¶z Решение указанной системы будем искать в виде:

-P 0,t, N =1- F 0,t + o ( ) ( ) (N ), N -P 1, z,t, N = F 1, z,t + o ( ) ( ) (N ), N -P k, z,t, N = F k, z,t + o (2) ( )( ) (N ).

N Подставив предложенный вид решения в систему (1) и выполнив ¶F k,0,t ( ) замену = hk t, k =1,n, получим:

( ) ( ) ¶z n-¶F 0,t ( ) = - t 1- rk - hn t, ( ) ( ) ( ) h k ¶t k=¶F 1, z,t ¶F 1, z,t ( ) ( ) = - h1 t +lB1 z, ( ) ( ) ¶t ¶z ¶F k, z,t ¶F k, z,t ( ) ( ) = - hk t + hk-1 t rk -1Bk z ( ) ( ) ( ), k = 2,n. (3) ¶t ¶z Найдем решение системы (3). Из первого уравнения получим выражение для F 0,t :

( ) tt n-F 0,t = lt - 1- rk hk s ds - s ds. (4) ( ) ( )h ( ) ( ) n k=Решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка для F 1, z,t определяется решением системы обыкновен( ) ных дифференциальных уравнений [3]:

dF 1, z,t ( ) dt dz = =.

1 -1 -h1 t + B1 z ( ) ( ) Первый интеграл получаем из первого соотношения:

dt dz =, z = C1 -t.

1 -Другой первый интеграл получим из равенства dF 1, z,t ( ) dt =, 1 -h1 t + B1 z ( ) ( ) откуда tt F 1, z,t = - s ds + l t + z - s ds +C2.

( ) 1 h ( ) B ( ) Для нахождения частного решения полученного уравнения необходимо задать начальные условия. Считаем, что в начальный момент времени система была пуста, тогда P(0,0, N) =1, F(0,0) = 0, F(k, z,0) = 0, следовательно, F(1, z,0) = C2 = 0, тогда tt F 1, z,t = - s ds + l t + z - s ds. (6) ( ) h ( ) B ( ) Равенство (6) позволяет определить вид функции h1 t :

( ) ¶F 1, z,t ( ) h1 t = =lB1 t. (7) ( ) ( ) z=¶z Аналогично находим выражения для F k, z,t. Так как уравнение ( ) для F k, z,t системы (3) является уравнением в частных производных, то ( ) для его решения запишем следующую систему уравнений:

dF k, z,t ( ) dt dz = =.

1 -1 -hk t + hk -1 t rk-1Bk z ( ) ( ) ( ) Первый интеграл аналогичен первому интегралу для F 1, z,t :

( ) t + z = C1.

Другой первый интеграл tt F k, z,t = - s ds + rk-1 k-1 s Bk t + z - s ds + С( ) k h ( ) h ( ) ( ).

Воспользовавшись заданными начальными условиями, получаем, что С2 = 0 и tt F k, z,t = - s ds + rk-1 k-1 s Bk t + z - s ds (8) ( ) k h ( ) h ( ) ( ).

Дифференцируя полученное уравнение по z в нуле, получаем t hk t = rk-1 k-1 s bk t - s ds (9) ( ) h ( ) ( ), ¶Bk t + z - s ( ) bk t где - s =, k = 2,n.

( ) z=¶z Равенства (4), (6), (8) с учетом (7), (9) определяют решение системы (3), а также, принимая во внимание (2), и решение системы (1) для вероятностей пребывания однолинейной системы в рассматриваемых выше состояниях.

Рассмотрим теперь исходную п-фазную СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов.

Найдём производящую функцию числа занятых приборов в указанной СМО.

Для однолинейной системы имеем n1 n1 nH x1, x2,..., xn,t, N = M x1 x1...x1 = ( ) ( ) = P 0,t, N + x1P 1,t, z, N +... + xnP n,t, z, N, ( ) ( ) ( ) где n – число заявок, находящихся на обслуживании на k-й фазе.

k Тогда для исходной системы получаем:

N H x1,..., xn,t = li® 0,t, N + x1P 1, z,t, N +...+ xnP n, z,t, N.

m ( ) ( ) ( ) ( ) (P ) N Учитывая (2), при z ® получаем N H x1,..., xn,t = lim 1+ ( ) ( ) ( ) ( ) (-F 0,t + x1F 1,t +...+ xnF n,t ).

N ® N Окончательно получаем, что производящая функция имеет вид n H x1,..., xn,t = exp x1 -1 F 1,t +...+ xn -1 F n,t = xk -1 F k,t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp( ).

k =В случае двух обслуживающих приборов и экспоненциального расk пределения времени обслуживания Bk x =1 - e-m x, k =1,2 производящая ( ( ) ) функция принимает вид l H x1, x2,t = exp x1 - ( )m - m( ) ( )m (1- e-m1t)exp x2 -1 lr 1- e-m1t m1 (1- e-m2t), m1 Полученное выражение для производящей функции совпадает с результатом, приведённым в [4] при исследовании двухфазной бесконечнолинейной СМО с экспоненциальным распределением времени обслуживания.

Таким образом, в работе проведено исследование п-фазной СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов с использованием метода предельной декомпозиции [5]. Получено выражение для производящей функции числа заявок, находящихся на обслуживании в системе. Показано, что полученные результаты согласуются с полученными ранее для случая экспоненциального распределения времени обслуживания.

Литература 1. Назаров А. А., Терпугов А. Ф. Теория массового обслуживания: Учеб. пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2004. – 225 с.

2. Назаров А. А., Терпугов А. Ф. Теория вероятностей и случайных процессов:

Учеб. пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2006. – 204 с.

3. Эльсгольц Л. Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

4. Гарайшина И. Р. Исследование математических моделей процессов государственного пенсионного страхования: Дис. … канд. физ.-мат. наук. – Томск, 2005. – 148 с.

5. Моисеева С. П., Ананина И. А., Назаров А. А. Исследование потоков в системе M|GI| с повторными обращениями методом предельной декомпозиции // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. – 2009. – №3(8). – С. 56–66.

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 годы)», проект № 4761 «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (2) GI GI МЕТОДОМ ПРОСЕЯННОГО ПОТОКА В. В. Сергеева, С. П. Моисеева* Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске *Томский государственный университет Пусть на вход системы поступает рекуррентный поток [2] сдвоенных заявок, заданный функцией распределения A(x). Дисциплина обслуживания определяется тем, что одна из этих заявок поступает в первый, а другая, вторая, во второй блоки обслуживания и занимает любой из свободных приборов, на котором выполняется ее обслуживание. Время обслуживания в каждом блоке имеет произвольную функцию распределения одинаковую для всех приборов. Поступающая заявка занимает любой из свободных приборов в своем блоке, и, завершив обслуживание, покидает систему.

Обозначим i1(t), i2(t) – число приборов, занятых в момент времени t в первом или втором, соответственно, блоке обслуживания, а стационарное распределение вероятностей значений процесса {i1(t),i2 (t)} обозначим P(i1,i2 ) = P{i1(t) = i1,i2 (t) = i2}.

Для рассматриваемой системы двумерный случайный процесс {i1(t),i2(t)} изменения во времени состояний системы не является марковским [1].

(2) Для исследования рассматриваемой системы GI GI применим метод просеянного потока [4]. Предлагаемый метод позволяет проблему исследования немарковской системы обслуживания с неограниченным числом приборов свести к задаче анализа нестационарного марковизируемого потока.

На оси времени t отметим моменты наступления событий этого потока. Выделим некоторый момент времени t1. Пусть t1 = 0. Будем полагать, что заявки входящего потока, поступившие в систему в момент времени t < t1 = 0, формируют события двумерного просеянного потока с вероятностями S1(t) = 1 - B1(-t), S2 (t) =1 - B2 (-t), а с вероятностью 1- S1(t) и 1- S2 (t) не рассматриваются.

Обозначим {n1(t), n2 (t)} – двумерный процесс, компоненты которого характеризуют число событий просеянных потоков, наступивших до момента времени t.

Если в некоторый начальный момент времени t0 < t1 система обслуживания свободна, то есть в ней нет обслуживаемых заявок, то для момента времени t1 выполняется равенство i1(t1)= n1(t1), i2(t1)= n2(t1), (1) то есть число ik (t1) приборов, занятых в k -м блоке обслуживания рассматриваемой системе обслуживания, равно числу nk (t1) событий просеянного потока, наступивших до момента времени t1.

Пусть z(t) - случайная величина, характеризующая время от момента t до наступления следующего события в рекуррентном потоке, тогда A(z)= P{z(t)< z}.

Определим нестационарный трехмерный марковский процесс {n1(t), n2(t), z(t)}, для распределения вероятностей которого P(n1,n2, z,t) = P{n1(t) = n1,n2 (t) = n2, z(t)< z} по формуле полной вероятности запишем следующие равенства:

P(n1, n2, z - Dt,t + Dt) = [P(n1, n2, z,t)- P(n1, n2, Dt,t)]+ P(n1 -1, n2 -1, Dt,t) А(z)S1(t)S2(t)+ P(n1 -1, n2, Dt,t)A(z)(1- S2(t))S1(t)+ P(n1, n2 -1, Dt,t)A(z) S2(t)(1- S1(t))+ P(n1,n2,Dt,t)A(z)(1- S1(t))(1- S2(t))+ o(Dt).

Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова [3]:

¶P(n1, n2, z,t) ¶P(n1,n2, z,t) ¶P(n1, n2,0,t) = - + ¶t ¶z ¶z ¶P(n1 -1,n2 -1,0,t)+S1(t)(1- S2(t))¶P(n1 -1,n2,0,t)+ S + A(z) (t) S2(t) ¶z ¶z ¶P(n1, n2 -1,0,t)+ (1- S1(t))(1- S2(t))P(n1,n2,0,t). (2) + S2(t)(1- S1(t)) ¶z ¶z Начальные условия для решения этой системы в момент времени tопределим равенством R(z), n1,n2 = 0, P(n1, n2, z,t0 ) = n1, n2 > 0.

0, Обозначив jun1 junH (u, w, z,t) = (3) e e P(n1,n2, z,t), n=получим следующую задачу Коши:

¶H(u, w, z,t) ¶H(u, w, z,t) ¶H(u,w,0,t) = - + ¶t ¶z ¶z ¶H(u,w,0,t)+(1- S1(t))S2(t)e ¶H(u,w,0,t)+ j(u+w) jw + A(z) S1(t)S2(t)e ¶z ¶z ¶H u,w,0,t ( )+ 1- S1 t 1- S2 t ju +S1 t 1- S2 t e ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )( )¶H (u,w,0,t),(4) ¶z ¶z H (u, w, z,t0 ) = R(z).

Решив эту задачу Коши, найдём функцию H (u, w, z,t), тогда, в силу равенства (3), характеристическую функцию величины n(t) определим в виде jun1 (t) jun2 (t) Me = H (u,0,,t), Me = H (0, w,,t).

Полагая здесь t = 0, в силу равенства (1), характеристическая функции стационарного распределения вероятностей P(i1,i2 ) числа приборов, (2) занятых в каждом блоке системы GI GI, будет иметь следующий вид:

j[ui1 (t )+wi2 (t )] j[un1 (0)+wn2 (0)] h (u, w) = Me = Me = H (u, w,,0).

(2) Уравнение (4), определяющее характеристики системы GI GI, предлагается решать в асимптотическом условии растущего времени, полагая, что среднее значение времени обслуживания b ®.

Литература 1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания.

3-е изд., испр. и доп. М.: КомКнига, 2005. – 408 с.

2. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. – Томск: Издво НТЛ, 2005. – 228 с.

3. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов.

Томск: Изд-во НТЛ, 2006. – 204 с.

4. Назаров А.А., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. – Томск: Изд-во НТЛ, 2006. – 112 с.

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 годы)», проект № 4761 «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

МИНИМАЛЬНЫЕ НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА А. Т. Ситдикова Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук Т. Ю. Войтенко Лесосибирский педагогический институт – филиал Сибирского федерального университета Кольцо, в котором условие ассоциативности умножения не выполняется, называется неассоциативным. Известно, что все кольца из двух, трех и четырех элементов, содержащих 0 и 1, являются коммутативными и ассоциативными.

Если в ассоциативном кольце K сохранить его аддитивную группу, а операцию умножения заменить новой операцией по формуле x o y = xy + yx, (*) ( + ) x, y то получится кольцо K, в котором для любых элементов выполняются равенства x o y = y o x, ((x o x) o y) o x = (x o x) o (y o x).

Такое кольцо называется йордановым. В общем случае оно не является ассоциативным. Однако справедливо Предложение 1. Все кольца из двух, трех и четырех элементов относительно умножения (*) являются коммутативными и ассоциативными.

Исследуем ассоциативность в минимальных кольцах без единицы.

Верно следующее Предложение 2. Все кольца из двух, трех элементов без 1 являются ассоциативными и коммутативными.

Примером неассоциативного и некоммутативного кольца из четырех элементов без единицы может служить кольцо K = {0,a,b,c} с таблицами сложения и умножения + 0 a b c 0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 a b c b b c 0 a b 0 c 0 c c c b a 0 c 0 b b Здесь полагаем, что a a = a, a b = b, b a = c, b b = 0. В кольце K даже не будет выполняться условие альтернативности (ослабленное условие ассоциативности), поскольку (b b) c = 0 c = 0,b (b c) = b c = c.

Литература 1. Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. и др. Общая алгебра. – М.: Наука, 1990. – 592 с.

2. Филиппов В. Т. Элементы теории конечномерных неассоциативных алгебр. – Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1998. – 44 с.

3. Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 352 с.

ПРИМЕНЕНИЕ КЛАСТЕРНОГО АНАЛИЗА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ НЕРВНО-ПСИХИЧЕСКИХ ЗАБОЛЕВАНИЙ А. А. Сотникова Пензенский государственный университет архитектуры и строительства При анализе и прогнозировании заболеваний от экологоклиматических факторов исследователь довольно часто сталкивается с многомерностью их описания.

Это происходит при решении задачи, построении типологии болезней по достаточно большому числу показателей, прогнозирования развития заболеваний от различных факторов, изучении и прогнозировании заболеваний и многих других проблем.

Кластерный анализ наиболее ярко отражает черты многомерного анализа в классификации.

Методом кластерного анализа исследовались лица молодого возраста, уволенные в запас из Вооруженных сил по некоторым нервнопсихическим заболеваниям за период с 1980 по 1991 год. При исследовании учитывались изменение солнечной активности и заболеваемость гриппом за указанный период времени. Анализ данных проводился с использованием компьютерных технологий при помощи математического пакета STATISTICA 6.0.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 27 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.