WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
КОНЦЕПЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЛАСТОВЫХ СИСТЕМ НА БАЗЕ МЕТОДА ЛИНИЙ ТОКА Лялин В.Е., Сидельников К.А.

E-mail: velyalin@mail.ru В статье приведены основные математические концепции, положенные в основу математического моделирования на базе метода линий тока (SL-моделирование), как эффективной технологии, которая дополнят более традиционные подходы математического описания фильтрации флюидов в пластовых системах. По возможности, описания всех ключевых идеи сохраняют хронологический порядок их появления в литературе посвященной этой тематике, с указанием их авторов.

The main mathematical concepts for the streamline-based flow simulation (SLsimulation) are given in article, as an efficient technology which complements the more traditional approaches to the mathematical description of fluids displacing in reservoirs. As far as it is possible, all key ideas with the names of their authors are given in a chronological ordering they follow in the articles devoted this theme.

Введение Моделирование течений жидкостей в пластовых системах на базе метода линий тока (SL-метод) является одним из современных подходов непосредственного улучшения эффективности компьютерного моделирования месторождений. При таком решении остается возможность использования стандартных компьютерных средств, но с получением достаточно точных прогнозов [1]. Преимущество SLметода состоит в том, что ограничения на устойчивость основной сетки эффективно устраняются из решений полученных для каждой линии. Таким образом, может быть взят достаточно большой временной шаг при использовании этого метода.

Кроме того, для неоднородных систем поле распределения давления слабо зависит от свойств жидкости [3]. Это значит, что величина давления требует нечастой корректировки на протяжении процесса вытеснения для точного учета нелинейностей в распределении давления. Возможность брать достаточно большой временной шаг и только периодической корректировки линий тока основная причина, почему метод линий тока на порядок быстрее более традиционных методов [3]. Из-за сеточных ограничений, в обычных методах берется малое приращение времени, что приводит к множественному пересчету распределений давления и насыщенности – процесс с большими вычислительными затратами.

Модели трубок тока предшествовали современным математическим моделям [2]. По известному распределению давления или по его оценке пласт делится на трубки тока; при этом предполагается, что перетоков между отдельными трубками нет. Решение задачи распределения пластового давления устанавливает путь течения флюида в пространстве, а физика вымещения (изменение насыщенности) определяется соответствующим одномерным решением применительно к каждой линии тока [1]. Процесс вытеснения в каждой трубке/линии рассчитывается отдельно, в результате чего двумерная задача сводится к нескольким одномерным.

Расчет является точным только в том случае, если границы трубок совпадают с линиями тока, а сами линии тока во времени не меняются [2].

_ © Нефтегазовое дело, 2005 http://www.ogbus.ru Модели такого вида были предложены [7] Маскетом (1937), Фейем и Пратцем (1951), Херстом (1953), Хиггинсом и Лейтоном (1962), Хаубером (1964), Паттоном и др. (1971) и Ле Бланком (1971).

Если распределение моделей описывается стационарным уравнением (типа уравнения Лапласа), то такой подход является точным. Указанное справедливо для однофазной фильтрации несжимаемого флюида. При использовании потенциала или псевдодавления в моделях трубок тока также могу быть учтены гравитационные эффекты и изменения плотности и вязкости в зависимости от давления. Данный метод можно использовать как точный для расчета «смешивающегося» вытеснения при отношении подвижностей, равном единице. В более сложных случаях положение трубок тока определяется решением в потенциалах, а поскольку в этом случае трубки тока уже не соответствуют линиям тока, модель дает лишь приближенное значение [2].

Распределение линий тока можно определить либо аналитически, либо численными методами. Аналитические решения известны для ряда схем расположения скважин (Маскет, 1937, Морель-Сейту, 1966). Методы численного решения эллиптических уравнений рассматриваются во многих работах.

После определения положения трубок/линий тока с помощью аналитических или численных методов, производится расчет распределения насыщенности или концентрации вещества вдоль линии тока. Другими словами, флюид движется вдоль естественной сетки линий тока, а не между блоками обычной сетки как в стандартном методе [1].

Уравнения линий токов Векторное поле определяется заданием вектора в каждой точке пространства или, другими словами, задания вектора являющегося функцией x, y, z :

ur F x, y, z. В большинстве интересующих случаях этот вектор является непре( ) рывной функцией x, y, z, за исключением либо изолированных точек, или особенностей, либо изолированных линий – особых линий. Там где вектор непрерывен, можно определить линии тока поля (векторные линии векторного поля), которые являются линиями касательными в каждой точке к вектору этой точки.

Если линия тока имеет параметрические уравнения x = x t, y = y t, z = z t, ( ) ( ) ( ) то проекции направляющего вектора касательной к этой линии пропорциональны производным x t, y t, z t или, что то же самое, дифференциалам dx, dy, ( ) ( ) ( ) dz (это вытекает из определения дифференциала df x = f x dx ). Записывая ( ) ( ) ur условия параллельности вектора F x, y, z и вектора, направленного по каса( ) тельной к векторной линии, получим dx dy dz = =. (1) Fx Fy Fz Рассмотрим теорию векторного поля применительно к движению жидкости. Поведение жидкости удобнее выражать с помощью скоростей, чем с помоr щью перемещений [6]. Вектор v x, y, z, t есть скорость той части жидкости, ко() r торая находится в момент t в точке x, y, z. Выражение v есть поток жидкости _ © Нефтегазовое дело, 2005 http://www.ogbus.ru r из «области вблизи x, y, z », так что dxdydzv есть поток жидкости из элемента r dxdydz наружу. Если v везде равна нулю, то жидкость несжимаема.

Линии тока обычно изображают средние траектории отдельных частиц жидкости. Дифференциальные уравнения этих линий имеют вид r dx vx = dy vy = dz vz. Если вихрь отсутствует (т.е. rot v = 0 ) и существует потенциал скоростей, то линии тока везде ортогональны к эквипотенциальным поверхностям и дают естественную систему координат.

r Если – плотность жидкости в точке x, y, z в момент t, то v есть r вектор, представляющий поток массы через единичный объем, и dxdydz v ( ) дает тогда суммарное истечение массы из элемента объема dxdydz. Так как масса не исчезает и не появляется в большинстве рассматриваемых случаях, это истечение массы равно потере массы dxdydz жидкости в этом элементе. Другими словами получаем уравнение неразрывности жидкости r =- v. (2) ( ) t Из этого уравнения, очевидно, что для жидкости с постоянной плотностью r (несжимаемая жидкость) суммарный поток v должен быть равен нулю.

В отдельных задачах удобно предположить, что жидкость возникает (или исчезает) в некоторой точке или точках. Такие точки называются источниками (или стоками) жидкости.

ur r Скорость изменения векторного свойства F r, t жидкости в выделенной ( ) r частице жидкости (положение частицы дается радиусом-вектором r в момент ur r времени t ) или вблизи нее равна разности между значением F r, t в точке x, ( ) y, z, где по предположению находилась частица жидкости в момент t, и значеur r r нием F r + vdt, t + dt в точке x + vxdt, y + vydt, z + vzdt, где находится частица в () ur момент t + dt. Скорость изменения свойства F жидкости, обозначаемая символом полной производной, дается уравнением ur ur r ur dF F = + v F. (3) dt t Скорость изменения скалярных свойств подсчитывается таким же образом.

Скорость изменения плотности данного элемента жидкости оказывается равной r d = + v.

dt t Из уравнения неразрывности (2) получим r r r d =- v + v =- v. (4) ( ) dt r Если плотность жидкости везде постоянна, уравнение определяющее v, r принимает вид v = 0. Наиболее общее решение этого уравнения может быть выражено с помощью скалярного и векторного потенциала (теорема Гельмгольца [6]):

r ur v = rot A + grad ; 2 = divgrad = 0. (5) _ © Нефтегазовое дело, 2005 http://www.ogbus.ru ur A может быть любым достаточно правильным векторным полем, удовлетворяющим граничным условиям. Уравнение для потенциала скоростей называется уравнением Лапласа.

Если вихри отur сутствуют, то A = 0 и скорость полностью определятся скалярным потенциалом. Если, кроме того, линии тока лежат в параллельных плоскостях, потенциал скоростей может быть сделан функцией только двух координат и движение называется двумерным (или плоским) потоком. Здесь линии тока и потенциальные кривые образуют двумерную ортогональную систему криволинейных координат.

Уравнения линий тока имеют вид dx dy = Рис. 1. Эквипотенциальные линии и линии тока vx vy в двумерном потоке несжимаемой жидкости [6] или Наличие циркуляции вызывает разрыв -vydx + vxdy = 0.

потенциала при = Следовательно, если vy =- и vx = то x y dx + dy = 0 или x, y = const ( ) x y вдоль линии тока. Функция называется функцией тока1: она связана с потенциалом скоростей соотношениями = ; =-, y x x y которые называются уравнениями Коши-Римана [6].

Проблема плоского течения имеет весьма важный практический интерес и представляется в общем случае двумя типами задач [7]. Первый тип ограничен В некоторой литературе (см., например, [7]) для функций и приняты прямо противоположные обозначения, а именно для потенциала, а для функции тока.

_ © Нефтегазовое дело, 2005 http://www.ogbus.ru r горизонтальным плоским течением, где u не зависит от вертикальной координаты z. Такие задачи возникают при рассмотрении песчаников с постоянной мощностью, все поры которого заполнены жидкостью и разбурены скважинами, вскрывшими всю мощность песчаника. При этом можно совершенно точно принять давление p эквивалентом потенциала скорости [7].

Исходя из указанных предпосылок, следует, что основное уравнение в прямоугольной системе координат, которому подчиняется горизонтальное плоское движение в установившемся состоянии, будет:

2 p 2 p + = 0 ; (6) x2 yk p k p ux =- ; uy =-, (7) µ x µ y где k – проницаемость пористой среды; µ – вязкость жидкости; u – скорость фильтрации.

Второй тип задач плоского течения характеризуется большим распространением течении в одном горизонтальном направлении без всяких изменений динамического режима вдоль последнего. Отсюда природа жидкости, за исключением граничного участка всего течения, остается той же самой во всех вертикальных плоскостях, пересекающих эту огромную протяженную систему под прямым углом [7].

Задачи второго типа возникают при рассмотрении фильтрации и противодавлении под плотинами, длина которых сравнительно велика по отношению к их ширине. В этом случае соответственной динамической переменной будет потенциальная функция, так как вследствие того, что течение осуществляется в вертикальной плоскости, линии тока будут нормальны скорее к эквипотенциальным поверхностям, чем к поверхностям равного напора. Однако в процессе математического решения можно применить и p и, так как они оба удовлетворяют уравнению Лапласа [7]:

2 2 2 p 2 k + = + = 0 ; = p ± gy, (8) () x2 y2 x2 y2 µ откуда k p k p ux =- =- ; uy =- =- ± g, (9) x µ x y µ y где y принимается за вертикальную координату; ± соответствует положительному или отрицательному направлению y ; – плотность жидкости.

Плотность линий тока является мерой полного потока и, следовательно, мерой скорости жидкости [6, 7]. Это легко показать в случае двумерного потока r ur v d A между двумя линиями тока (x, y) = 2 и (x, y) = 1 может быть приведен к криволинейному интегралу в плоскости xy (рис. 2). Речь идет об интеграле потока между двумя плоскостями, параллельными плоскости xy и удаленныur ми друг от друга на расстояние, равное единице; за элемент площади dA можно взять узкую полоску, длина которой равна единице, а ширина равна ds, где ds – длина элемента дуги, идущей от 1 к 2 в плоскости xy.

_ © Нефтегазовое дело, 2005 http://www.ogbus.ru ur Направление dA, конечно, перпендикулярно к r направлению r ur r ds ; а именно d A = d s k, где, само r собой разумеется, ds всегда перr пендикулярно к k. Интеграл потока равен тогда [6] r uur r uu r r ( ) v dA = v ds k = r uu r r = v ds k = vxdy - vydx =.

() ( ) = = 2 - d Рис. 2. Интеграл потока в двумерном случае [6] Это свойство интеграла потока, например, используется для определения выражения для суммарного расхода Q, поступающего в пласт из источника питания.

Основные концепции, положенные в основу метода Моделирование течения флюидов в пластовых системах на базе метода линий тока (SL-моделирование, streamline-based flow simulation) приобрело повышенный интерес к себе за последние несколько лет, и на сегодня принимается как эффективная технология, дополняющая более традиционные подходы к моделированию как, например, конечно-разностный (FD-моделирование, finite difference flow simulation) [4]. Современную популярность SL-моделирования более точно следует трактовать как вновь возникнувшую, так как метод линий тока – по отношению к моделированию подземных течений и переноса флюидов – был описан в литературе, начиная со статьи Маскета и Викоффа2 (Wyckoff) в 1934 году, и с того времени снова приобрел интерес. Из многих различных идей и применений за последние 60 лет, отчетливо выделились несколько основных ключевые идеи (концепций) как основы для сегодняшней внедренной технологии SLмоделирования.

1. Параметр времени пролета (TOF) Время полета (TOF) определено как время, требуемое для частицы преодолеть расстояние от нагнетающей скважины до добывающей (рис. 3). Время пролета частицы через сеточный блок может быть вычислено dt dx dy dz d = = = =, (10) vx vy vz где vx, vy и vz это компоненты скорости в направлении x, y и z соответственно, а это пористость. Сравнивая уравнения (10) и (1) можно сделать вывод, что Все последующие ссылки на авторов можно найти в работе [4].

_ © Нефтегазовое дело, 2005 http://www.ogbus.ru выражение (10) есть ничто иное, как дифференциальное уравнение линий токов.

Концепция времени пролета использовалась некоторое время в литературе, посвященной течению подземной жидкости, как метод вычисления захватных радиусов скважин [3]. Позднее, Кинг (King) и др. использовали данную концепцию для моделирования течений потока жидкости в нефтяных пластах.

Математически, время пролета определяется как [3, 4] s ( )d, s = r (11) ( ) u t ( ) r где u это суммарный вектор скорости фильтрации, и это пористость.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.