WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 46 |

Здесь p2(t) неизвестная непрерывная вектор-функция из E такая, что ||p2(t)|| k2; (t) неизвестная непрерывная оператор-функция со значениями из R такая, что ||(t)|| k4;

C(t) равномерно ограниченная и непрерывная оператор-функция со значениями из R.

Существования оператор-функции C-1(t) не предполагается.

На основе развития идей из [1] предложен метод построения дифференциального уравнения с полностью известными параметрами, осуществляющего оценивание решения уравнения (1).

Полученные результаты применимы при исследовании динамических систем в отсутствие какого-либо статистического описания погрешностей эксперимента: ошибок измерений в канале наблюдения, возмущений в динамике объекта, ошибок в задании априорной информации о его начальном состоянии.

Сахауева М. А. Список литературы 1. Ройтенберг Е. Я. О моделируемости дискретных динамических систем в условиях неопределенности. Материалы IX международного семинара “Дискретная математика и ее приложения” (Москва, 18–23 июня 2007 г.). М.: Изд–во механико–математического факультета МГУ, 2007. С. 117–120.

ОБ ОДНОЙ ОДНОМЕРНОЙ ВЫРОЖДЕННОЙ ЗАДАЧЕ МАСКЕТА ВЕРИГИНА М. А. Сахауева Институт математики Министерства образования и науки Республики Казахстан, Алматы Пусть p1(x, t) и p2(x, t) давление жидкости в области (0, (t)) и ((t), b) соответственно, T = { (x, t) | x = (t), t [0, T ] } свободная граница. Требуется найти функции p1(x, t), p2(x, t), (t), удовлетворяющие следующим условиям:

L1p1(x, t) = f1(x, t), 0 < x < (t), t (0, T ), (1) L2p2(x, t) = f2(x, t), (t) < x < b, t (0, T ), (2) (0) = 0, (3) p1(x, 0) = p01(x), 0 < x < 0, (4) p2(x, 0) = p02(x), 0 < x < b, (5) p1(0, t) = q1(t), p2(b, t) = q2(t), t [0, T ], (6) p1 = p2 + g(x, t), на T, (7) 1(x, t)xp1 + g1(x, t) = 2(x, t)xp2 + g2(x, t) = 0, на T, (8) где Lm(x, t, x, t) = t - am(x, t)x - bm(x, t)x - cm(x, t), m = 1, 2 параболический оператор второго порядка. Известна задача Маскета Веригина, описывающая процесс фильтрации жидкости в пористой среде. В этом случае вместо условия (8) рассматривается условие вида 1(x, t)xp1 + g1(x, t) = 2(x, t)xp2 + g2(x, t) = -t ( > 0).

Задача (1)–(8) представляет собой вырожденную задачу Маскета Веригина ( = 0). Это нелинейная двухфазная задача фильтрации со свободной границей.

Доказана теорема существования и единственности решения задачи (1)–(8) в весовых проl странствах Гельдера Cs(QT ), введенных В.С. Белоносовым [1], в малом по времени, а также установлены оценки решения.

Список литературы 1. Белоносов В. С., Зеленяк Т. И. Нелокальные проблемы в теориии квазилинейных уравнений. Нововсибирск, 1975.

Сидоров Н. А., Сидоров Д. Н. НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА С ФРЕДГОЛЬМОВЫМ ОПЕРАТОРОМ В ГЛАВНОЙ ЧАСТИ Н. А. Сидоров1, Д. Н. СидоровИркутский государственный университет Институт систем энергетики им. Л.А.Мелентьева СО РАН, Иркутск Рассматривается уравнение t n-Bu(n) = Au(k) + Aiu(i) + K(t - s)g(s, u(s))ds + f(t) (1) i=0,i =k в банаховых пространствах, B фредгольмов оператор. Предполагается, что оператор B A обратим в проколотой окрестности 0 < || <. Тогда определены проекторы P = ( ·,, ), Q = ( ·,, z), порождаемые соответствующими полными A жордановыми наборами оператора B в [1]. Пусть при этом a) операторы B, A, Ai, (P, Q) – коммутируют:

Ai = AiZ, A = A i, A = AZ, A = A, B = BZ, B = B i и коллективно нильпотентные матрицы Ai, i = 1, n - 1/k, B размерности [N N], где N – размерность подпространств полных жордановых наборов, имеют индекс коллективной нильпотентности.

b) K(t) и f(t) непрерывны, g(s, u) непрерывное отображение, удовлетворяющее условию Липшица по u.

Теорема. Пусть выполнены условия a), b), причем проекции Qf(t), QK(t) соответственно - 1 раз и - 2 раза дифференцируемы, QK(i)(t)|t=0 = 0, i = 0, n - 2. Тогда уравнение (1) с начальными условиями u(i)|t=0 = ui, i = 0, k - 1 (2) (I - P)(u(i)(0) - ui) = 0, i = k, n - 1 (3) имеет в окрестности точки t = 0 единственное непрерывное решение. Подчеркивая роль оператора P в разрешимости задачи (1) начальную задачу (1)-(3) можно назвать P-задачей Коши.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг., РФФИ 09-01-00377 и Минобрнауки (код проекта 111-02-000/7-05).

Список литературы 1. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Dordrecht: Kluwer Ac. Publ., 2002.

Шляхтич Е. Н., Казанцев В. П. ОБ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНВАРИАНТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ АКУСТИКИ Ю. В. Шанько Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск Рассмотрим двумерное уравнение распространения звука в неподвижной неоднородной среде [1] ptt px py = +, (1) c2 x y где = (x, y) > 0, c = c(x, y) > 0 заданные функции.

Будем искать функции u = u(t, x, y), q = q(t, x, y) такие, что p = u(q) будет решением уравнения (1) при всех (достаточно гладких) функциях. Соответствующие решения называют обобщенными функционально-инвариантными (ОФИ) [2]. ОФИ решения задают так называемые семейства относительно неискажающихся бегущих волн [3].

Функции u и q удовлетворяют переопределенной системе utt ux uy = +, c2 x y utqt + (uqt)t uxqx uqx uyqy uqy = + + +, (2) c2 x y qt 2 = qx + qy.

cВ работе предлагается подход, позволяющий свести систему (2) к переопределенной системе для функций от двух, а не трех независимых переменных, что значительно упрощает ее анализ на совместность. Приводятся примеры точных ОФИ решений уравнения (1).

Работа выполнена в рамках Интеграционного проекта СО РАН № 103.

Список литературы 1. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989.

2. Еругин Н. В., Смирнов М. М. Функционально–инвариантные решения дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. № 5. С. 853–865.

3. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ НА ПЛОСКОСТИ Е. Н. Шляхтич, В. П. Казанцев Сибирский федеральный университет, Красноярск Для электростатики на плоскости наиболее удобным математическим аппаратом служит комплексный анализ [1]. Теория функций комплексного переменного рассматривалась М.А. Лаврентьевым неразрывно с физическими представлениями [2]. Развитие ТФКП на Шляхтич Е. Н., Казанцев В. П. основании физических представлений позволяет создавать новые методы решения важнейших практических задач. Так, методы ТФКП позволяют находить точные аналитические решения электростатических задач. Совместное применение вариационных методов и комплексного анализа к задачам электростатики позволяет разработать довольно эффективные методы решения. Данная работа посвящена разработке эффективных аналитических методов расчёта электрических полей и численной реализация этих расчётов.

Для решения электростатических задач на плоскости наиболее удобно использовать комплексные переменные, при этом формулы являются универсальными и носят обобщающий характер. Так, чтобы решить целый класс задач о проводящем круге во внешних электрических полях [3], нам необходимо знать лишь комплексные потенциалы внешних полей. Причём ограничений на вид комплексного потенциала внешнего электрического поля нет. Следовательно, мы с лёгкостью можем решить задачи для незаряженного проводящего круга, находящегося в поле диполя (или нескольких диполей), в поле точечного заряда (или нескольких зарядов), в поле квадруполя, в мультипольном электрическом поле m-го порядка и др. Следует отметить, что также нетрудно получить энергетические и силовые характеристики полей.

Наиболее перспективными приближенными методами расчета электростатических соотношений являются вариационные методы, основанные на вариационных принципах электростатики. Вариационные принципы Дирихле и Томсона являются дуальными принципами электростатики и позволяют, например, получать оценки сверху и снизу для матрицы емкостных коэффициентов. Причем для таких оценок, как правило, не требуется громоздких вычислений; получаемые зависимости имеют аналитическую форму, весьма удобную для практического использования. При разработке вариационных схем на плоскости удобно использовать комплексную форму представления электростатических соотношений.

Главной проблемой реализации вариационных принципов является построение пробных (аппроксимирующих) полей. Их выбор имеет свои особенности для каждого типа задач. В данной работе пробные поля выбираются в виде потенциалов, создаваемых суперпозицией точечных мультиполей или суперпозицией экранированных точечных мультиполей. Следует также отметить, что при использовании вариационных методов мы можем оценивать точность полученных результатов, которая зависит от выбора вида потенциалов аппроксимирующих полей.

Так аппроксимация электрических полей на плоскости полями экранированных точечных зарядов и экранированных точечных мультиполей позволяет вычислить емкостные и потенциальные коэффициенты различных систем проводников, например, оценить ёмкость системы, состоящей из проводящего эллипса и лежащего вне области эллипса проводящего круга.

Весьма любопытным результатом является то, что использование вариационного подхода совместно с комплексным анализом даёт возможность представить математическую задачу о нахождении корней многочленов как обратную задачу электростатики, сводящуюся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала [4]. Вариационная схема расчёта корней многочлена основана на аппроксимации электрического поля зарядов проводника полями точечных мультиполей. Простейшими примерами являются аппроксимация поля зарядов проводящей прямой полями точечных диполей (или точечных зарядов) либо аппроксимация поля зарядов проводящего круга полями точечных диполей (или точечных зарядов).

Интересные результаты были получены и при решении задачи о проводящем эллипсе во внешних электрических полях [5]. Нами было получено и представлено в комплексных переменных решение задачи о проводящем эллипсе во внешних электрических полях с помощью аппарата характеристических мультиполей. Рассмотрены как общая схема решения задачи, так и конкретные примеры. Построены комплексные функции Грина для внешней и внутренней областей эллипса. В решении использовалось конформное отображение внешней к эллипсу области на область, внешнюю к окружности. В процессе решения этих задач оказалось целесообразно ввести такие понятия как мнимый заряд и эллипс сходимости. Интересен Яковенко Г. Н. также эффект рождения точечной особенности в распределении эквивалентных зарядов.

Обоснованные теоретически методы расчёта электрических полей могут применяться в дальнейшем при практических расчётах в радиофизике и радиоэлектронике. Существенно, что некоторые результаты представленных научных исследований представляют интерес для курсов математической физики и электродинамики.

Список литературы 1. Казанцев В. П. Аналитическая электростатика на плоскости - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2008. - 782 c.

2. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.:

Наука, 1965. - 740 с.

3. Казанцев В. П., Шляхтич Е. Н. Проводящий круг во внешнем электрическом поле // Вестник КрасГУ. 2006. №1. с. 21–25.

4. Казанцев В. П., Шляхтич Е. Н. Задача о корнях многочленов как обратная задача электростатики // Вестник КрасГУ. 2006. №9. с. 16–20.

5. Казанцев В. П., Шляхтич Е. Н. Характеристический мультиполи эллипса и решение задачи о прводящем эллипсе во нешних электрических полях // Журнал Сибирского федерального университета. 2009, том 2, №4, с. 410–425.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ Г. Н. Яковенко Московский физико-технический институт (государственный университет) Рассматриваются системы с управлением [1] = (t, x, u(t)), t R1, x Rn, u U Rm, (1) точка обозначает производную по t, u(t) управляющие воздействия, которые могут быть достаточно произвольными функциями переменной t. Системы вида (1) занимают промежуточное положение между уравнениями с частными производными и обыкновенными дифференциальными уравнениями [2]. Системы с управлением (1) наследуют от уравнений с частными производными проблематику краевых задач. Система (1) называется управляемой [1], если для любых двух состояний начального x0 и конечного x1 найд решение ется {x(t), u(t)}, для которого в некоторые моменты времени t0 и t1 t0 выполняется x(t0) = x0, x(t1) = x1. Например, для линейных неавтономных систем с одним управлением = A(t)x + b(t)u, t R1, x Rn, u R1. (2) критерием управляемости при отсутствии ограничений на значение управления является условие [1, 3] det ||b1(t) b2(t) · · · bn(t)|| = 0, (3) где определяющие матрицу столбцы bk(t) вычисляются следующим образом (см. (2)):

b1(t) = b(t), b2(t) = b1 - Ab1(t),..., bk+1(t) = bk - Abk(t),...

При условии (3) управление u(t, t0, t1, x0, x1) вычисляется вполне определ образом енным [1, 3].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07-01-00217) и АВЦП РНПВШ 2009–2010 гг. (проект 2.1.1/3604).

Яковенко Г. Н. Список литературы 1. Яковенко Г. Н. Теория управления регулярными системами. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 264 с.

2. Яковенко Г.Н. Системы с управлением недостающее звено между уравнениями в частных производных и обыкновенными дифференциальными уравнениями. // “Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике”. Тезисы докладов VI Международной конференции, посвящённой 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева. 27–31 мая 2005 года. Новосибирск, 2005. С. 124–125.

3. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

Bizhanova G.I. Математические проблемы механики сплошной среды.

Задачи со свободными границами. Численный эксперимент ON A CLASSICAL SOLVABILITY OF A FREE BOUNDARY PROBLEM ARISING IN A COMBUSTION THEORY G.I.Bizhanova Institute of Mathematics of the Ministry of Education and Sciences of Republic of Kazakhstan, Almaty, Kazakhstan Let Rn, n 2, be a bounded domain, :=, (t), t (0, T ), be a domain in Rn with a boundary (t) such that (0), (0). We denote QT = (x, t) : x (t), t (0, T ) T = [0, T ].

Consider the problem with unknowns u(x, t) and a free boundary (t) tu - a u = 0 in QT, (1) (t) t=0 =, u t=0 = u0(x) in, (2) u = 0, |u| = 1 on (t), t (0, T ), (3) where a–positive constant, t = /t, = (x,..., x ).

1 n This problem was considered by Caffarelli L.A., Vzquez J.L., Daskalopoulos P., Lee K.-A., l, Petrosyan A. and others. We study the problem in the Hlder space Cxt l/2(QT ), l positive noninteger.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 46 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.