WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 46 |

ОТДЕЛИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ ДВУХ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА Ю. Ю. Багдерина Институт математики с вычислительным центром РАН, Уфа Рассматривается система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка относительно функций x1(t), x2(t). Получен критерий ее приводимости преобразованием t = (t, x1, x2), x1 = 1(t, x1, x2), x2 = 2(t, x1, x2) к системе, в которой уравнение на функцию x1(t) отделяется, то есть не содержит функции x2(t) и ее производной x 2(t). Тем самым задача интегрирования исходной системы упроща ется: она сводится к решению первого уравнения относительно x1(t) и затем при известной функции x1(t) к интегрированию второго уравнения относительно x2(t).

В качестве одного из примеров рассматривается система [1] 2( - vj)vj = -2H2 + hH(vk - vj) - vk(2 + vk) + vj(4 + 3vj), j = 1, 2, (v1 + v2 - 2)H = -2H(1 + v1 + v2), k = 3 - j, (1) (v1 + v2 - 2)h = 2(1 + h2)H, R, = -1, описывающая инвариантную компоненту решения в автомодельном вихре Овсянникова для газа с уравнением состояния p = f(S)3. Исключение h, H приводит к системе двух ОДУ второго порядка относительно функций v1, v2. С помощью полученного критерия установлено, что при = -1/2 в этой системе отделяется уравнение u + 6u + 8u = 0 относительно 2 функции u = v1 + v2 + v1 + v2. При этом в исходной системе (1) при = -1/2 отделяются уравнения u = 4H2 - 2u, H = -2H относительно функций u, H.

Работа выполнена при поддержке гранта N 3 Республики Башкортостан для молодых ученых и молодежных научных коллективов.

Базарханов Д. Б. Список литературы 1. Черевко А.А., Чупахин А.П. Автомодельный вихрь Овсянникова в газовой динамике. Тез.

докл. всерос. конф. “Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение”. Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 2009. С. 151–152.

КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Д. Б. Базарханов Институт математики, Алматы, Казахстан Пусть k N, zk = {1,..., k}, N0 = N {0}, R+ = (0, +). Для x = (x1,..., xk), y = (y1,..., yk) Rk положим xy = x1y1 +... + xkyk, |x| = max { |x| : = 1,..., k}. Пусть p, q ; Lp = Lp(Tk) пространство функций f : Tk C, суммируемых в степени p (при p = существенно ограниченных) на Tk = (R/Z)k k-мерном торе, с нормой f | Lp ; f() = f(x)e-2i xdx, Zk, тригонометрические коэффициенты Фурье функции f L1;

q Tk n пространство числовых последовательностей (c) = (c)N с конечной нормой (c) |.

q Пусть n N : n k. Фиксируем мультииндекс m = (m1,..., mn) Nn с m1 +· · ·+mn = k (если n = 1, то m = k, если n = k, то m = 1 = (1,..., 1) Nk). Представим x = (x1,..., xk) Rk в виде x = (x1,..., xn), где x = (x +1,..., x ) Rm ; здесь 0 = 0, m1 +... + m, zn.

- Выберем функции 0 C(Rm ) такие, что 0 0() 1, Rm ; 0() = 1, если || 1; 0() = 0, если || 3/2 ( zn). Положим ()0(2-1) - 0(), j () = n (2-j+1), j N; () (), Rk, = (1,..., n) Nn.

=Определение. Пусть s = (s1,..., sn) Rn, 1 p, q. Пространство типа Николь+ ского Бесова Bs m(Tk) состоит из всех функций f Lp(Tk), для которых конечна норма p q f | B = 2s ()f()e2ix | Lp |.

q Zk Пространство типа Лизоркина Трибеля Ls m(Tk) (p < ) состоит из всех функций f p q Lp(Tk), для которых конечна норма f | L = 2s ()f()e2ix | | Lp.

q Zk s m Единичные шары Bp q (Tk) и Ls m(Tk) этих пространств будем называть классами типа p q Никольского Бесова и Лизоркина Трибеля соответственно.

Напомним определение колмогоровского N-поперечника класса F в метрике Lr (1 r ):

dN(F, Lr) inf sup inf f - g | Lr, GN fF gGN где внешняя нижняя грань берется по всем линейным подпространствам GN Lr размерности N.

В работе получены точные в смысле порядка оценки колмогоровских поперечников класs m сов Bp q ( Tk) и Ls m( Tk) в метрике Lr для ряда соотношений между параметрами s, m, p, q, r.

p q Бакиров И. Б. ОБ ОДНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ СО СВОБОДНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ И. Б. Бакиров Ферганский государственный университет, Узбекистан В работе на основе гидродинамической теории изучена нестационарная задача о линзе пресных вод при фильтрации из канала, математическая модель которой следующая:

Задача. Найти решения Uj(M, t), (U(M, t) = ujM, t, M i(t)), i = 1, 2, уравнений -U1(M, t) = ki q(t)(x - x0)MN(y), M(x, y) 1(t); U2(M, t) = 0, M(x, y) 2(t), где = 2/x2 + 2/y2, а также неизвестные поверхности T, T = j(t), j = j j 0

U(M, t)/nt = 0, M (OE) (OA), U(M, t) = h2i-1(x, t), M 2i-1(t), i = 1, 2;

mF2i-1(M, t)/t + (-kiU(M, t), F2i-1(M, t)) = 0, M 2i-1(t), i = 1, 2; 2U2(M, t) 1U1(M, t) = (2 - 1)h2(x, t), M 2(t); k1U1(M, t)/nt = k2U2(M, t)/nt = mF2(M, t), M 2(t), на границе (AAt)(At = At(1, y)) одна из следующих: либо k2U2x(M, t) = qk(t), M h3(1,t) (AAt), либо k2U2x(1, y, t)dy = Q(t); h2i-1(x, 0) = h0, (i - 1)S0 x (2 - i)S0 + (i - 1), 2i-i = 1, 2; h2(x, 0) = h0(x), x [0, S0]; h1(0, t) = H(t), t [0, T ]; h1(S(t), t) = h2(S(t), t) = h3(S(t), t), 0 t T ; S(0) = s0, где = (/x; /y).

С использованием результата [1, 2] доказано, что при выполнении определённых условий для начальных данных эта задача имеет единственное устойчивое классическое решение.

Список литературы 1. Бегматов А. Б. Задачи нестационарной фильтрации в областях с подвижной границей. – Т. Фан. 1991. стр. 2. Бакиров И. Известия АН УзССР 1985 №3. стр. 4–14.

Балгимбаева Ш. А. ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА КЛАССАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛИДИСКЕ ФУНКЦИЙ Ш. А. Балгимбаева Институт математики, Алматы, Казахстан n Обозначим через Dn = {z Cn; |zj| < 1, j = 1,..., n} полидиск в Cn, T остов Dn, то n есть T = { Cn, |k| = 1, k = 1,..., n}.

Пространство Никольского Бесова Bp,q(Dn), > 0, 1 < p <, 1 q, состоит из аналитических в Dn функций w(z), удовлетворяющих условию q b (w) = { (1 - )q(s-)-1 (Rsw)(rei) n}1/q < ;

n p,q 0 Lp(T ) n b (w) = sup[0,1)(1 - )s- (Rsw)(rei) <, Lp(T ) p, n w c нормой w|Bp,q = |w(0)| + b (w);(Rw = zj zj ; < s N) [1].

p,q j=Напомним конструкцию аналитических в единичном круге D всплесков И. Мейера [2, Ch.6, P.202]. Пусть (x) : R R масштабирующая функция и (x) : R R всплеск Мейера. Рассмотрим систему алгебраических многочленов A0,0(z) 1, Aj,k(z) = 2-j/2+1 ( · 2-j) cos(2(k + 0.5)2-j)z, j 0, 0 k < 2j-1, Z+ 1/ где (t) = 2 t - 2(t), преобразование Фурье g.

Эта система всплесков является базисом пространств Харди Hp(D) (1 p ) [2], а r также пространств Hp(D), r N, 1 p, аналитических в D функций w(z) с угловыми значениями r - х производных w(r) из Lp(T ) при 1 p < и с w(r) C(D) при p = [3].

Пусть -j En = {0, 1}n; En = En \ {(0,..., 0)}, Bj,k(z) = 2-j/2 ( · 2-j)e2i2 z, Z j 0, -2j-1 < k 2j-1.

e e Положим w0,0(z) = B0,0(zj) A0,0(zj), для k = 0, e = (e1,..., en) En и wk,m(z) = ej=0 ej=Bk,m (zj) Ak,m (zj), для k N, e En, 0 m 2k - 1, j = 1,..., n.

ej=0 j ej=1 j e e В сообщении устанавливается базисность системы Wn,z{w0,0(z), e En, wk,m(z), mj = 0,..., 2k - 1, j = 1,..., n, k N, e En} в пространстве Bp,q(Dn). Рассматривается задача восстановления некоторых классических сингулярных интегральных операторов на полидис ке на классах Bp,q(Dn) по информации о коэффициентах Фурье их граничных значений.

Список литературы 1. Лизоркин П. И., Гулиев В. С. Классы голоморфных и гармонических функций в поликруге в связи с их граничными значениями. Труды МИРАН. 1993. Т. 204. С. 137–159.

2. Meyer Y. Wavelets and Operators. Cambridge: CUP, 1992.

3. Субботин Ю. Н., Черных Н. И. Базисы всплесков в пространствах аналитических функций. Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 340–355.

Белоносов В. С. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА КРЫЛОВА БОГОЛЮБОВА В. С. Белоносов Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Новосибирский государственный университет Многие задачи теории колебаний в распределенных системах приводят к уравнениям вида ut = f(t, u), (1) где u(t) искомая функция со значениями в банаховом пространстве; f непрерывный по (t, u) нелинейный оператор; малый параметр. Нас интересуют особенности применения асимптотического метода Крылова Боголюбова к изучению уравнения (1). Напомним, что в основе этого метода лежит идея о разложении решений на плавный медленный дрейф и малые быстрые осцилляции: ищется такая замена переменных u = v + 1(t, v) + 22(t, v) + · · · + nn(t, v), (2) чтобы функции k были ограничены при t, а исходное уравнение с точностью до слагаемых порядка n приобрело вид vt = f0(v) + f1(v) + · · · + n-1fn-1(v). (3) Функция v приближенно описывает медленный дрейф, на который накладываются быстрые осцилляции, задаваемые отображением (2).

Существующие обоснования данного метода обременены достаточно жесткими ограничениями, сужающими область его применимости. В докладе предлагается новая интерпретация: в уравнении (3) допускаются не только постоянные по переменной t, но также медленно осциллирующие функции fk(t, v). При этом степень осцилляций произвольной обобщенной функции g(t) характеризуется ее спектром (g), то есть носителем преобразования Фурье g(). Кроме того, в формуле (2) вместо выбирается другой произвольный малый параметр, характеризующий масштаб пространственных искажений при замене переменных.

m Установлено, что если f(t, u) имеет непрерывные и ограниченные производные Du f поn рядков m n, то для любого > 0 найдется замена переменных u = v + kk(t, v;, ), k=n-приводящая уравнение (1) к виду vt = kfk(t, v;, ) с точностью до слагаемых порядk=ка n. Все функции fk и k, а также их производные Dvfk и Dvk непрерывны и ограничены, причем (fk) { : || < 2/}, (k) { : || > /}.

На любом промежутке 0 t T/ норма разности между точным и приближенным решениями оценивается сверху величиной C(T )n.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 09-01-00221), Президиума РАН (программа фундаментальных исследований № 2, проект № 121) и АВЦП Рособразования (проект 2.1.1.4918).

Бондарь Л. Н. О БЕЗУСЛОВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ КАРЛЕМАНА ВЕКУА С ОСОБОЙ ТОЧКОЙ Н. К. Блиев Институт математики Министерства образования и науки РК, Алматы, Казахстан Рассмотрим дифференциальное уравнение w A(z) B(z) + w + w = F (z), (1) z z z в круге G = {|z| < r}. Считается, что A, B и F произвольные функции из L(G). Под решением уравнения (1) будем понимать непрерывную в функцию w(z), допускающую суммируемую в G обобщенную по Соболеву производную w/z и удовлетворяющую уравнению (1) почти всюду в G.

Уравнение (1) имеет важное приложение в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей с точкой уплощения z = 0; рассматривалось в работах Л.Г. Михайлова, З.Дж. Усманова, А.Б. Тунгатарова и др. Во всех известных нам работах существование непрерывного решения доказано при дополнительных условиях малости коэффициентов A и B или малости области G. В данной работе доказана безусловная разрешимость уравнения (1) в области G в классе непрерывных функций.

О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Л. Н. Бондарь Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск В работе продолжаются исследования [1, 2, 3] по краевых задач для квазиэллиптических n систем в R+ = {x = (x, xn) : x = (x1,..., xn-1) Rn-1, xn > 0}, n L(Dx)u = f(x), x R+, B(Dx)u|x =0 = (x ), (1) n где L(Dx), B(Dx) матричные дифференциальные операторы. Предполагается, что оператор L(Dx) входит в класс квазиэллиптических операторов, введенных Л. Р. Волевичем [4] и краевая задача (1) удовлетворяет условию Лопатинского.

В работе получены условия разрешимости для краевых задач вида (1) в соболевских пространствах. Рассмотрен вопрос о необходимости возникающих требований на f(x) и (x ).

Работа выполнена при поддержке ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг. (гос. контракт № 02.740.11.0429) и Сибирского отделения Российской академии наук (Лаврентьевский грант для молодых ученых, междисциплинарный проект № 107).

Список литературы n 1. Demidenko G. V. On solvability of boundary value problems for quasi-elliptic systems in R+.

Journal of Analysis and Applications. 2006. Vol. 4. № 1. P. 1–11.

2. Бондарь Л. Н. Условия разрешимости краевых задач для квазиэллиптических систем.

Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7. Вып. 4. С. 9–26.

Боровских А. В. 3. Бондарь Л. Н., Демиденко Г. В. Краевые задачи для квазиэллиптических систем. Сиб.

мат. журн. 2008. Т. 49. № 2. С. 256–273.

4. Волевич Л. Р. Локальные свойства решений квазиэллиптических систем. Мат. сб. 1962.

Т. 59. № 3. С. 3–52.

УРАВНЕНИЕ ЭЙКОНАЛА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД А. В. Боровских Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова При исследовании распространения волн в неоднородной и анизотропной среде, описываемого теми или иными уравнениями, обычно предполагается известным решение соответствующего уравнения характеристик уравнения эйконала gij(x)ij = 1. (1) Здесь = (x) неизвестная функция, позволяющая описать фронт распространяющейся волны в виде семейства поверхностей t = (x). Однако на деле известные случаи проинтегрированных уравнений единичны и не систематизированы.

Фундаментальную роль и в вопросе об интегрируемости уравнения эйконала, и в вопросе о структуре группы симметрий играет геометрия, а именно структура ассоциированной с уравнением (1) римановой метрики gij(x)dxidxj (2) (gij матрица, обратная к gij, которая всюду далее рассматривается как метрический тензор). Геодезические в этой метрике физически интерпретируются как лучи, то есть кривые, вдоль которых распространяются фронты.

Групповой анализ изотропного уравнения эйконала в [1] позволил выделить целый ряд уравнений, которые удалось проинтегрировать в явном виде. При этом было обнаружено, что одинаковую по размерности группу симметрий имеют и уравнение для однородной среды, и некоторые уравнения для неоднородной среды. Оказалось, что рассмотрение постоянства коэффициентов в уравнении (1) как признака однородности не вполне корректно, и в основу физического понятия однородности имеет смысл положить групповые свойства, а именно наличие точечной группы симметрий уравнения, переводящей любую точку в любую другую (транзитивность) и любое направление в любое. Поскольку такими свойствами обладают группы движений римановых пространств постоянной кривизны, следует считать, что если метрика (2) определяет риманово пространство постоянной кривизны, то уравнение (1) задано в однородной среде.

В докладе будут представлены также условия интегрируемости уравнений (1), которые соответствуют слоистым средам (что связано со специальной структурой метрики (2): она имеет вид ds2 = ds2(x) + V (x)ds2(y), где ds1(x) и ds2(y) метрики в подпространствах) и 1 описана связь между указанной структурой римановой метрики и структурой группы симметрий уравнения (1).

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 46 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.