WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 38 | 39 || 41 | 42 |   ...   | 82 |

Рассмотрение статистической интерпретации в уже упомянутой работе автора с одной стороны – указало на отсутствие в определении объекта нечёткости в классической НМ – теории, а с другой – указало на способ разрешения указанной коллизии. Такое разрешение формально нашло своё воплощение в концепции модифицированного нечёткого множества (МНМ) и состоит (цитированная выше работа автора), в явном введении объекта нечёткого описания: «чёткого» – crisp – объекта в классическое определение нечёткого множества. Таким crisp – объекта нечёткости является crisp – предикат или,соответственно, – crisp – множество, которые и будут характеризоваться нечётко с помощью функции принадлежности. Реализация Формально введение объекта нечёткого описания: объекта нечёткости – осуществляется введением дополнительного аргумента: в дальнейшем для удобства crisp - предиката P – в функцию принадлежности. Функция принадлежности становится зависимой от двух аргументов:

элемента eE носителя и crisp - предиката P как параметра.

Определение. (МНМ – Модифицированное Нечёткое Множество). Нечетким подмножеством множества E в модифицированном варианте(МНМ), которое нечетко описывает crisp - свойство P из – или соответствующее ему множество UP, – называется пара (E, (P) (e) ) или пара (E, (UP )(e) ), где:

• E - абстрактное множество, которые будем называть носителем нечеткого подмножества;

• P – предикат из множества на некотором универсальном для предикатов множестве а UP – подмножество множества E, которое отвечает предикату P;

• (P) (e) – функция двух аргументов: eE и P ; эту функцию, как и в классической теории нечетких подмножеств, будем называть функцией принадлежности, прибавляя, что она нечетко реализует или характеризует свойство P или соответствующее множество UP.

В заключение отметим, что очевидным примером вероятностной интерпретация нечетких подмножеств и примером МНМ являются обобщенные варианты логит- и пробит- регрессий, в которых, как известно, вероятность появления определённого события зависит от количественных характеристик, наблюдаемых вместе с появлением или не появлением события в эксперименте. Ниже появляется другой естественный пример МНМ, построенных на основы «зондирования» распределений вероятностей стандартными множествами, например: вычисления их значений на шарах фиксированного радиуса в Rm.

Нечёткие множества в модифицированном варианте (МНМ -множества) Модифицированное определение НМ - множества (в дальнейшем МНМ) как пары (E,(P)()), : E [0,1] с функцией принадлежности, являющейся функцией двух аргументов: eE и предиката P, – определённой на одном и том же носителе, – позволяет ставить задачу классификации или кластеризации: отнесения элемента e E к одному из К классов, определяемых предикатами Pk, k =1,K набора МНМ (E,(Pk ) ()),Pk,k = 1,K. Следует отметить, что набор k МНМ может быть как полным:

e E (Pk )(e) =1, k (1) eE так и необязательно полным.

Набор предикатов Pk, k = 1, K набора МНМ можно интерпретировать как набор альтернатив – не обязательно взаимно исключающих, – которые могут быть реализованы для того или иного значения e E с вероятностями, которые задаются значениями соответствующих функций принадлежности Н (Pk )(e),k =1,K,eE.

k Значения функций принадлежности могут рассматриваться и в классическом варианте: как степень уверенности. Правда, в этом случае необходимо добавить список объектов, которые характеризуются через степень уверенности, – для каждой функции принадлежности свой.

Decision Making Будем говорить, что набор МНМ (E,(Pk ) ()),Pk, k = 1,K,описывает ситуацию для элементов eE k или ситуацию, конкретизируемую элементом eE. Отнесение исследуемого элемента eE к одному из К классов, определимых предикатами Pk, k = 1, K будем называть классификацией ситуации для e E или ситуации, конкретизируемой этим элементом.

Оценка ситуации Интерпретации набора МНМ – множеств как ситуации для элементов eE, в которой e E конкретизирует ситуацию, а набор (Pk )(e),k =1,K для фиксированного eE описывает „степень k проявления” свойств Pk, k = 1, K, собственно, – вероятностей вариантов её развития, – позволяет „оценивать” вариант наиболее вероятного её развития: в соответствии с наиболее вероятным вариантом её реализации. Такой подход к построению «оценки», собственно, является вариантом идеи, реализованной в методе максимального правдоподобия (ММП), только апостериорно: при наличии серии наблюдений.

Определение. Функцию P(e),e E, P : E {P1,..., PK}, определённую по набору МНМ (Pk )(e),k =1,K соотношением k P(e) = Pk*,k* = arg max(Pk )(e),e E k (2) k=1,K будем называть оценкой развития ситуации для e E по максимуму функции принадлежности или просто оценкой развития ситуации для элемента e E.

Замечание 1. Вообще говоря, оценка развития ситуации может иметь множественный характер, если для того или иного eE максимальное значение функций набора (Pk )(e),k =1,K, достигается k одновременно для нескольких номеров k =1, K. В этом случае значение P(e),e E приобретают множественный характер: P(e) {P1,..., PK},e E – и определяются в соответствии с модифицированным вариантом:

P(e) = {Pk : k K* = Arg max(Pk )(e),e E}.

k (3) k=1,K Замечание 1. Термин «оценка развития ситуации» для функции P(e),eE, никоим образом не ограничивает „классификационного” характера этого объекта в случае, когда набор МНМ задаёт вероятности отнесения элементов e E к одному из классов альтернативного набора {P1,..., PK}, не обязательно взаимно исключающих. В этом случае оценку P(e),e E будем называть также классифицирующей функцией. При альтернативах, исключающих друг друга, естественным является условие полноты МНМ: выполнение условия (1).

Замечание 2. Оценка ситуации в соответствии с (2) или (3), которaя использует одну из операций нечёткой логики: в данном случае максимум– демонстрирует, что в случае применения к функциям принадлежности уместным является использования не результата операции, а рассмотрения тех объектов, для которых максимум при нечётком описании достигается для тех или иных конкретизирующих значений e E.

Кластеризация значений для нескольких распределений вероятностей, множества-зонды Примером классификации ситуаций в смысле, рассмотренном выше, является задача кластеризации m значений e R, которые могут быть представлять значения одной из К случайных величин (с.в.) со значениями Rm. Вариантом функций принадлежности МНМ в такой классической статистической задаче может быть такой, в котором реализуется концепция «зондирования» определённым множеством XII-th International Conference "Knowledge - Dialogue - Solution" распределений, которые фигурируют в задаче. Такими множествами – зондами могут быть сдвиги e +, e E фиксированного множества Rm, включающего начало координат. К примеру, ниже в качестве множеств-зондов используются всевозможные замкнутые шары S(e) = e + S(0) радиуса > 0 с центром в e Rm или множества V (e) = e + V с симметричным замкнутым множеством V единичного радиуса, включающем некоторый шар ненулевого радиуса с центром в нуле.

Действительно, пусть в Rm могут наблюдаться e Rm, которые являются значением одной из K в.в.

k, k = 1,K из Rm, каждая со своим, известным распределением. Известным распределением P(k)(B) = P{k B}, k = 1, K на борелевских множествах B из Rm.

Определим набор МНМ (Rm,(Pk )()), задав (Pk )(),e E в соответствии со следующим k, k, соотношением:

(Pk ) (k ) (k ) m.

(e) = P (S (e)) = P (e + S (0)) = P{ e + S (0)}, k = 1, K, e R (4) k k, Очевидным образом, каждая из функций (Pk )(e), e Rm, > 0, k =1, K принимает значения из k, интервала [0,1], т.е. является функцией принадлежности. Crisp-предикат Pk в её определении описывается как свойство «иметь распределение P(k) », k =1,K. Таким образом набор (Rm,(Pk )()), k =1,K, определённый в (4), является набором МНМ.

k, Шары S(e) = e + S(0) радиуса > 0 с центром в точке e Rm естественным образом «зондируют» имеющиеся распределения на предмет их значений. Результаты зондирования представлены соответствующими функциями принадлежности Уместно заметить, что функции принадлежности набора МНМ в рассматриваемом варианте имеют очевидное статистическое: теоретико вероятностное значение. Вид стандартной статистической интерпретации для функции принадлежности классической НМ они приобретают, если вероятности, определяющие функции принадлежности, представить в виде:

(Pk )(e)) = P{k S() | = e},k =1,K (5) k, с с.в. со значениями в Rm, определённой на одном вероятностном пространстве с, k,k =1, K, Rm независимая от них с нетривиальным распределением в.

Действительно, P{k S() | } = M{S ()(k ) | } = M{S (0)(k - ) | }= = M{S (0)(k - e) = P{k - eS(0)} = P{k S(e)}.

e= e= e= Таким чином, (5) является примером стандартного представления классической функции принадлежности в соответствии с универсальной статистической интерпретацией, обсуждавшейся в [Донченко В.С.2005].

Возвращаясь к задаче оценки ситуаций в рассматриваемой задаче классификации значений набора распределений, заметим, что в исследуемом случае в соответствии с (2) или (3) она – будем обозначать её P(e),e Rm – определяется одним из двух соотношений::

P(e) = Pk* : k* = arg max(Pk )(e),e Rm}, k, (6) k=1,K (7) P(e) = {Pk : k K* = Arg max (Pk )(e),e Rm}.

k, k=1,K Decision Making Оценка ситуации в соответствии (6) или (7) очевидным образом является оценкой по максимуму вероятности появления - окрестности e Rm. Заметим, что рассматриваемые альтернативы не являются исключающими.

Предельный переход по геометрическим размерам зондов в задаче кластеризация В предыдущем пункте задача классификации ситуаций имеет в соответствии с (6) или (7): отнесение к тому или иному по максимуму функции принадлежности – имеет прямой статистический (теоретиковероятностный) смысл классификации по максимуму соответствующей вероятности. Ниже обсуждаются вопросы, связанные с представлением задачи классификации ситуации при уменьшающихся геометрических размерах множеств – зондов. Естественным образом функции принадлежности подвергаются подходящей нормировке. Показывается, что в таких условиях задача классификации ситуации в соответствии с (6) или (7) сводится к классификации по максимуму значений плотностей распределений, для которых рассматривается задача.

Действительно, пусть распределения, отвечающие k, k = 1, K, имеют непрерывные плотности hk (z),z Rm, k =1, K, а размеры множеств - зондов S(e) = e + S(0) неограниченно уменьшаются:

0. Как уже отмечалось, для исследования предела функций принадлежности из набора МНМ, построенного в соответствии с (4), необходимо осуществить подходящую нормировку. Таких подходящих вариантов нормировки для e R1 два: с самим радиусом > 0 в одном варианте, и с лебеговской мерой в R1шара, собственно, интервала – S(e) = e + S(0), e R1– в другом. В общем случае: для m m e R нормировка единственная м совпадает с лебеговской мерой в R шара, m S(e) = e + S(0), R.Естественно, что в случае нормировки лебеговской мерой, распределения k, k = 1, K должны быть нетривиальными в том смысле, что соответствующие вероятности для всех m шаров S(e) = e + S(0), e R, должны иметь ненулевые значения. Это условие, в частности, выполняется, для для распределений, задаваемых плотностями hk (z),z Rm,k =1,K, которые определённы на всём Rm, почти наверное не равны нулю и не имеют областей постоянства ненулевой лебеговской меры. Будем называть это условие достаточным условием невырожденности распределения.

Теорема 1. Если распределения с.в. k, k = 1, K, задаются непрерывными плотностями, hk (z),z Rm,k = 1,K, удовлетворяющими условию невырожденности,, то lim -1(Pk ) (e)) = hk (e) || gradzhk (e) ||,e R1,k = 1,K, (8) k, m lim {(S (0))}-1(Pk ) (e)) = hk (e),e R, k = 1, K.

k, (9) Аналогичный результат имеет место и для зондирования множествами V (e) = e + V, определёнными выше, т.е. с функциями принадлежности вида:

(Pk ) (k ) (k ) m (e) = P (V (e)) = P (e + V ) = P{ e + V}, k = 1, K, e R.

(10) k k, Теорема 2.В условия теоремы 1 найдётся 0 < 1 такое, что:

lim -1(Pk ) (e)) = hk (e) || gradzhk (e) ||,e R1,k = 1,K, (11) k, XII-th International Conference "Knowledge - Dialogue - Solution" m lim {(V))}-1(Pk ) (e)) = hk (e),e R, k = 1, K.

(12) k, Соотношения (8)-(9), (11)-(12) демонстрируют прямую связь оценивания ситуации по максимуму функций принадлежности, собственно – по максимальным значениям вероятностей множеств-зондов по соответствующим распределениям с классификацией по максимуму плотности соответствующих распределений вероятностей.

Определение. Функция P(e),e E, P : E {P1,...,PK}, определённая по набору МНМ m (R,(Pk ) ()),k = 1,K, k, одним из соотношений P(e) = Pk*,k* = arg max hk (e),e Rm, k=1,K (13) P (e) = Pk*,k* = arg max hk (e) || gradzhk (e) ||,e Rm, k=1,K называется оценкою развития ситуации по максимуму предельных нормированных значений функции принадлежности.

Очевидным образом справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. В условиях теоремы 1 оценка ситуации в соответствии с (13) является предельным вариантом определения оценки ситуации для МНМ определяемых с помощью множеств – зондов в соответствии с (4) или (10). Теоремы 1-3 устанавливают связь между классификацией значений К распределений по максимуму функций принадлежности, построенных по множествам - зондам и классификациями типа main –shift [Comaniciu,2002], когда кластеризация проводится, собственно, по максимуму плотностей определённым образом связанных или порождённых наблюдениями. Указанные плотности порождаются элементами обучающей выборки.

Заключение В предлагаемой работе в развитие работы [Донченко В.С. 2005], рассматриваются модифицированный вариант нечёткости (там же) в рамках которого рассматриваются задачи классификации для К классов.

Доказывается, что при предельном переходе для модифицированных нечётких множеств, построенных на m основе множеств – зондов для классов, определяемых распределениями вероятностей в R, переходе функция распознавания ситуации, введённая в статье для модифицированных нечётких множеств, превращается в функцию распознавания ситуации, построенную по максимуму плотностей, отвечающих исследуемым классам.

В одном из вариантов используются сами плотности, в другом – умножаются на градиенты.

Литература [Zadeh, Lotfi, 1965]. Fuzzy Sets.// Information and Control, 8(3). June 1965. pp. 338-53.

[Кофман А.1982]. Введение в теорию нечетких множеств.- Г.: Радио и связь. 1982.- 322 с.

Pages:     | 1 |   ...   | 38 | 39 || 41 | 42 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.