WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Метод Зигеля—Шидловского в p-адической области В. Г. ЧИРСКИЙ Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова e-mail: vgchirskii@yandex.ru УДК 511.36 Ключевые слова: глобальные соотношения, p-адические числа.

Аннотация В работе дан обзор арифметических свойств так называемых F -рядов.

Abstract V. G. Chirskii, Siegel–Shidlovsky method in p-adic domain, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 11 (2005), no. 6, pp. 221—230.

The paper presents a review of the arithmetic properties of F -series.

Метод Зигеля—Шидловского в теории трансцендентных чисел, в основном, был предназначен для исследования арифметической природы значений E-функций, определённых К. Зигелем [16] в 1929 году. Эти функции представляют собой степенные ряды вида anzn, n! n=0 у которых коэффициенты an принадлежат некоторому алгебраическому числовому полю K конечной степени над полем Q рациональных чисел. При этом для любого >0 |an| = O(nn), n, где через || для числа из поля K обозначается наибольшая из абсолютных величин алгебраически сопряжённых с чисел. Кроме того, существует такая последовательность чисел qn N, n =0, 1,..., что для всех n =0, 1,..., k = =0, 1,..., n qnak ZK, причём qn = O(nn), n.

Из этого определения сразу следует, что E-функции являются целыми функциями. Также из этого определения вытекает, что если рассматривать произвольное Фундаментальная и прикладная математика, 2005, том 11, №6, с. 221—230.

© 2005 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы» 222 В. Г. Чирский простое число p и рассматривать E-функции как отображения поля Cp (представляющего собой пополнение алгебраического замыкания Qp —поля p-адических чисел) в поле Cp, то радиусы сходимости этих рядов меньше 1.

Типичный пример E-функции даёт так называемый обобщённый гипергеометрический ряд tn (a1)n... (al)n z, (b1)n... (bm)n t n=0 где a1,..., al, b1,..., bm Q, t = m-l >0 и (a)0 =1, (a)n = a(a+1)... (a+n-1) при n 1. Он является решением линейного дифференциального уравнения порядка m.

Теория E-функций получила удивительное по красоте развитие в работах А. Б. Шидловского. Сформулируем, например, его вторую основную теорему.

Теорема ([7, с. 127]). Пусть f1(z), f2(z),..., fm(z) — E-функции, составляющие решение системы линейных дифференциальных уравнений m yi = Qi,0 + Qi,j(z)yj, i =1,..., m, j=алгебраически независимые над C(z). Пусть K, пусть число отлично от и полюсов коэффициентов этой системы дифференциальных уравнений. Тогда числа f1(), f2(),..., fm() алгебраически независимы над Q.

Эта общая теорема может быть применена для доказательства алгебраической независимости значений в отличных от 0 алгебраических точках упомянутых выше гипергеометрических E-функций. Ученик А. Б. Шидловского В. Х. Салихов в цикле работ (см., например, [4]) получил условия, при которых гипергеометрические ряды и их последовательные производные до порядка m - 1 алгебраически независимы над C(z).

В работах самого А. Б. Шидловского, его учеников и ряда других авторов теория E-функций получила значительное развитие. Обзор этой теории и доказательства большинства утверждений можно найти в [7]. В последние годы Д. Браунвеллом, Г. Хекманном, И. Андре, Д. Бертраном, Ф. Бейкерсом был решён ряд важных задач, и теория значений E-функций получила ещё более совершенный вид.

В [16] было сделано указание на возможность использования предложенного метода для исследования арифметической природы значений другого класса степенных рядов, G-функций. Определение G-функции подобно определению E-функции. Точнее говоря, ряд anzn n=называется G-функцией, если коэффициенты an принадлежат некоторому алгебраическому числовому полю K конечной степени над полем Q рациональных Метод Зигеля—Шидловского в p-адической области чисел. При этом |an| = O(Cn), n, с некоторой постоянной C и существует такая последовательность чисел qn N, n =0, 1,..., что для всех n =0, 1,..., k =0, 1,..., n qnak ZK, причём qn = O(Cn), n.

Из приведённого определения следует, что G-функции представляются рядами, имеющими конечные радиусы сходимости как в поле C, так и в любом поле Cp.

Пример G-функции даёт обобщённый гипергеометрический ряд (a1)n... (am)n (z)n, (b1)n... (bm)n n=где a1,..., am, b1,..., bm Q.

Арифметические свойства значений G-функций изучались многими авторами. Значительные результаты были получены Г. В. Чудновским [14]. p-адические значения G-функций изучались Ю. Фликером [15], Е. М. Матвеевым [2] и др.

В 1981 году Э. Бомбьери [13] ввёл понятие глобального соотношения, определяемого следующим образом. Пусть fi(z) K[[z]], i =1,..., m, P(y1,..., ym) K[y1,..., ym], многочлен P (y1,..., ym) отличен от тождественного нуля. Пусть v —нормирование поля K, соответствующее пополнение обозначаем Kv. Пусть K.

Соотношение P (f1(),..., fm()) = называется глобальным, если оно выполняется во всех полях Kv, где сходятся все ряды fi(), i =1,..., m.

Глобальные соотношения для G-функций и их приложения к алгебраической геометрии, диофантовым уравнениям изучались в работах Э. Бомбьери [13] и И. Андре [8].

Естественный способ дополнить E- и G-функции — рассмотреть ряды вида f(z) = ann!zn.

n=Сформулируем условия на коэффициенты an. Во-первых, an принадлежат некоторому алгебраическому числовому полю K конечной степени над полем Q рациональных чисел. При этом n |an| Cс некоторой постоянной C1. Во-вторых, существует такая последовательность натуральных чисел dn, n =0, 1,..., что для всех n =0, 1,..., k =0, 1,..., n dnak ZK, 224 В. Г. Чирский причём dn = d1,nqn, где целые числа d1,n делятся только на простые числа p, p C2n, кроме того, n ordp d1,n C3 logp n +.

pВыполнение сформулированных условий будем обозначать f(z) F (K, C1, C2, C3, q), сам ряд f(z) будем называть F -рядом. F -ряд, в частности, является рядом Жевре арифметического типа порядка 1 (см. [9]). Важное свойство F -рядов состоит в том, что их радиус сходимости больше 1 в любомполе Cp, где простое число p не делит q.

Пример F -ряда даёт обобщённый гипергеометрический ряд (a1)n... (al)n (zt)tn, (b1)n... (bm)n n=где a1,..., al, b1,..., bm Q, t = l - m>0.

Рассмотрение F -рядов вызвано также существованием равенств, примером которых служит известное ещё Л. Эйлеру равенство n · n! =-1, n=верное во всех полях Qp.

Теорема 1 (см. [6]). Пусть f1(z) 1, f2(z),..., fm(z) — F -ряды, составляющие решение системы линейных дифференциальных уравнений m yi = Ai,j(z)yj, i =1,..., m, j=линейно независимые над K(z). Пусть K, пусть число отлично от 0 и полюсов коэффициентов этой системы дифференциальных уравнений. Тогда не существует линейных глобальных соотношений, связывающих f1(),..., fm(), точнее говоря, для любой отличной от нуля линейной формы L(y1,..., ym), коэффициенты которой принадлежат K, существуют простое число p и нормирование v, продолжающее p-адическое нормирование в поле K, такие что в поле Kv L(f1(),..., fm()) =0.

Теорема 2 (см. [6]). Пусть f1(z), f2(z),..., fm(z) — F -ряды, составляющие решение системы линейных дифференциальных уравнений m yi = Qi,0 + Qi,j(z)yj, i =1,..., m, j=Метод Зигеля—Шидловского в p-адической области алгебраически независимые над K(z). Пусть K, пусть число отлично от 0 и полюсов коэффициентов этой системы дифференциальных уравнений.

Тогда не существует алгебраических глобальных соотношений, связывающих f1(),..., fm(), точнее говоря, для любого отличного от нуля многочлена P (y1,..., ym), коэффициенты которого принадлежат K, существуют простое число p и нормирование v, продолжающее p-адическое нормирование в поле K, такие что в поле Kv P (f1(),..., fm()) =0.

Как и ранее, приложения этой теоремы к гипергеометрическим рядам можно получить, используя условия из работ В. Х. Салихова, например из [3].

Эта теорема служит некоторым аналогом для случая F -рядов второй основной теоремы А. Б. Шидловского. Это будет более очевидным, если дать несколько другую интерпретацию сформулированным теоремам. Для этого рассмотрим произвольную совокупность рядов fi(z) K[[z]], i = 1,..., m, и точку K, а также рассмотрим все те поля Kv, где сходятся все ряды fi(). Образуем прямое произведение этих полей. При этом получится коммутативное кольцо (с делителями нуля). Обозначим f() элемент, координаты которого в полях Kv как раз равны f(). Отсутствие линейных (алгебраических) глобальных соотношений для рядов fi(z) в точке z = означает линейную (соответственно алгебраическую) независимость элементов fi(), i =1,..., m, рассматриваемого прямого произведения. Поэтому утверждение, например, теоремы 2 можно переформулировать так: при условии теоремы 2 элементы fi() алгебраически независимы.

Назовём глобальное соотношение P (f1(),..., fm()) = тривиальным, если оно получается в результате подстановки z = в тождественное по z равенство P (f1(z),..., fm(z)) = 0, где P (y1,..., ym) — отличный от нуля многочлен с коэффициентами из рассматриваемого поля, в противном случае будем называть это соотношение нетривиальным.

В [5] доказано, что при условиях теоремы 1 нетривиальных глобальных линейных соотношений, связывающих f1(),..., fm(), нет.

В частности, приведённое выше равенство n · n! =-n=получается при подстановке z =1 в тождество n!nzn+1 = (n + 1)!zn+1 - z n!zn = -1.

n=0 n=0 n=226 В. Г. Чирский При исследовании арифметической природы значений E- и G-функций, кроме качественных вопросов алгебраической независимости, возникают важные количественные вопросы, так называемые оценки мер линейной и алгебраической независимости (определение см. в [7]). В случае F -рядов эти вопросы принимают следующий вид. Отсутствие, например, линейного глобального соотношения для рядов fi(z) в точке z = означает, что для любой отличной от тождественного нуля линейной формы L(y1,..., ym) с коэффициентами из ZK существуют простое число p и нормирование v, продолжающее p-адическое нормирование на поле K, такие что в поле Kv выполняется неравенство L(f1(),..., fm()) =0.

Имеет смысл дать оценку сверху для числа p через высоту линейной формы и заменить предыдущее неравенство оценкой снизу величины |L(f1(),..., fm())|v.

При этом вызывают интерес эффективные оценки, т. е. оценки, в которых оцениваемые величины явно выражаются через параметры рассматриваемых F -рядов, системы дифференциальных уравнений и точки. В [12] эта задача была решена. Сформулируем теоремы из этой работы. Для этого вначале дадим некоторые определения.

Пусть Disc(K) обозначает дискриминант поля K. Пусть T (z) K[z] — многочлен минимальной степени, старший коэффициент которого равен 1, такой что a T (z)Ai,j K[z] для всех i, j. Пусть =, a ZK, b N, T () =0, положим b h() = ln(1 + ||) +lnb.

Как обычно, знаменателем den() алгебраического числа называем наименьшее натуральное число d, такое что число d является целым алгебраическим. Ниже будет удобно называть высотой H() алгебраического числа наибольшее из чисел den(), ||. Высотой совокупности многочленов с алгебраическими коэффициентами будем называть максимум из наименьшего общего знаменателя коэффициентов всех этих многочленов и всех высот этих коэффициентов. Степень совокупности многочленов определяем как наибольшую из степеней этих многочленов. Высотой H(A) (степенью deg(A)) совокупности рациональных функций A1,..., Ar будем называть высоту (соответственно степень) совокупности многочленов T, TA1,..., TAr, где T — многочлен с алгебраическими коэффициентами, со старшим коэффициентом, равным 1, и минимальной степени, такой что TA1,..., TAr — многочлены с алгебраическими коэффициентами. Считаем далее, что высота H(D) и степень deg(D) для системы дифференциальных уравнений определены как высота и степень совокупности её коэффициентов — рациональных функций.

Положим c4 = c1 +lnd + c2c3 +2c3 +5, c5 = m2c4 +и Метод Зигеля—Шидловского в p-адической области N0 = max n0(d), ln 2 + Disc(K), exp(4(2(m +3) +c4(m - 1))2), exp(h()2 + deg(D)(h() + 2) + 2 ln H(D) +1), m +3+(m - 1)cH0 =exp N0 ln N0 1 -.

ln NПусть l(x) = exp ln x, u(x) =m(x +1) - x(ln x)-, x x 2(m +3+(m - 1)c5) Plower(x) =l, Pupper(x) =u 1+.

ln x ln x ln x ln ln x Теорема 3 ([12, теорема 1.1]). Пусть f1(z) 1, f2(z),..., fm(z) — F -ряды, составляющие решение системы линейных дифференциальных уравнений m yi = Qi,j(z)yj, i =1,..., m, (D) j=линейно независимые над K(z). Пусть K, пусть число отлично от 0 и полюсов коэффициентов этой системы дифференциальных уравнений. Тогда для любой отличной от нуля линейной формы (y1,..., ym) =h1y1 +... + hmym, коэффициенты которой принадлежат ZK и высота которой определена равенством H() = max H(hi), i=1,...,m при H max(H()H0) существуют простое число p, удовлетворяющее неравенствам Plower(ln H)

Сделаем важное примечание: последняя оценка означает, что есть эффективный способ проверки отличия от 0 величины |()|v. Он состоит в том, что можно рассмотреть лишь конечное число начальных членов рядов f1(),..., fm(). Точнее говоря, если H0 exp exp 8m2(m+3+(m-1)c )228 В. Г. Чирский и H = max(H(), H0), то в качестве можно взять любое число, удовлетворяющее неравенству ln H 8(m +1)2.

ln ln H Величина n0(D), входящая в определение величин перед формулировкой теоремы, непосредственно связана с величиной N0 из формулировки фундаментальной леммы А. Б. Шидловского [7, лемма 9, с. 106]. Для того чтобы получить полностью эффективные оценки мер линейной и алгебраической независимости методом Зигеля—Шидловского, требуется оценка сверху этой величины. В [12] на основе [10, 11, 17] такая оценка была получена.

Теорема 4 ([12, теорема 1.2]). Для любой системы дифференциальных уравнений (D) с коэффициентами из K(z) существуют положительные числа C, c, эффективно выражаемые через m, q = deg (D), =[K : Q], такие что n0(D) C(, m, q).

Более точно, можно взять 8m c(, m, q) = log2, C(, m, q) =(2(q +1)m)(2(q+1)m).

Как отметил Д. Бертран, полученная оценка n0(D) может использоваться и в случае E-функций, а для G-функций она может быть улучшена.

В 1970 г. А. И. Галочкин в [1] доказал теорему об алгебраической независимости значений функций в трансцендентных точках, допускающих высокий порядок приближения алгебраическими числами. Обобщим понятие глобального соотношения на ряды, сходящиеся во всех неархимедовских локальных полях к элементам этих полей, допускающим высокий порядок приближения алгебраическими числами.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.