WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

a Доказательство. В силу замечания, сделанного после теоремы 2.2, F (x) является сильно универсальным относительно компактов. В силу предложеa ния 5.2 любой k-мерный компакт A F (x), diam A<, стягивается в точку a по компакту B F (x), diam B < 2. Следовательно, для чисел <, Неполиэдральное доказательство конечномерной селекционной теоремы Майкла a a для U-непрерывного отображения F и его селекции F, для {A}{K} выполнены все условия предложение 3.1. Применение предложения 3.1 завершает доказательство.

Дополнение доказывается аналогично, если полностью игнорировать все ссылки на mesh отображений.

Завершение доказательства теоремы 5.1. В силу предложения 5.3 существует 0-мерная полосочная селекция F0 = {A(0)}{K(0)}: X N a отображения F, такая что mesh(F0) < 2 и g F0.

В силу теоремы 5.4 существует стягиваемая 1-мерная полиэдральная полосочная селекция F1 = {A(1)}{K(1)}: X N ·a отображения F, такая что F0 F1 для некоторого 0-мерного полосочного отображения F0, индуцированного F0, и mesh(F1) < 4 · (2) = 8 ·. Из утверждения (2.4) леммы 2.9 следует, что mesh(F0) mesh(F0) < 2 и g F0.

Повторяем предыдущее рассуждение для F1: в силу теоремы 5.4 существует стягиваемая 2-мерная полиэдральная полосочная селекция F2 = {A(2)}{K(2)}: X N 2·a отображения F, такая что F1 F2 для некоторого 1-мерного полиэдрального полосочного отображения F1, индуцированного F1, и mesh(F2) < (4)2 ·(2). Из утверждения (2.4) леммы 2.9 следует, что F1 является стягиваемым 1-мерным полиэдральным полосочным отображением, mesh(F1) < (4) · (2). Ит. д.

В результате мы построим последовательность F0 F1 F2... Fn Fn+n+1·a µ стягиваемых полосочных селекций отображения F F, в которой mesh(Fn+1) < (4)n+1 · (2). Из теоремы 3.4а) следует, что существует однозначная селекция f : X B отображения Fn+1. Поскольку n+1 · a <µ, то µ µ Fn+1 F и f F.

Так как g F0, F0 Fn+1 и mesh(Fn+1) < (4)n+1 · (2), то dist(g, f) < < 2(1 + (4)n+1) · =·, что меньше по условиютеоремы 5.1.

Пусть дополнительно известно, что LCn. В силу предложения 5.3 существует 0-мерная полосочная селекция F0 = {A(0)} {K(0)}: X N отоб a ражения F, такая что mesh(F0) < 2 и g F0. Далее следует повторить рассуждения из начала доказательства, убрав все ссылки на mesh отображений.

18 С. М. Агеев 6. Дополнение Доказательство теоремы 2.5. Пусть Q есть свойство, которым обладают некоторые пары вписанных открытых покрытий метрического пространства W. Пусть известно, что Q удовлетворяет следующим условиям:

а) если ( ) Qи, то ( ) Q;

б) если и ( ) Q, то ( ) Q;

в) для любого покрытия существует пара ( ) Q.

В случае теоремы 2.5 мы рассматриваем следующее свойство Q вписанных покрытий метрического пространства N ANE: ( ) Qв том и только в том случае, когда для них выполнено заключение определения 2.1 для L, а также для любого V существует такое U, что V U и лю бое вложение V L U L, L L, i-асферично. Легко видеть, что для Q выполнены условия а)—в). Таким образом, теорема 2.5 получается как частный случай следующего более общего утверждения.

Теорема 6.1. Пусть : W T есть отображение метрических пространств (W, W ) и (T, T ), а cov W. Тогда существует допустимая метрика d на W и константа 8, такие что 1) : (W, d) (T, T ) есть отображение Липшица с константой 1;

2) {Nd(w; 1)}wW ;

3) для любых 0 < < <1 имеем ({Nd(w; ) | w W } {Nd(w; ) | w W }) Q.

Переходя, если требуется, к допустимой метрике W + T W, где ( T )(w, w ) T ((w), (w )), мы с самого начала можем считать, что удовлетворяет условию1).

Нам будем удобно в дальнейшем перейти от покрытий к функциям. Пусть : W (0, 1] есть непрерывная функция (постоянные функции отождествляются с их значением). Через U() обозначим симметричнуюокрестность {(w, w ) | w N(w, (w)) и w N(w, (w ))} W W диагонали Diag = {(w, w) | w W }; через W() обозначим «несимметричную» окрестность {(w, w ) | w N(w, (w))} W W.

Очевидно, что Diag U() W(). Можно считать, что U() W() есть многозначные отображения из W в W. Через W()(w) и U()(w) обозначаются образы точки w W.

Центральнуюроль в доказательстве теоремы играет следующая метризационная лемма, аналогичная [10, с. 185].

Лемма 6.2. Пусть {Un | n 1} есть такая последовательность симмет ричных подмножеств W W, что U1 = W W, {Un | n 1} = Diag и (Un+1)3 Un для всех n 1. Тогда существует допустимая метрика (w, w ) на W, такая что Un W(2-n+1) Un-1 для всех n>1.

Неполиэдральное доказательство конечномерной селекционной теоремы Майкла Сделаем ряд простых уточнений к лемме 6.2, доказательство которых опускаем.

Если 0 < 8 < <1, то W() Un+1 Un W() для некоторого n N. (6.1) Если diam (Un-1(w)) < 4-n для всех w W, то d T. (6.2) W Очевидно, что с учётом (6.1) доказательство теоремы 6.1 сводится к следующей лемме.

Лемма 6.3. Существуют такие функции i : W (0, 2-i], i =1, 2, 3,..., что {W(1)(w) | w W } ; (6.3) (W(i+1))3 W(i) для всех i 1; (6.4) ({W(i+1)(w) | w W } {W(i)(w) | w W }) Q. (6.5) Доказательству этой леммы предшествует ряд вспомогательных утверждений. Возможность заменить произвольные непрерывные функции функциями Липшица гарантирует следующая лемма. Обозначим через Lip(W ) функции Липшица с константой Липшица L<1/2.

Лемма 6.4 (см. [7]). Для лю бой непрерывной функции : W (0, 1] существует такая функция : W (0, 1] из класса Lip(W ), что <.

Для лю бой функции : W (0, 1] имеем U() W(). Пусть Lip(W ) и 2 <. Если T (w, w ) <(w), то отсюда следует, что (w ) (w) 2(w ) <(w ).

Следовательно, нами доказано, что для любой функции : W (0, 1] существует такая функция : W (0, 1], что W() U(). (6.6) Следующее предложение подготавливает условия для применения метризационной леммы.

Лемма 6.5. Пусть W есть метрическое пространство с метрикой T и функции, : W (0, 1] Lip(W ) таковы, что 8 · <. Тогда (U())3 = U() U() U() U().

Доказательство. Ясно, что имеют место следующие два неравенства:

1 (b) (a) + · T (a, b) <(a) + · (a), 2 1 (a) (b) + · T (a, b) <(b) + · (b).

2 Первое из них влечёт (b) < 2(a), второе — (a) < 2(b).

20 С. М. Агеев Пусть (wl, wl+1) U() для l =1, 2, 3. Тогда T (w1, w4) T (wl, wl+1) l= min{(w1) +(w2) +(w3), (w2) +(w3) +(w4)} min{(w1) +2(w1) +4(w1), 4(w4) +2(w4) +(w4)} min{(w1), (w4)}.

Следовательно, (w1, w4) U().

Доказательство леммы 6.3. Используя паракомпактность W и условия а)—в) свойства Q, несложно заключить, что существует такая функция 1 : W (0, 2-1], что для cov W, совпадаю щего с, имеем {W(1)(w) | w W }, ({W(1)(w) | w W } ) Q. (6.7) Далее, в силу (6.7) существует такая функция 1 : W (0, 1], 1 <1, что ({W(1)(w) | w W } {W(1)(w) | w W }) Q.

В силу леммы 6.5 существует такая функция 1 : W (0, 1], что (U(1))3 U(1) W(1).

Наконец, в силу (6.6) существует такая функция 2 : W (0, 2-1], что W(2) U(1).

Далее следует повторить рассуждения из предыдущего абзаца и построить искомые функции 3, 4,....

Доказательство теоремы 1.4. До конца раздела предполагаем, что выполнены условия теоремы 1.1. Легко заметить, что из теоремы 1.2 о сдвиге для Fn+следует, что для любого n N существует такое покрытие n cov Y, n mesh n < 2-n, что любое отображение g : X Y, g F, может быть 2-n-аппроксимировано отображением f : X Y, таким что n+f F. (6.8) Если дополнительно к (6.8) мы докажем, что для любого cov Y существует -селекция отображение F, то естественным образом возникающая последовательность f1 2-1 f2 2-2 f3 2-3...

однозначных n-селекций fn : X Y отображения F в пределе даёт искомую селекцию s: X Y отображения F. Доказательство теоремы 1.4 будет завершено.

Неполиэдральное доказательство конечномерной селекционной теоремы Майкла Предложение 6.6. Для любого cov Y существует отображение f : X Y, такое что f F.

В силу теоремы 2.2 для подпространства Ai Li, 0 i n +1, метрического пространства (Y, ) существует изометрическое замкнутое вложение Ai L(Ai) в линейное бесконечномерное нормированное пространство L(Ai).

Пусть i : L(Ai) L(Ai+1) есть продолжение вложения Ai Ai+1. Воспользовавшись теоремой 6.1, построим обратной индукцией совместимые метрики dn+1, dn,..., d1, d0 на пространствах L(An+1), L(An),..., L(A1), L(A0), такие что i : (L(Ai), di) (L(Ai+1), di+1), 0 i n, есть отображение Липшица с константой 1; (6.9) {Nd (w; 1) | w L(An+1)} A как угодно мелко; (6.10) n+n+ {Li | 0 i n +1} есть -равномерное Attrn+1- и LCi-1-семейство подмножеств в L(An+1). (6.11) С учётом приведённых рассуждений предложение 6.6 легко сводится к более простому для проверки факту.

Предложение 6.7. Пусть выполнены условия (6.9)—(6.11). Тогда для лю бого µ µ [0, 1] существует отображение f : X L(An+1), такое что f Fn+1.

Пусть n+1 · a <µ. В силу (6.9) i i i((Fi) ·a) (Fi+1) ·a для любого i n. (6.12) Из (6.12) легко следует, что если {A(i)} {K(i)} есть полосочная селекция отображения i (Fi) ·a, то i({A(i)}{K(i)}) есть полосочная селекция i отображения (Fi+1) ·a. (6.13) Если мы построим последовательность H0 = {A(0)}(0) {K(0)}(0) 0 1 n - H1 = {A(1)}(1) {K(1)}(1) -... n - Hn+1 = {A(n +1)}(n+1) {K(n +1)}(n+1) стягиваемых полосочных селекций Hi = {A(i)}{K(i)} i отображений (Fi) ·a : Y L(Ai) так, чтобы i(Hi) Hi+1, то аналогично предложению 3.4а) можно доказать, что существует однозначная селекция n+f : X L(An+1) отображения (Fn+1) ·a, а следовательно, и µ-селекция F.

i Если мы имеем полосочную селекцию Hi отображения (Fi) ·a, то, повторив рассуждения из предложения 5.4, относящиеся к случаю L Cn, мы построим стягиваемую полосочную селекцию Hi+1 отображения Fi+1 так, чтобы 22 С. М. Агеев i(Hi) Hi+1. Тем самым будет завершено доказательство предложения 6.7, а следовательно, и теоремы 1.4.

Литература [1] Семёнов П. В., Щепин Е. В. Об универсальности 0-мерной селекционной теоремы // Функцион. анализ и его прил. — 1992. — Т. 26, № 2. — С. 105—108.

[2] Щепин Е. В., Бродский Н. Б. Селекции фильтрованных многозначных отображений // Тр. МИРАН им. В. А. Стеклова. — 1996. — Т. 212. — С. 218—239.

[3] Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986.

[4] Ageev S. Non-polyhedral proof of Uspenskij’s Selection Theorem. — Preprint. — 2001.

[5] Ancel F. D. The role of countable dimensionality in the theory of cell-like relations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1985. — Vol. 287. — P. 1—40.

[6] Bessaga C., Pelchinskii A. Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology. — Warsaw:

PWN, 1975.

[7] Bestvina M., Mogilskii J. Characterizing certain incomplete infinite-dimensional absolute retracts // Michigan Math. J. — 1986. — Vol. 33. — P. 291—313.

[8] Dugundji J., Michael E. On local and uniformly local topological properties // Proc.

Amer. Math. Soc. — 1956. — Vol. 7. — P. 304—308.

[9] Hu S. T. Theory of retracts. — Wayne State Univ. Press, 1965.

[10] Kelley J. L. General Topology. — Berlin: Springer, 1975. — (Grad. Texts Math.; Vol. 27).

[11] Michael E. Continuous selections. I // Ann. of Math. (2). — 1956. — Vol. 63. — P. 361—382.

[12] Michael E. Continuous selections. II // Ann. of Math. (2). — 1956. — Vol. 64. — P. 562—580.

[13] Michael E. Continuous selections. III // Ann. of Math. (2). — 1957. — Vol. 65. — P. 375—390.

[14] Repov D., Semenov P. V. Continuous Selections of Multivalued Mappings. — Кluwer Academic, 1998.

[15] Rourke C. P., Sanderson B. J. Introduction to Piece-Linear Topology. — Springer, 1982.

[16] Uspenskij V. V. A selection theorem for C-spaces // Topology Appl. — 1998. — Vol. 85. — P. 351—374.

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.