WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Если mesh({A}{K}) <, то полосочное отображение {A}{K}: X Y называется -полосочным. Если есть стягиваемое (есть k-мерное) полосочное произведение, то многозначное отображение : X Y называется стягиваемым полосочным (k-мерным).

2.3. U-непрерывные отображения Многозначное отображение F : X Y называется U-непрерывным отображением, если лю бой компакт K {x} F (x) содержится в некоторой полоске, лежащей в Gr(F ). Очевидно, что любое полосочное отображение является U-непрерывным отображением, а любое U-непрерывное отображение является полунепрерывным снизу. Простейшая связь между U-непрерывным отображением и полосочным отображением заключена в следующем утверждении, которое приводится без доказательства.

Лемма 2.7. Если F : X Y есть U-непрерывное отображение, то существует 0-мерное полосочное отображение F0 = : X Y, являющееся селекцией F.

Раздутие полунепрерывного снизу отображения является U-непрерывным отображением. Этот факт позволяет сводить исследование произвольных полунепрерывных снизу отображений к U-непрерывным.

Лемма 2.8. Если F : X Y есть полунепрерывное снизу отображение, а a a > 0, то F : X Y имеет открытый график и, следовательно, является U-непрерывным отображением.

a Доказательство. Пусть (x0, y0) Gr(F ). Тогда dist(y0, F(x0)) = a-0

Пусть y1 F (x0) и dist(y0, y1) =a - 0/3. Так как F полунепрерывное снизу, то существует такая окрестность O(x0), что O(x0) O(y1) послойно пересекает Gr(F ), где O(y1) =N(y1; 0/3). Несложно проверить, что O(x0) N(y0; 0/3) a Gr(F ).

10 С. М. Агеев Отметим без доказательства, что отображение F : X Y является полунеa прерывным снизу в том и только в том случае, когда F имеет открытый график для любого a >0.

2.4. Звёздное вложение полосочных отображений Скажем, что полосочное отображение {A} {B}: X Y звёздно содержится в полосочном отображении {Cµ} {Dµ}: X Y (обозначение {A}{B} {Cµ}{Dµ}), если A Cµ = всегда влечёт B Dµ. (2.1) Название этого центрального понятия статьи объясняется следующим наблюдением. Если покрытие = {U} cov X звёздно вписано в покрытие = = {Wµ} cov X, то для любого существует такой индекс µ = µ(), что N(U; ) Wµ. Легко проверить, что полосочное отображение {U}{U}: X X звёздно содержится в полосочном отображении {U}{Wµ()}: X X.

Ясно, что введённое отношение транзитивно, а также а) {A}{B}(x) {Cµ}{Dµ}(x) и, следовательно, б) mesh({A}{B}) mesh({Cµ}{Dµ}).

Скажем, что полосочное отображение G = {Cµ}{Dµ}: X Y индуцирует полосочное отображение H = {S}{T}: X Y, если для любого индекса существует такой индекс µ = µ(), что S Cµ, а T = Dµ. (2.2) Лемма 2.9. Пусть полосочные отображения F = {A}{B}, G = {Cµ}{Dµ}: X Y таковы, что F G, а H = {S}{T}: X Y индуцируется G. Тогда H(x) G(x) для всех x X и, следовательно, mesh H mesh G; (2.3) F H. (2.4) Доказательство. Из (2.2) и леммы 2.6 следует, что H(x) =T (x) D(x) =G(x) для всех x X.

Проверим, что A S = влечёт B T. Так как A Cµ() =, то из F G следует, что B Dµ() = T.

Неполиэдральное доказательство конечномерной селекционной теоремы Майкла 3. Звёздное продолжение полосочных отображений Данный раздел является сердцевиной доказательств как теоремы Успенского, так и теоремы Майкла. Через m обозначим любое натуральное число либо. Если m =, то будем считать, что m +1 = m =. Последовательность F0 F1 F2... Fj..., j < m+1, полосочных селекций отображения F : X Y, в которой Fj стягиваемо для всех j 1, будем называть стягиваемой полосочной последовательностью длины m. Первое из двух утверждений гарантирует при определённых условиях стягиваемость полосочной последовательности длины 2 и доказывается методами общей топологии.

Предложение 3.1. Пусть F : X Y есть U-непрерывное отображение, такое что F (x) есть сильно универсальное относительно компактов пространство для любого x X. (3.1) Пусть селекция G: X Y отображения F и числа 0 < и n N таковы, что для любого x X любой n-мерный компакт A G(x), diam A<, стягивается в точку по компакту B F (x), diam B<. (3.2) Тогда для любой n-мерной и -полосочной селекции {A} {K} отображения G существует стягиваемая (n +1)-мерная и (2)-полосочная селекция {C}{M} отображения F, такая что {B}{L} {C}{M} для некоторого полосочного отображения {B}{L}, индуцированного {A}{K}. (3.3) Доказательство. Из условия предложения и леммы 2.6 следует, что >mesh({A}{K}) =sup{diam K(x) | x X}, где K(x) = {K | (x)} G(x) есть n-мерный компакт; (3.4) существует такое вложение Con K(x) F (x) конуса, что diam Con K(x) <. (3.5) Так как F является U-непрерывным отображением, то существует такая окрестность O(x), что O(x) Con K(x) Gr(F ). Не теряя общности, можно считать, что {O(x) | x X} есть локально-конечное покрытие X и {O(x)}3 {A}. Далее, фиксируем локально-конечное покрытие {B} {O(x)}. Пусть для определённости B O(x) и N(B; {O(x)}2) A(). (3.6) Полагаем P Con K(x) и L K(). Тем самым многозначное отображение {B}{L} индуцировано многозначным отображением {A}{K}.

Следующая несложная лемма является ключевой в доказательстве предложения.

12 С. М. Агеев Лемма 3.2. Если N(B ; {O(x)}) A, то K K(x ) P.

0 0 0 0 Доказательство. Во-первых, заметим, что из (3.6) и условия леммы следует, что x O(x ) N(B ; {O(x)}) A.

0 0 0 Поэтому K(x ) = {K | x A} K.

0 0 В итоге имеем P = Con K K K.

0 0 0 Пусть локально-конечное покрытие {C} cov X таково, что {C}3 {B}.

Если N(C; {C}2) B(), то полагаем M P(). Следую щая цепочка вложений очевидна:

C M B() P() O(x()) Con K(x()) Gr(F ). (3.7) Тем самым показано, что {C}{M} есть стягиваемая (n+1)-мерная полосочная селекция отображения F. Проверим звёзднуювписанность отображений {B}{L} {C}{M}.

Лемма 3.3. Если C B =, то L M.

Доказательство. Напомним, что по определению а) M = P(), где N(C; {C}2) B();

б) L = K(), где N(B; {O(x)}2) A().

Так как B() B C B = и {B} {O(x)}, то имеем B() N(B; {O(x)}) и N(B(); {O(x)}) N(B; {O(x)}2) A().

Отсюда и из леммы 3.2 следует, что L = K() P() = M.

Завершает доказательство предложения оценка числа = mesh({C}{M}).

Очевидно, что =sup{diam M(x) | x X}, где M(x) = {M | x C} F (x) есть объединение компактов M = Con K(x()) диаметра меньше.

Пусть x C B. Так как в силу леммы 3.3 M L, то {M | x C} есть центрированная система компактов, и следовательно, = sup{diam M(x) | x X} < 2.

Наличие стягиваемой полосочной последовательности селекций отображения F : X Y тесно связано с существованием её однозначной селекции s: X Y :

чем больше длина последовательности, тем выше размерность X.

Предложение 3.4. Пусть F0 F1 F2... Fj..., j < m +1, есть стягиваемая полосочная последовательность селекций отображения F : X Y.

В каждом из следующих случаев существует однозначная селекция s: X Y отображения F :

Неполиэдральное доказательство конечномерной селекционной теоремы Майкла а) m< и dim X m;

б) m = и X является C-пространством.

Доказательство. Пусть для определённости Fi = {A(i)}(i) {K(i)}(i), 0 i

Из условия следует, что существует такое локально-конечное замкнутое поm крытие = i пространства X, что i = {W(i) | (i)} есть дисi=кретное семейство, вписанное в {A(i)}(i) (в случае а) это известный факт, в случае б) — определение C-пространства). Через Xi = {W(i) | (i)} обозначим тело семейства i, которое, как легко видеть, является замкнутым подмножеством X. Ясно, что X есть тело локально-конечного замкнутого покрытия {Xi}m.

i=Доказательство будет завершено, если мы построим последовательность sn : X0 X1 X2... Xn Y, n =0, 1, 2, 3,..., n < m+1, селекций отображения Fn так, что будут выполнены следующие свойства:

()n, n>0 sn = sn-1 на X0 X1 X2... Xn-1;

()n, n 0 если W(n) A()(n), то sn(W(n)) K()(n) для любого (n).

Полагаем s0(W(0)) равным любой точке из K()(0). Очевидно, что при этом отображение s0 будет корректно определено.

Предположим, что отображение sj определено для любого j < n так, что свойства ()j, ()j выполнены. Построим отображение sn так, что свойства ()n, ()n будут выполнены. Так как Xn есть дискретное объединение W(n), то достаточно будет построить sn на каждом W(n), (n).

Лемма 3.5. sn-1(W(n) Xj) K()(n) для любого j

Доказательство. Достаточно будет проверить, что sn-1(W(n) W (j)) K()(n) для любого (j). Так как Fj Fn, то из = W(n) W (j) следует, что K( (j) K()(n). Но в силу ()n-1 имеем ) sn-1(W(n) W (j)) = sj(W(n) W (j)).

В силу ()j имеем sj(W(n) W (j)) sj(W (j)) K( (j) K()(n).

) Лемма доказана.

Итак, частичное отображение sn-W(n) W(n) (X0 X1 X2... Xn-1) K()(n) 14 С. М. Агеев корректно определено. Так как пространство K()(n) стягиваемо, то существует продолжение sn W (n) : W(n) K()(n) этого частичного отображения.

Так как Xn есть дискретное объединение W(n), (n), то определено отображение sn : X0 X1 X2... Xn Y, совпадаю щее с sn-1 на X0 X X2... Xn-1. Несложно проверить, что sn есть селекция Fn и выполнены ()n, ()n.

4. Неполиэдральное доказательство теоремы Успенского Предложение 4.1. Пусть U-непрерывное отображение F : X Y, удовлетворяющее условию (3.1) предложения 3.1. Если F (x) стягиваемо для любого x X, то существует стягиваемая полосочная последовательность селекций F бесконечной длины.

Доказательство. В силу леммы 2.7 существует 0-полосочная селекция F0 : X Y отображения F. Стягиваемость слоёв F (x) означает, что выполнено условие (3.2) предложения 3.1 для = =. Последовательно применяя предложение 3.1, построим последовательность F0 F1, F1 F2, F2 F3, F3... полосочных селекций отображения F, в которой Fi, i 1, стягиваемы, а Fi является отображением, индуцированным Fi, для любого i 0.

В силу леммы 2.9 Fi Fi+1 для всех i, 0 i < m, и, следовательно, F0 F1 F2... Fn... есть искомая стягиваемая полосочная последовательность селекций F бесконечной длины.

Любое метрическое пространство Y после умножения на гильбертов куб Q или гильбертово пространство l2 становится универсальным пространством относительно компактов. По этой причине все рассматриваемые в статье задачи о нахождении однозначных селекций у многозначных отображений F легко сводятся к случаю, когда все образы F (x) являются универсальными относительно компактов. В дальнейшем будем предполагать это условие выполненным. В качестве лёгкого следствия предложений 4.1 и 3.4 (m = ) получаем доказательство теоремы Успенского (теоремы 1.3).

5. Доказательство теоремы о сдвиге С учётом теорем 2.2 и 2.5 теорема о сдвиге (теорема 1.2) легко сводится к более простому для проверки факту.

Теорема 5.1 (редуцированная теорема о сдвиге). Пусть N есть линейное нормированное пространство c метрикой d, а L есть -равномерное Attrn+1и -равномерное LCn-семейство замкнутых подмножеств в N. Пусть также X есть (n +1)-мерный паракомпакт. Тогда для любых чисел 0 < · < <1, где Неполиэдральное доказательство конечномерной селекционной теоремы Майкла 2 · (1 + (4)n+1) и =10, для любого отображения g : X N, g F, и µ для любого µ>0 существует такое отображение f : X N, что f F и f g.

Если дополнительно известно, что L Cn, то для любого µ > 0 существует µ такое отображение f : X N, что f F.

Доказательство основывается на теоремах 1.3 и 3.4, для чего необходимо µ построить последовательность стягиваемых полосочных селекций F с контролируемыми размерами её членов. Первый шаг в указанном направлении связан a a с исследованием свойств послойной n-асферичности вложения F F.

Предложение 5.2. В условии редуцированной теоремы о сдвиге зафиксируем такие числа >0 и a >0, что 1 1 - <, a < min ;. (5.1) 2 +1 Тогда для любого частичного отображения Con A A La, где A есть n-мерный компакт и L L, имеющего диаметр меньше, существует отображение : Con A La, продолжаю щее и такое, что diam <(2).

Если дополнительно известно, что L Cn, то для любого 0 < · a < 1 и для любого частичного отображения Con A A La существует отображение : Con A La, продолжаю щее.

Доказательство. Так как a

Отсюда очевидно, что diam <2a +. Так как в силу (5.1) 2a + <22a + + < 1, а L есть -равномерное LCn-семейство, то существует отображение : Con A L, продолжаю щее и такое, что diam < (2a + ). Соединяя отображения и H : A I La по их общей области определения, построим искомое отображение : Con A La, продолжаю щее. Ясно, что diam <(2a + ) +a = + ((2 +1)a) < +.

Доказательство добавления проводится дословно аналогично, если игнорировать все ссылки на диаметры образов отображений.

Теперь построим первый член последовательности стягиваемых полосочных селекций.

Предложение 5.3. Пусть выполнены условия редуцированной теоремы о сдвиге. Тогда для любого отображения g : X B, g F, > 0, для любого a > 0 существует 0-мерная полосочная селекция {A} {K}: X B a отображения F, такая что mesh({A}{K}) < 2, g {A}{K}. (5.2) 16 С. М. Агеев Доказательство. Зафиксируем покрытие {O(x) | x X} cov X и соответствие X x bx F (x) так, чтобы g(O(x)) <, g(x) bx. (5.3) a В силу леммы 2.8 F является U-отображением. Поэтому можно дополнительa но считать, что O(x) {bx} Gr(F ). Рассмотрим локально-конечное открытое покрытие {A} {O(x)}, и пусть для определённости A O(x). Тогда полагаем K bx. Ясно, что {A}{K} есть 0-полосочная селекция отоб a ражения F.

Проверим выполнение (5.2). В силу утверждения 2) леммы 2.6 имеем mesh({A}{K}) =sup{diam K(x) | x X}, где K(x) = {K | x A} = {bx | x A}.

Поэтому достаточно показать, что dist(bx, bx ) < 2 для x A A, а также что g(x) g(x) для любой точки x A. Но это так в силу оценок, следующих из (5.3):

/2 /bx g(x) g(x) g(x ) bx.

Предложение доказано.

Приводимое ниже предложение позволяет осуществить индуктивное построение (i +1)-го члена последовательности стягиваемых полосочных селекций, зная её i-й член.

Предложение 5.4. Пусть выполнены условия редуцированной теоремы о сдвиге 5.1, и пусть фиксированы числа >0 и a >0, удовлетворяющие условию (5.1) предложения 5.2. Тогда для лю бой k-мерной полиэдральной полосочa ной селекции {A}{K}, 0 k n, отображения F с mesh({A}{K}) < существует стягиваемая (k +1)-мерная полиэдральная полосочная селекция ·a {C}{M} отображения F, такая что а) {B} {L} {C} {M} для некоторого полосочного отображения {B}{L}, индуцированного {A}{K};

б) mesh({C}{M}) < 4.

Если дополнительно известно, что LCn, то для любого числа a >0, a < 1, a и для любой k-полосочной селекции {A}{K}, 0 k n, отображения F существует такая стягиваемая (k +1)-мерная полосочная селекция {C}{M} ·a отображения F, что выполнено а).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.