WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Горбенко А.Н. УДК 62-755 ОБ УСЛОВИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ Керченский государственный АВТОБАЛАНСИРОВКИ РОТОРА морской ШАРАМИ ИЛИ МАЯТНИКАМИ технологический университет У роботі одержані наближені аналітичні формули для Керчь, Украина обчислення найбільшої критичної швидкості обертання ротора, що є нижньою межею стійкості автобалансування.

The approximate analytical formulas for the calculation of largest speed of rotor rotation, being the low bound of autobalancing stability, are got in the article.

1. Постановка проблемы. Цель для практики точностью определять границу работы. устойчивости автобалансировки однодискового Для снижения вибрации роторных машин ротора, совершающего плоско-параллельное находят применение автобалансирующие движение.

устройства (АБУ) пассивного типа [1-6]. 2. Физическая модель. Безразмерные Наибольшее распространение получили параметры.

шариковые и маятниковые автобалансиры, Рассмотрим однодисковый ротор на двух динамика которых эквивалентна друг другу. изотропных опорах. Статически Для практического применения АБУ требуется неуравновешенный диск ротора расположен определение границы устойчивости режима посередине между опорами и совершает автобалансировки. Общеизвестно плоское движение. В плоскости диска необходимое (но недостаточное) условие расположен шариковый автобалансир, устойчивости автобалансировки однодискового представляющий собой кольцевую канавку с ротора, совершающего плоское движение, – помещенными в нее компенсирующими массами (КМ) в виде шаров (рисунок 1).

рабочая скорость вращения должна быть выше критической скорости p ротора без АБУ.

Однако действительной границей устойчивости является наибольшая критическая скорость K всей многомассовой механической системы «ротор - АБУ». Значение K нелинейным образом зависит от параметров системы и может существенно превышать величину p.

В настоящее время для теоретического определения значения K существуют следующие возможности: вычисление критической скорости на базе численного анализа характеристического уравнения, Рисунок 1 – Механическая система неявным образом содержащего K;

«ротор –автобалансир» применение приближенных аналитических выражений в замкнутой форме. Первая Данная механическая система возможность отличается точностью, однако характеризуется следующими физическими носит характер частного вычислительного параметрами: – угловая скорость вращения эксперимента лишь для конкретных значений ротора, рад/с; M – масса диска, кг; r – параметров. Вторая возможность позволяет эксцентриситет, м; K – жесткость вала и его делать заключения об общих опор, приведенная к центру диска, Н/м; – фундаментальных свойствах ротора с АБУ, коэффициент внешнего вязкого однако для известных зависимостей демпфирования ротора, с-1; p – критическая характерна низкая точность при практически скорость вращения ротора без АБУ, рад/с; x, y значимых диапазонах значений параметров.

– текущие координаты геометрического центра Целью данной работы является диска, м; m, n – масса одного шара (кг) и их получение приближенных аналитических количество; R – радиус окружности движения зависимостей в замкнутой форме, центров масс шаров в АБУ, м; 0 – позволяющих в явном виде и с приемлемой коэффициент внутреннего вязкого рассматриваемой механической системы лишь в ряде работ Филимонихина Г.Б. получены сопротивления движению шаров в АБУ, с-1; – j приближенные аналитические зависимости, постоянные угловые положения шаров которые в явном виде определяют наибольшую относительно диска в режиме критическую скорость K (т.е. границу автобалансировки, рад; j – текущая угловая координата j-го шара относительно оси x, рад. надежной устойчивости автобалансировки).

Ниже приведены формулы из монографии [5] с Анализ динамики системы может быть указанием области их возможного применения.

сведен к исследованию уравнений, зависящих от следующих безразмерных параметров [4, 5]:

Rm2B0 B1 D Rm 1 D K m r 0 2 2B0B 8B0 B ; B ; ; ; B0 ;

P p M nm R p B7B 12B01 D 4DB03B 5B0, (3) 2 n где Rm=0,5n ; Rm <<1; n /(4B02B)<1;

2 n D (1) 1 3 2 cos sinj j 1 7 1 n2 j 1 j 1, K 1 2 Rm Rm Rm, (4) 2 3 2 где – безразмерная угловая скорость где Rm =0…0,05; B=0; B0=0; D=1;

вращения ротора;

3 7 1 B – безразмерный коэффициент внешнего K 1 Rm3 Rm 3 Rm, (5) 2 8 вязкого демпфирования ротора;

где Rm =0…0,5; B=0; B0=0; D=0.

– относительная масса одного шара;

Из приведенных формул видно – относительный радиус окружности следующее. Условие применимости формулы движения центров масс шаров в АБУ;

(3) при указанных выше величинах параметров B0 – безразмерный коэффициент внутреннего системы не выполняется (n/(4B02B) 2,5102).

вязкого демпфирования в АБУ;

Что же касается формул (4) и (5), то они D – параметр расположения шаров в режиме применимы лишь в случае полного отсутствия автобалансировки, который может принимать демпфирования в системе, чего в значения от 0 до 1. При этом параметр D действительности не бывает. Отметим, что в связан с ёмкостью АБУ E nmR Mr.

работе [5] получен также ряд приближенных Отметим, что динамика маятникового формул для корней характеристического АБУ описывается такими же уравнениями, в уравнения. Однако точность приближения не которых, однако, физический смысл позволяет их использовать для определения параметров и несколько иной [1-3, 5].

границ устойчивости.

Указанные параметры могут принимать Таким образом, существующие в значения в относительно широких пределах. В настоящее время зависимости практически работах [4, 5] выполнена оценка характерных неприменимы для оценки границы диапазонов значений безразмерных устойчивости реальных роторных систем с параметров. С учетом этого в данной работе АБУ, хотя и позволяют установить некоторые приняты следующие порядки малости качественные особенности.

параметров:

B 1 ; n 2 ; B0 2, (2) 4. Вывод условий устойчивости В общем случае характеристическое где – малый параметр порядка 10–1.

уравнение механической системы может быть Данный выбор, по мнению автора, представлено в форме полинома восьмого соответствует широкому перечню типов порядка [4, 5]:

роторных машин, хотя в отношении параметра B0 не охватывает весь спектр практически (6) a 8k 0, k значимых случаев. Отметим также, что в k дальнейшем принято следующее: все где параметры системы ненулевые; параметр D не a0 1 n 0,25n221 D; a1 2 nB B0;

равен 0 или 1 (при которых имеют место особые случаи исследования устойчивости).

a2 2 n1 2 BB0 B B n2221 D;

3. Анализ существующих работ Исследованию автобалансиров a3 2B 2B01 2 2BB0B Bпосвящено большое количество работ ([1-6] и nB01 2 2B2;

другие). Однако их изучение литературных источников показывает, что для 2 Неравенство (9) позволяет применить a4 2 1 n 26 2 2BB0 (7) метод Лобачевского-Греффе для получения приближенных решений [7]. Согласно основной 2B02B B01 2 B2B0 идее этого метода, полный характеристический 1,5n2241 D;

полином (6) может быть заменен «усеченным» 2 полиномом меньшей степени путем a5 2B02 1 n 23B2 B06 отбрасывания слагаемых с большими показателями степени.

2BB0B0 B B02;

4.1 Вывод условия устойчивости на основе усеченного характеристического a6 n42 1 3BB0 B0 2 1 B полинома четвертой степени, которое имеет вид n2261 D;

a44 a53 a62 a7 a8 0. (10) a7 nB042 1; a8 0,25n2281 D.

При указанных выше порядках величин Воспользуемся критериями Раусапараметров и >1 все коэффициенты ak > 0.

Гурвица, которые для полинома четвертой Из (6), (7) следует, что механическая степени сводятся к условию [8] система имеет четыре пары комплексно 2 a5a6a7 a4a7 a5a8 0. (11) сопряженных собственных числа: 1,2 = Re(1,2) ip1, 3,4 = Re(3,4) ip2, 5,6 = Re(5,6) ip3, Далее подставляем сюда выражения (8) 7,8 = Re(7,8) ip4 [4, 5].

и после преобразований получаем:

Очевидно, что получение точных корней уравнения (6) невозможно. Для получения 2B 2 D 3nB41 D приближенных решений воспользуемся следующими особенностями рассматриваемой 2B задачи. Во-первых, учитывая порядки малости 2 1 D 3nB41 D 0.

безразмерных параметров (2), формулы для коэффициентов ak в (7) могут быть упрощены.

Здесь выражение во второй скобке Оставляя в них по два порядка малости, всегда положительно. Поэтому условие получаем упрощенные формулы:

устойчивости автобалансировки получаем в a0 1; a1 2B B0; a2 21 2;

следующем виде:

a3 2B 2B01 2; a4 2 1 ; (8) 2B02 1 D 3nB41 D a5 2B02 1 3nB4 ; a6 n 42 1;

или a7 nB042 1; a8 0,25n2281 D.

B0 2 4 1 D. (12) nB D 2 Во-вторых, в работах [4, 6] установлено, что спектр собственных частот колебаний делится на две заметно различные группы:

4.2 Вывод условия устойчивости на группа малых частот p1,2, соответствующих основе усеченного характеристического медленным колебаниям КМ в АБУ, и группа полинома пятой степени, которое имеет вид частот p3,4, соответствующих быстрым a35 a44 a53 a62 a7 a8 0. (13) движениям собственно ротора. Это же свойство характерно и для спектра Воспользуемся критериями Раусасобственных чисел системы на границах Гурвица для полинома (13). Численный анализ устойчивости. Таким образом, имеет место показал, что определяющее значение имеет неравенство определитель Гурвица наибольшего порядка.

Поэтому для нахождения приближенного 1-4 << 5-8. (9) решения будем исходить из условия При этом наибольший интерес a4 a6 a8 представляют малые собственные числа 1-системы, поскольку ими определяется область a3 a5 a7 0. (14) устойчивости автобалансировки (согласно 0 a4 a6 aчисленным расчетам при характерных 0 a3 a5 aдиапазонах значений параметров).

Далее подставляем сюда выражения (8). уточненную формулу для a5 в виде:

В ходе преобразований отбрасываем малые a5 2B02 1 n 23B2 B06 2. В слагаемые, оставляя в уравнении лишь этой формуле учтено дополнительное слагаемые двух порядков малости.

слагаемое, которое, как показали численные В результате получаем условие расчеты, может становиться соизмеримым с устойчивости в следующем виде:

другими слагаемыми даже при относительно B02 1 nB45 2 небольших.

или В результате получаем следующее условие устойчивости автобалансировки:

B0 45. (15) nB B02 1 j D n 42 11 j D k1 0, 2 Отметим, что полученное условие где устойчивости не зависит от параметра D.

6 4.3 Вывод уточненного условия k1 B 2B01 2 1 j D 3B B0.

устойчивости на основе усеченного 2 1 характеристического полинома пятой степени. или Недостатком вывода условия устойчивости (15) B0 4 1 j D. (16) является то, что он базировался не на всех nB D условиях Рауса-Гурвица (что существенно 22 усложняет задачу), а лишь на одном из них.

B0 1 B0 6 Для получения уточненного решения 1 2 1 j D 3.

B воспользуемся методом D-разбиения [7, 8], в B 2 котором используется тот факт, что на Здесь знак неравенства проставлен по границах устойчивости действительная часть аналогии с (12) и (15).

собственного числа Re() равна нулю. С Таким образом, получены аналитические учетом этого характеристический полином (13) условия устойчивости (12), (15) и (16). С их преобразуется в систему из двух уравнений:

помощью можно выполнять проверку 4 устойчивости режима автобалансировки при a4pm a6pm a8 0 ;

заданных параметрах и скорости вращения 4 a3pm a5pm a7 0, ротора, а также определять качественное и где pm = Im(). количественное влияние параметров на Исключив отсюда pm, получаем устойчивость.

Кроме того, из условий (12), (15) и (16) a8P2 a6PQ a4Q2 0, видно, что в них весьма отчетливо выделяется комплекс параметров nB / B0. В связи с этим где P a3a6 a4a5 ; Q a3a8 a4a7.

можно предположить, что полезным для Подставляя сюда коэффициенты a4, a6 и практики может быть использование a8 из (8), получаем выражение, которое можно комплексов E nmR Mr (ёмкость АБУ) и разложить на сомножители и представить в Ab nB B0 в качестве критериев подобия виде механических систем в отношении n 41 DP 2 1Q устойчивости автобалансировки. Иными словами, если две механические системы имеют одинаковые значения критериев n 41 DP 2 1Q 0.

подобия Ab и E, то и границы устойчивости автобалансировки К у этих систем в первом Учитывая, что выражения в скобках приближении также одинаковы.

отличаются только знаком перед одним из параметров, далее можно рассматривать 5. Вывод формул для наибольшей уравнение вида критической скорости вращения Общим недостатком условий (12), (15) и n 41 j DP 2 1Q 0, (16) является то, что они не позволяют в явном где j = +1 или -1.

виде определять наибольшую критическую Далее раскрываем величины P и Q и скорость вращения ротора К, выше которой подставляем формулы для оставшихся наступает надежная и эффективная коэффициентов из (8). Однако при этом с автобалансировка. Ниже получены явные целью снижения погрешности используем аналитические выражения для К.

Из условия устойчивости (12) 3 K 1 Ab k, (19) непосредственно вытекает следующая формула для критической скорости вращения: где k 4 7 4Ab 2 16Ab2 4Ab ;

K, (17) 2 1 D 1 j D 1 Ab K 1 Ab ka, (20) D j D nB где где Ab.

B 2B0 2B0 1 j D Из условий устойчивости (15) и (16) ka 1 1 j D Ab B B получим приближенные формулы для j D наибольшей критической скорости вращения 5 B0 К методом итераций (последовательных j D 5 j D.

2 B приближений). Отметим, что в данном случае применение широко используемого метода В полученных формулах слагаемые малого параметра дает более громоздкие и расположены в порядке убывания их менее точные формулы. Это связано с тем, что значимости, некоторые малые слагаемые в К может существенно отличаться от ходе преобразований были отброшены.

порождающего (начального) решения при Отметим следующую особенность малом параметре, равным нулю. Физическая применения формулы (20). Эта формула дает два значения критической скорости: при j = +1 и причина этого заключается в качественном при j = -1. В качестве результата следует брать изменении характера движения ротора после введения в него малых КМ АБУ. наибольшее значение критической скорости К.

Выражения в (15) и (16) представляют Физической причиной этой особенности собой кубические уравнения относительно К2. является то, что потеря устойчивости автобалансировки может происходить по Поэтому в общем виде уравнения для К могут различным формам собственных колебаний КМ быть записаны следующим образом:

в АБУ (см. работу [6]).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.