WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Складні системи і процеси № 2, 2002 СКЛАДНІ ФІЗИЧНІ СИСТЕМИ І ПРОЦЕСИ СКЛАДНІ ФІЗИЧНІ СИСТЕМИ І ПРОЦЕСИ УДК 539.67:669.293 МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СКЛАДНИХ СПЕКТРІВ ВНУТРІШНЬОГО ТЕРТЯ Бахрушин В.Є.1, Чиріков О.Ю.2 1 Гуманітарний університет "ЗІДМУ", 2Бердянський інститут підприємництва У статті розглянуто методику побудови математичних моделей складних спектрів. Показано можливість застосування процедури пошуку розв’язку електронних таблиць MS Excel для визначення параметрів моделей. Сформульовано гіпотезу про можливі критерії адекватності моделей.

В статье рассматривается методика построения математических моделей сложных спектров. Показана возможность использования электронных таблиц MS Excel для определения параметров моделей. Сформулирована гипотеза про возможные критерии адекватности моделей.

Methodic of complex spectra mathematics models construction is discussed. It is shown the possibility of MS Excel electronic tables application for the definition of models parameters. Hypothesis of possible model adequacy criteria is formulated.

Задача аналізу складних спектрів є акту- та завданням моделювання, тому у різних альною проблемою у багатьох прикладних випадках слід застосовувати різні критерії.

дослідженнях [1-3]. Зокрема, при аналізі Іншою проблемою є те, що цільовий релаксаційних спектрів внутрішнього тер- функціонал, який мінімізується при підборі тя, у рентгеноструктурному та рентгено- параметрів моделі, не є унімодальним. Зокспектральному аналізі часто виникає про- рема, у випадку, коли математична модель блема розкладання емпіричної кривої, що є спектру чи складного розподілу обирається сумою однотипних максимумів, які опису- у вигляді суми n однотипних функцій, що ються однаковими математичними вираза- розрізняються лише параметрами, кількість ми але розрізняються за параметрами, на його мінімумів через симетрію відносно окремі максимуми. У соціально- зміни нумерації складових не може бути економічному аналізі часто виникає близь- меншою за величину n!. Крім того, статиска за математичною постановкою задача тичні критерії адекватності моделі виконувиділення у системі, що характеризується ються зазвичай не тільки в точках екстресумішшю однотипно розподілених параме- мумів, але також і у деяких околах цих тотрів, складових, що характеризуються од- чок. Тому виникає проблема побудови сиснотипними простими функціями розподілу. теми критеріїв, яка б містила основний та При побудові і аналізі математичних додаткові критерії адекватності. Такими моделей складних спектрів та розподілів критеріями можуть бути, наприклад, хараквиникає низка проблем, які залишаються тер зміни (зростання чи згасання) вихідних невирішеними. параметрів при заданих малих змінах вхідПершою проблемою є обрання критеріїв них параметрів моделі, незначна зміна виадекватності одержуваних моделей. Зви- хідних параметрів при малих змінах вхідчайні критерії, що використовуються у ре- них тощо.

гресійному аналізі, не завжди є придатни- Метою даної роботи було визначення ми. Проблема полягає у тому, що обрання критеріїв адекватності математичних модекритеріїв адекватності має відповідати меті лей складних спектрів та сумішей розподі Складні системи і процеси № 2, лів випадкових величин, що мають вигляд вують математичну модель (1, 2), параметсуми невизначеного числа однотипних фу- ри якої визначають на основі критерію:

нкцій, які мають вигляд симетричних піків, m з невідомими параметрами. Більш детально S = (Q-1 - Q-1(Tj)) = min, (3) j ця проблема була досліджена нами для заj=дачі аналізу складних релаксаційних спектрів внутрішнього тертя твердих розчинів проникнення на основі ОЦК металів.

де Q-1 - експериментальне значення внутj У загальному випадку релаксаційний рішнього тертя при температурі Tj, спектр внутрішнього тертя твердого розчиQ-1(Tj) - значення, яке розраховане для тіну впровадження в області релаксації Снука може бути описаний [3] такою матемаєї ж температури на основі моделі (1, 2), m тичною моделлю:

– кількість емпіричних точок. Для знаходження параметрів, що задовольняють умоEf ві (3) найчастіше використовують лінійний -Q-1 = Qf exp- + або нелінійний метод найменших квадраRT (1) тів, а також ітераційні процедури. Приклаn Ei 1 -ди реалізації таких методів наведені в робо + Q0i cosh-1 - R T T0i, тах [3 - 7]. Найбільш поширеною є ітера i= ційна процедура пошуку мінімуму функціоналу (3), за якою на кожному кроці черго-де Qf - передекспонентний множник фове наближення визначають за допомогою ну, n – кількість елементарних дебаївських лінійного методу найменших квадратів [7].

піків, що накладаються, Ef – енергія актиЗа своєю сутністю вона еквівалентна виковації фону, R – універсальна газова стала, n ристанню методу найшвидшого спуску і -має властиві цьому методу переваги й не– кількість елементарних піків, Q0i - висодоліки. Серед останніх слід вказати на пота і-го елементарного піка, Ei – енергія акгану збіжність у випадку яружних функціотивації цього піка, T0i – його температура.

налів [8], до яких звичайно відноситься й Для твердих розчинів впровадження на осфункціонал (3).

нові ОЦК металів фоновою складовою звиЗагальною проблемою, яка виникає при чайно можна зневажати, оскільки висоти аналізі релаксаційних спектрів, є визначеносновних піків суттєво перевищують рівень ня адекватності обраної моделі та оцінка фону.

довірчого інтервалу для отриманих значень У випадках, коли піки, що накладаютьїї параметрів. Умова (3) не може бути обрася, зумовлені релаксацією домішок впрованою як такий критерій, оскільки із збільдження у розбавлених твердих розчинах, шенням кількості піків, на які розкладають енергія активації максимуму пов’язана з спектр, що аналізують, можна отримати як його температурою формулою Вертазавгодно мале значення S.

Маркса [3]:

Таким критерієм може бути відхилення відношення середньоквадратичного відхиkT0i Ei = RT0i ln, (2) лення емпіричних точок від моделі до сереhf дньоквадратичної похибки експерименту від значення критерію Фішера для заданих де k – стала Больцмана, f – частота колирівня значущості та числа ступенів вільносвань зразка.

ті [9, 10]. Теоретично він дозволяє обмежиОсновною проблемою аналізу складних ти кількість піків в моделі не тільки знизу, спектрів є визначення кількості та параметале також і зверху. Проте у практиці для рів елементарних піків за експериментальскладних спектрів швидкість зменшення ною залежністю внутрішнього тертя від тевеличини S із зростанням кількості піків, на мператури. Зазвичай для цього використоякі розкладається спектр, є малою. Тому в Складні системи і процеси № 2, багатьох випадках використання цього кри- Традиційні методи аналізу складних ретерію не дозволяє визначити реальну кіль- лаксаційних спектрів були розроблені у той кість піків з точністю, яка потрібна для по- час, коли можливості їх комп’ютерної реадальшого використання результатів моде- лізації були набагато гіршими, ніж сьоголювання. дні. Сучасні пакети прикладного програмПри обранні критеріїв адекватності мо- ного забезпечення дозволяють використоделі слід враховувати цілі моделювання. вувати для аналізу спектрів процедури та Типовими задачами, для яких використо- методи нелінійної оптимізації, що надає вують результати вивчення релаксаційних можливість варіювати у широких межах як спектрів, є визначення загального рівня за- постановку задачі аналізу спектрів, так і гасання для досліджуваного матеріалу в за- вибір алгоритмів її розв’язування. Ідея заданих діапазонах температур і частот; до- стосування таких методів у задачах аналізу слідження параметрів взаємодії домішок складних спектрів виникла вже давно [1, 2, впровадження зі структурними дефектами 11, 12], але тільки сьогодні вони починають та іншими домішками; дослідження проце- широко використовуватися у практиці.

сів розпаду твердих розчинів тощо. Вихо- Нами була досліджена можливість видячи з цих завдань, можна сформулювати користання вбудованої процедури пошуку суттєво різні цілі аналізу релаксаційних розв’язку електронних таблиць MS Excel спектрів. У різних випадках такими цілями для вирішення задачі аналізу складних реможуть бути найбільш точне відновлюван- лаксаційних спектрів внутрішнього тертя.

ня форми спектра для заданого матеріалу Процедура надає можливість застосування при заданих умовах; найбільш точне визна- за вибором дослідника двох методів чисечення параметрів елементарних релакса- льного розв’язування задач нелінійної багаційних процесів та піків, що їм відповіда- токритеріальної оптимізації, а саме одного ють; прогнозування зміни форми спектра з квазиньютонівських методів та методу при заданої зміні умов його вимірювання спряжених градієнтів. Теорія цих методів чи параметрів матеріалу тощо. Зрозуміло, наведена у багатьох літературних джерещо критерії адекватності, які відповідають лах, зокрема у роботах [11-15]. В обох вирізним цілям моделювання, мають бути рі- падках ставиться задача знаходження локазними. льного екстремуму функції багатьох змінІнша загальна проблема полягає у тому, них. При цьому на значення змінних мощо в загальному випадку функціонал S має жуть накладатися деякі обмеження. Макдекілька мінімумів. Тому виникає додатко- симальні припустимі кількості змінних та ва задача обрання того з них, який най- обмежень становлять 50-60 [13]. З точки більш відповідає прийнятому критерію зору потрібних ресурсів різниця між метоадекватності моделі. Якщо метою моделю- дами полягає у тому, що метод Ньютона вання є відновлення форми спектра, то, як швидше збігається, але потребує більшої правило, необхідно шукати глобальний мі- пам’яті. Для типових задач аналізу складнімум цього функціоналу. Але в інших ви- них релаксаційних спектрів кількість елепадках один з локальних мінімумів може ментарних піків у спектрі не перевищує 10забезпечити кращу відповідність обраної 12, кількість невідомих параметрів для косукупності критеріїв адекватності. жного піку – 2-4. Кількість обмежень доріСпецифічними проблемами, які вини- внює загальній кількості параметрів (викокають при використанні методу найменших ристовується тільки одне обмеження для квадратів, є необхідність забезпечення не- кожного параметру – він має бути невід’ємних значень параметрів моделі і нері- від’ємним). Тому можна зробити висновок, вноточність експериментальних даних. Це що з погляду розмірності задачі процедура веде до необхідності суттєвого ускладнення пошуку розв’язку електронних таблиць алгоритмів реалізації методу або до збіль- MS Excel є придатною для аналізу складшення імовірності отримання помилкових них релаксаційних спектрів. Обидва методи результатів аналізу. відносяться до групи градієнтних методів і Складні системи і процеси № 2, мають спільні для цих методів переваги й Після цього на робочому аркуші форнедоліки [15]. Головною їх перевагою є мують n + 4 стовпця, до яких вносять такі можливість побудови ефективних процедур дані: температура Tj, експериментальне обчислювань для відносно простих задач -значення Q-1, значення Qi (Tj), що відj оптимізації (для достатньо гладких опуклих повідає вкладу і-го релаксаційного процесу функцій). Головним недоліком цих методів в загасання при температурі Tj, теоретичне є різке зменшення швидкості збігання для погано обумовлених задач. Розроблені базначення Q-1(Tj), Sj – квадрат відхилення гато модифікацій вказаних методів, які дотеоретичного значення від експериментазволяють використовувати їх для деяких льного при температурі Tj. Крім того, до вітипів погано обумовлених задач. Проте в льних полів робочого аркуша заносять знадовідковому файлі електронних таблиць чення сталих параметрів R, k, h, f. ЗначенMS Excel і довідкової літературі немає віня Tj, Q-1 уводять безпосередньо, викоридомостей про те, яка саме модифікація та j які алгоритми використовуються у цих табстовуючи емпіричні дані. До комірок, прилицях. Тому відповідь на запитання про -значених для значень Qi (Tj), уводять фоможливість їх використання у конкретному рмулу випадку може бути отримана лише шляхом проведення обчислювальних експериментів.

Ei 1 -1 - Нами була розроблена така схема вико- Qi (Tj) = Q0i cosh-1 -.

R Tj T0i ристання процедури пошуку розв’язку для вирішення задачі аналізу складного релаксаційного спектра.

Як значення відхилень до відповідних Спочатку обирають кількість n елеменкомірок уводять величини тарних піків, на які буде розкладатися експериментальний спектр. Потім формують Sj =[Q-1 - Q-1(Tj)].

j таблицю розміром 3n, у рядки якої вводять температуру, енергію активації та висоту і-го елементарного піка. Початкові До окремої комірки, що використовузначення температур і висот піків можуть ється як цільова, уводять суму квадратів бути задані довільно у межах деякого діавідхилень теоретичних значень від експепазону. Як показали результати виконаних риментальних обчислювальних експериментів, початкові температури піків доцільно обирати в ме- m S =.

Sj жах того інтервалу температур, для якого є j=емпіричні дані. При виході за межи цього діапазону виникає ймовірність отримання Процедура пошуку розв’язку дозволяє результатів, що не мають фізичного змісту визначити найкращі з погляду мінімуму вевнаслідок накопичення похибок, які не вра-ховуються при розрахунку значення параличини S значення параметрів T0i, Q0i.

метру S. Більш детально питання про вплив Для реалізації цієї процедури необхідно завибору початкового наближення на резульдати в діалоговому вікні посилання на цітати моделювання буде розглянуте нижче.

льову комірку та комірки, де знаходяться Початкові значення висот піків, як показу-значення параметрів T0i, Q0i, а також вкають результати обчислювальних експериментів, не впливають на результати аналізу.

зати, що шукають мінімум величини, яка Значення енергій активації елементарних знаходиться у цільовій комірці. У діалогопіків можуть бути задані шляхом введення вому вікні параметрів процедури необхідно формули (2) у відповідні комірки таблиці.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.