WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2002. Том 43, № 6 УДК 517.958 МЕТОД ГЛАДКИХ ОБЛАСТЕЙ В ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСИИ ПЛАСТИНЫ С ТРЕЩИНОЙ А. М. Хлуднев Аннотация: Рассматривается краевая задача со свободной границей, описывающая равновесие упругой пластины с трещиной. Предполагается, что на берегах трещины заданы краевые условия взаимного непроникания, имеющие вид системы равенств и неравенств. Предлагается новый подход к формулировке рассматриваемой задачи, позволяющий формулировать ее в гладкой области, несмотря на то, что изначально она сформулирована в области с разрезами. При этом заданные на берегах трещины ограничения на компоненты вектора перемещений и тензора напряжений рассматриваются как внутренние ограничения, т. е. заданные на подмножествах гладкой области определения решения.

Ключевые слова: пластина, негладкая область, краевая задача, трещина В работе предлагается новый подход к формулировке задачи о равновесии упругой пластины, содержащей трещину с условиями взаимного непроникания берегов. Подход позволяет формулировать исходную задачу в гладкой области, несмотря на то, что изначально она сформулирована в области с разрезами.

Как известно, традиционный подход к задаче равновесия пластины с трещиной характеризуется тем, что условия взаимного непроникания, задаваемые на берегах трещины, формулируются в терминах компонент вектора перемещений.

При этом задача допускает вариационную формулировку и соответствует минимуму функционала энергии на выпуклом множестве всех допустимых перемещений. Граничные условия на компоненты тензора напряжений являются естественными при такой формулировке. Они могут быть найдены непосредственно из вариационного неравенства. В данной работе мы предлагаем другой подход к задаче, суть которого состоит в том, что вводится в рассмотрение множество всех допустимых напряжений, а условия непроникания для перемещений являются следствием уравнений и неравенств, образующих математическую модель.

В соответствии с принятой в настоящее время терминологией такую формулировку задачи называют смешанной. Для областей с гладкими границами и обычными краевыми условиями смешанные формулировки достаточно хорошо исследованы. Особенность краевой задачи, рассматриваемой в данной работе, заключается в том, что краевые условия на негладких компонентах границы имеют вид системы уравнений и неравенств. Как оказалось, предлагаемая в работе смешанная формулировка весьма полезна при обосновании метода гладких областей для рассматриваемого класса задач. Метод гладких областей в Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 00–01–00842) и гранта Министерства образования в области фундаментального естествознания (2000.4.19).

© 2002 Хлуднев А. М.

Метод гладких областей теории трещин состоит в том, чтобы искомые функции определялись в области без разрезов. В этом случае заданные на берегах трещины ограничения на компоненты вектора перемещений и тензора напряжений рассматриваются как внутренние ограничения, т. е. заданные на подмножествах гладкой области определения решения. В работе даются и обосновываются смешанная формулировка задачи и метод гладких областей для проблемы равновесия упругой пластины, содержащей трещину с условиями взаимного непроникания берегов.

Смешанные формулировки краевых задач для эллиптических уравнений в гладких областях анализируются в [1]. В данной работе исследуется краевая задача в области с негладкой границей. Более того, рассматриваемая задача относится к классу задач со свободной границей. В частности, конкретное краевое условие в данной точке определяется лишь после решения всей задачи в целом. В этом случае говорят, что краевое условие обеспечивает возможность контакта берегов. В классической математической теории трещин, для которой характерны негладкие границы, краевые условия на берегах трещины задаются заранее и имеют вид равенств. По этому поводу можно обратиться к [2–6].

Что же касается математической теории трещин с возможным контактом берегов, то читатель может найти это в [7, 8]. Широкий класс других задач с ограничениями на решение имеется в работах [9, 10].

1. Вариационная формулировка Пусть R2 ограниченная область с гладкой границей, а c гладкая кривая без самопересечений. Будем предполагать, что кривая c может быть продолжена до замкнутой кривой без самопересечений класса C1,1 так, что разбивается при этом на две подобласти 1, 2. Границей области будет служить кривая, внешнюю нормаль к которой обозначим через, а границей области 2 служит. Считаем, что c не содержит концевых точек, т. е. c = c \ c. Пусть также c = \ c. Проблема равновесия упругой пластины, содержащей трещину с условиями взаимного непроникания берегов, формулируется следующим образом [7]. В области c требуется найти такие функции u = (u1, u2), w, = {ij}, m = {mij}, i, j = 1, 2, что - div = F в c, (1) -m = f в c, (2) C - (u) = 0 в c, (3) Dm + w = 0 в c, (4) w u = w = = 0 на, (5) n w, [] = 0, [m] = 0 на c, [u] (6) w |m| -, [u] - m = 0 на c, (7) = 0, t(m) = 0 на ±. (8) c Здесь [v] = v+ - v- скачок функции v на c, а знаки ± соответствуют положительному и отрицательному направлениям нормали ; F = (F1, F2);

1390 А. М. Хлуднев f, Fi L2() заданные функции, i = 1, 2, u = u ·, m = mij,ij, = ijji, = - ·, i = i=1, = {ijj}2, w = {w }2,,ij i=1 i,j=ij(u) = (ui,j + uj,i), (u) = {ij(u)}2, i,j=t(m) = mij,jj + mij,kkji, (1, 2) = (-2, 1).

Тензор C удовлетворяет условиям симметрии и положительной определенности {C}ij = cijklkl, cijkl = cjikl = cklij, cijkl L(), cijkljikl c0||2, ji = ij, c0 > 0. Аналогичным условиям удовлетворяет и тензор D, {Dm}ij = dijklmkl, i, j = 1, 2. Все величины с двумя нижними индексами предполагаются симметричными по этим индексам, т. е. ij = ji и т. д. Добавим, что (1), (2) суть уравнения равновесия, а (3), (4) представляют собой уравнения состояния.

Краевое условие (5) соответствует жесткому защемлению пластины на внешней границе, а (6)–(8) описывают условия взаимного непроникания берегов + и -. Физический смысл функций, входящих в уравнения (1)–(4), следуc c ющий: u горизонтальные перемещения точек пластины, w вертикальные перемещения, тензор напряжений, m тензор моментов, F, f заданные внешние нагрузки.

Для того чтобы дать вариационную формулировку задачи (1)–(8), введем пространства Соболева H1,0(c) = {v H1(c) | v = 0 на }, v H2,0(c) = v H2(c) | v = = 0 на.

n Здесь n внешняя нормаль к.

Выпуклое множество допустимых перемещений определяется следующим образом:

w K = (u, w) [H1,0(c)]2 H2,0(c) | [u] п. в. на c.

Можно решить задачу минимизации:

1 min ((u), (u)) - (m(w), w) - (F, u) - (f, w), c c c c (u,w)K 2 которая эквивалентна вариационному неравенству (u, w) K, ((u), ( - u)) - (m(w), w - w) c c (F, - u) + (f, w - w) (, w) K. (9) c c Здесь (·, ·) скалярное произведение в L2(c), а (u) =, m(w) = m опреc деляются из (3), (4). Для простоты здесь и далее мы используем одно и то же обозначение для пространств L2(c), [L2(c)]2, [L2(c)]4. Множество K замкнуто (и, следовательно, слабо замкнуто) в пространстве [H1,0(c)]2 H2,0(c), а минимизируемый функционал коэрцитивен и слабо полунепрерывен снизу. По этому задача (9) имеет решение (см. [7]). Ясно, что, выбирая (, w) C0 (c), из (9) получаем уравнения равновесия (1), (2), выполненные в смысле обобщенных функций. В следующем разделе мы обсудим, в каком смысле выполнены краевые условия (6)–(8). Отметим также, что решение вариационного неравенства (9) будет единственным.

Метод гладких областей 2. Смешанная формулировка Рассмотрим пространство функций H(c) = {(, m) | = {ij}, m = {mij};, div L2(c), m, m L2(c)} с нормой (, m) 2 = 2 + div 2 + m 2 + m H(c) L2(c) L2(c) L2(c) L2(c) и введем множество допустимых напряжений и моментов K(c) = (, m) H(c) | [] = [m] = [t(m)] = 0 на c;

|m| -, = 0, t(m) = 0 на ±.

c i Введем также пространства H (), i = 1, 3, с нормами |(x) - (y)| 2 = 2 + dxdy, L2() H () |x - y| |(x) - (y)| 2 = 2 + dxdy.

H1() H () |x - y| 1 3 1 Обозначим через H- 2 2 (), H- () пространства, сопряженные к H (), H () соответственно. Отметим, что для (, m) H(c) можно определить следы ()±, m± на как элементы пространства H- (), при этом операторы взятия i следа непрерывны. Кроме того, можно определить ()±, ( )± H- (), i = 1, 2, t(m)± H- (), так что справедливы формулы Грина [7, 11] - (div, v) = -(, (v)) +, v 1 +, v 1 v = (v1, v2) H1(1), (10) 1 2 w (w, m) = (w, m) + t(m)-, w 3 - m-, w H2(1), (11) 1 где скобки ·, · 1, ·, · 3 обозначают двойственность между пространствами 2 1 1 3 H- 2 (), H () и H- 2 (), H () соответственно.

Формулы, аналогичные (10), (11), имеют место и для области 2. В этом случае граница области 2 состоит из компонент и.

Поясним, как понимаются краевые условия для, m в определении множества K(c). Нулевые скачки для, m, t(m) означают, что ()+ - ()-, 1 = 0 = (1, 2) H (), m+ - m-, = 0 H (), t(m)+ - t(m)-, 3 = 0 H ().

+ Из совпадения функционалов ()+ и ()- получаем также равенства = - +, =. Неравенство |m| - выполнено в следующем смысле:

± ± m±, 0 H (), 0 п. в. на c, supp c. (12) ± При m± = 0 из (12), в частности, следует, что 0 на c.

1392 А. М. Хлуднев Наконец, равенства = 0, t(m) = 0 в определении множества K(c) выполняются в следующем смысле:

±, = 0 = (1, 2) H (), ii = 0 п. в. на c, supp c, (13) t(m)±, 3 = 0 H (), supp c. (14) Легко видеть, что множество K(c) является выпуклым. Непрерывность операторов взятия следа обеспечивает его замкнутость в пространстве H(c). Отсюда, в частности, вытекает, что K(c) будет слабо замкнутым.

Важно отметить, что во всех приведенных выше формулах кривая может быть выбрана произвольно с точностью до наложенных на нее требований.

Сформулированные краевые условия для, m в определении множества K(c) в точности соответствуют краевым условиям, вытекающим из (9) для решения = (u), m = m(w), т. е. каждое из выписанных выше соотношений для, m аналогично соотношению для (u), m(w), которое можно вывести из вариационного неравенства (9).

Отметим также, что в соотношениях (12) в качестве пробных функций можно выбирать, где продолжение нулем на функций из пространства 1 2 H00(c), 0 п. в. на c. Норма в H00(c) определяется следующим образом:

2 = 2 + -12, 1 2 H (c) H00(c) c где (x) = dist(x, c). Известно, что H00(c) тогда и только тогда, когда H () (см. [7, 12]). Такая же ситуация и в соотношениях (13), где в качестве пробных функций можно выбирать = (1, 2), i H00(c), ii = 0 п. в.

на c. Аналогично в соотношениях (14) в качестве пробных функций можно выбирать, где продолжение нулем на функций из пространства 3 2 H00(c). Норму в пространстве H00(c) можно определить формулой 2 = 2 + -1||2.

3 2 H (c) H00(c) c Теперь мы в состоянии привести смешанную формулировку задачи (1)–(8).

Требуется найти функции u = (u1, u2), w, = {ij}, m = {mij} такие, что u = (u1, u2) L2(c), w L2(c), (, m) K(c), (15) - div = F в c, (16) -m = f в c, (17) (u, div - div ) + (w, m - m) c c + (C, - ) + (Dm, m - m) 0 (, m) K(c). (18) c c Неравенство (18) можно получить, умножая (3), (4) на -, m-m соответствен но, (, m) K(c), и интегрируя по c с использованием формул Грина вида (10), (11). С другой стороны, из (18) следуют уравнения (3), (4). Для этого достаточно в (18) в качестве пробных функций выбрать (, m) = (, m)+(, m), где Метод гладких областей (, m) C0 (c). Кроме того, соотношения (15)–(18) содержат в себе все крае вые условия (5)–(8). Для проверки этого утверждения достаточно убедиться в справедливости (5), первого неравенства (6) и второго соотношения (7). Условия (5) сразу вытекают из (18) в силу того, что функции (, m) произвольны на.

Проверим справедливость первого неравенства (6) и второго соотношения (7). Разбивая область c на подобласти 1, 2 так, как указано в начале разд. 1, и используя формулы Грина вида (10), (11) для областей 1, 2, интегрированием по частям из (18) получаем w - ( - )[u] - [t(m - m)w] + (m - m) + (C - (u), - ) + (Dm + w, m - m) 0. (19) c c Второй интеграл по границе здесь равен нулю в силу определения K(c).

Как мы уже отметили, уравнения состояния (3), (4) выполнены в c, поэтому интегралы по c здесь также обращаются в нуль. Таким образом, из (19) следует, что w ( - )[u] - (m - m) 0 (, m) K(c). (20) Возьмем в (20) сначала (, m) = 0, а затем (, m) = 2(, m). Это приведет к соотношению w [u] - m = 0. (21) Поэтому из (20) вытекает, что w [u] - m 0 (, m) K(c).

Выбирая здесь m = ± получим, w [u] ± 0. (22) w Так как 0 на c и [u] = [ ] = 0 на \ c, из (22) заключаем, что w [u] на c, (23) т. е. выполнено первое неравенство (6). Далее, из (23) и неравенства |m| находим, что подынтегральное выражение в (21) неположительно и, следовательно, w [u] - m = 0 на c, (24) т. е. выполнено и второе соотношение (7). Таким образом, предыдущие рассуждения показывают, что формально, т. е. в предположении достаточной регулярности решения, формулировки (1)–(8) и (15)–(18) эквивалентны. В то же время мы должны иметь в виду, что формулировка (15)–(18) точна в том смысле, что 1394 А. М. Хлуднев мы указываем классы функций, в которых следует искать решение этой задачи. Отметим здесь, что множество K(c) описывает лишь ограничения на, m, так что первое соотношение (6) и второе соотношение (7), включающие функции u, w,, m, можно рассматривать как естественные условия, содержащиеся в (18)–(21). В то же время если говорить о вариационной формулировке (9), то там ситуация полностью противоположна. Множество K описывает лишь первое неравенство (6), т. е. лишь ограничение на u, w, поэтому все остальные соотношения (6)–(8), включающие u, w,, m, надо рассматривать как следствие справедливости вариационного неравенства (9).

Целью дальнейших рассуждений является доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Существует единственное решение задачи (15)–(18).

Доказательство. Для доказательства существования решения нам понадобится функция (0, m0) K(c), компоненты которой удовлетворяют уравнениям - div 0 = F, -m0 = f в c.

Такая функция может быть найдена из вариационного неравенства (9) с произвольными уравнениями состояния вида (3), (4) (естественно, удовлетворяющими требованиям, наложенным на тензоры C, D). Более того, в действительности, решая вариационное неравенство (9), можно получить теорему существования решения задачи (15)–(18) как эквивалентной задачи. Однако здесь мы даем прямое доказательство существования решения задачи (15)–(18) как представляющее самостоятельный интерес. Далее эта же схема будет использоваться при анализе задачи о равновесии пластины, содержащей трещину, сформулированной в гладкой области, т. е. при анализе метода гладких областей.

Общая схема доказательства существования решения будет следующая.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.