WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

1/2, 1 1/2, 1358 В. Д. Степанов, А. М. Хлуднев Из этого соотношения следует равенство + 00 - u a u - a, (u)+ +, (u)- =0.

1/2, 1/2, В силу (27) его можно переписать в виде u a, [u] =0, 1/2, откуда, в частности, будем иметь u a, [u] =0. (29) 1/2, c Здесь мы используем очевидное равенство [u] =0 на \. Соотношение (29) c дает точную интерпретацию последнего краевого условия (8).

3. Вспомогательные задачи в гладкой области В этом разделе мы приведем эквивалентную формулировку краевой задачи (6)–(8), при которой решение будет определено в гладкой области, не содержащей разрезов. Напомним, что = c. Фактически на первом c этапе мы дадим еще одну эквивалентную формулировку задачи (6)–(8), которая по современной терминологии будет называться смешанной [13]. Решение при этом будет определяться в области с разрезом в более широком пространстве функций. Таким образом, метод фиктивных областей будет допускать три эквивалентные формулировки, относящиеся как к области c, так и области.

Введем пространство функций Mc = {p =(p1, p2) | p L2( c), div p L2( c)} с нормой p 2 = p 2 + div p Mc L2( c) L2( c) и определим выпуклое множество допустимых векторов напряжений ± Nc = p Mc | [p] =0 на c; p 0 на c.

Формулу Грина (25) при = aw можно переписать в виде - div · v = · v - n, v 1/2,, i =1, 2, i i i причем она будет справедлива для всех, div L2( i), v H1( i), при этом n H-1/2( i), i =1, 2. В частности, для функций p Mc можно определить значения p на i как элементы пространства H-1/2( i). Тогда p =(p)± -1/H00 ( ). Здесь функционал (p)+ получается как ограничение функционала p H-1/2( 1) на, а (p)- как ограничение функционала p H-1/2( 2) ± на. Граничные условия [p] =0 на c, p 0 на c в определении множества Nc понимаются следующим образом:

-1/(p)+ =(p)- в смысле H00 ( ), (30) Метод фиктивных областей -1/p =(p)± 0 в смысле H00 ( c). (31) Введем обозначение a-1 в 1, b =(a)-1 = a-1 в 2.

Теперь мы в состоянии привести так называемую смешанную формулировку краевой задачи (6)–(8). Пусть p = au. Тогда задачу (6)–(8) можно переписать в следующем виде:

- div p = f в c, (32) bp = u в c, (33) u =0 на, (34) [u] 0, [p] =0, p 0, [u] · p =0 на c. (35) Задача (32)–(35) допускает формулировку в виде вариационного неравенства.

При этом в отличие от формулировки (9) ограничения типа неравенства на границе будут налагаться лишь на p. В этом случае краевые условия, содержащие u, будут являться следствием указанного вариационного неравенства.

А именно, требуется найти функции u, p = p, p такие, что 1 u L2( c), p Nc, (36) - div p = f в c, (37) bp( - p) + u(div p - div p) 0 p Nc. (38) p c c Формулировки (32)–(35) и (36)–(38) являются формально эквивалентными.

Из (38) немедленно вытекает (33), если выбрать p = p±p, p C0 ( c). Краевые условия для u получим из (37)–(38) после применения формулы Грина вида w · div p = - w · p + w · pn + w · p - w · p. (39) - + c c c c Здесь n внешняя нормаль к. С другой стороны, соотношения (36)–(38) следуют из (32)–(35) после умножения (33) на p - p и интегрирования по c с использованием формулы Грина вида (39).

Можно доказать, что существует решение задачи (36)–(38) при каждом фиксированном >0. Сделать это можно, например, с помощью рассмотрения регуляризованной задачи с положительным параметром, получения априорных оценок, равномерных по, и перехода к пределу при 0. Регуляризованная задача отличается от (36)–(38) тем, что уравнение (37) заменяется на u - div p = f в c. (40) Мы опустим подробности, отсылая читателя к [14], где можно найти соответствующие рассуждения в близкой ситуации.

Заметим теперь, что, в силу (37) и краевого условия [p] =0 на c, выполненного в смысле (30), уравнение (37) будет выполнено в смысле обобщенных функций и в гладкой области. Действительно, во-первых, заметим, что согласно (37) справедливы уравнения - div p = f в i, i =1, 2.

1360 В. Д. Степанов, А. М. Хлуднев Доопределяя произвольным образом функцию p на c, рассмотрим распределение div p + f в. Скобками ·, будем обозначать действие распределения на элементе C0 ( ). Итак, пусть C0 ( ) произвольная функция.

Имеем div p + f, = - p - p + f 1 = [p], 00 + (div p + f) + (div p + f) =0, 1/2, 1 что и требовалось.

Теперь мы можем сформулировать задачу (36)–(38) в эквивалентном виде, при котором решение ищется в гладкой области. Введем обозначения M = {p =(p1, p2) | p L2( ), div p L2( )}, Nc = {p M | p 0 на c}.

Норма в пространстве M определена формулой p 2 = p 2 + div p 2, M L2( ) L2( ) а краевое условие в определении множества Nc понимается следующим образом:

-1/2 1/p H00 ( c), p, 00 0 H00 ( c), 0.

1/2, c Итак, задачу (36)–(38) можно записать в таком виде. Найти функции u, p = p, p такие, что 1 u L2( ), p Nc, (41) - div p = f в, (42) bp( - p) + u(div p - div p) 0 p Nc. (43) p Разрешимость краевой задачи (41)–(43) можно доказать так же, как и разрешимость задачи (36)–(38) с помощью регуляризации вида (40).

Таким образом, в гладкой области построена краевая задача (41)–(43), которую можно рассматривать как аппроксимацию задачи Синьорини (1)–(3), заданной в области 1, 1.

Как и в случае задачи (6)–(8), можно показать, что решение u, p задачи (41)–(43) будет сходиться в подходящем смысле к решению задачи Синьорини.

Обоснуем это утверждение. Выберем произвольную функцию p такую, что p Nc, - div p = f в.

Умножим (42) на u и проинтегрируем по. Одновременно выберем p = p в (43). После сложения полученных таким образом соотношений найдем bp · p bp · p, откуда следует равномерная по оценка bp L2 c. (44) ( ) Метод фиктивных областей В то же время, выбирая p = p ± p, p C0 ( c), из (43) получаем, что в смысле распределений выполнено соотношение bp = u в c. (45) Так как u L2( ), из (44), (45) заключаем, что u H1( c). С другой стороны, из (43) вытекает равенство u =0 на, что, в свою очередь, из (44), (45) с учетом неравенства Пуанкаре влечет оценку u H1 c (46) ( c) с постоянной c, не зависящей от. Более того, из (45) получаем соотношение a-1p = u в 2, (47) так что согласно (44), (46), (47) можно считать, что при u u сильно в L2( c), слабо в H1( c), u 0 сильно в H1( 2), (48) p p слабо в L2( 1), p 0 сильно в L2( 2).

На основе (48) перейдем к пределу при 0 в (41)–(43) с выбранной фиксированной функцией p Nc такой, что p 0 в 2. Получим u L2( 1), p Z, (49) - div p = f в 1, (50) a-1p( - p) + u(div p - div p) 0 p Z. (51) p 1 Здесь Z = {p =(p1, p2) | p, div p L2( 1), p 0 на c}. (52) Таким образом, задача (49)–(51) является предельной для (41)–(43). В то же время задача (49)–(51) в точности соответствует смешанной формулировке краевой задачи Синьорини. Действительно, обозначив p = au, перепишем (1)–(3) в следующем виде:

- div p = f в 1, (53) a-1p = u в 1, (54) u =0 на 0, (55) u 0, p 0, u · p =0 на c. (56) Выбирая p Z и умножая (54) на p p с последующим интегрированием по 1, с учетом (55)–(56) получим в точности (51).

Отметим также, что аналогично задаче (41)–(43) в (36)–(38) также можно осуществить предельный переход при 0. Предельная задача по-прежнему будет совпадать с (49)–(51).

1362 В. Д. Степанов, А. М. Хлуднев Замечание. Не останавливаясь на деталях, приведем формулы для случая, когда на c вместо нелинейных краевых условий (3) рассматривается линейное краевое условие Неймана. Это означает, что вместо задачи Синьорини (1)–(3) мы решаем линейную задачу со смешанными краевыми условиями - div(au) =f в 1, (57) u =0 на 0, (58) u a =0 на c. (59) В этом случае вместо задачи (6)–(8) в расширенной области c с разрезом c получим следующую краевую задачу для нахождения функций u, - div(au) =f в c, (60) u =0 на, (61) u ± a =0 на c, (62) решение которой определяется из тождества 1 u H ( c), auv = fv v H ( c). (63) c c Смешанная формулировка задачи (60)–(62) в области c имеет вид (ср. с (36)– (38)) u L2( c), p = p, p M, (64) 1 - div p = f в c, (65) bp · p + u · div p =0 p M. (66) c c Здесь ± M = p =(p1, p2) | p, div p L2( c), p =0 на c.

Наконец, от задачи (64)–(66) можно перейти к эквивалентной формулировке задачи в гладкой области. А именно, в этом случае требуется найти функции u, p =(p, p) такие, что (ср. с (41)–(43)) 1 u L2( ), p Mc, (67) - div p = f в, (68) bp · p + u · div p =0 p Mc, (69) где Mc = {p =(p1, p2) | p, div p L2( ), p =0 на c}.

Так же, как и в задаче (36)–(38), в задаче (64)–(66) можно перейти к пределу при 0 и получить для предельных функций u, p соотношения u L2( 1), p Z0, (70) - div p = f в 1, (71) a-1p · p + u · div p =0 p Z0, (72) 1 Метод фиктивных областей c c Рис. 2. Рис. 3.

c c Рис. 4. Рис. 5.

где Z0 = {p =(p1, p2) | p, div p L2( 1), p =0 на c}.

Таким образом, мы видим, что предельная при 0 задача для (64–(66) имеет вид (70)–(72). В свою очередь, задача (70)–(72) есть не что иное, как смешанная формулировка краевой задачи (57)–(59). Аналогично можно осуществить переход к пределу при 0 в (67)–(69). Предельная задача будет по-прежнему иметь вид (70)–(72).

В заключение отметим, что предлагаемый в работе метод фиктивных областей для задачи Синьорини может принимать различные формы в зависимости от выбора фиктивной области 2. Важным является то, что наряду с выбором области 2, указанным на рис. 1, аналогичные утверждения имеют место и для других случаев выбора 2 таких, как указано на рис. 2–5. Ясно, что в случае рис. 2 вспомогательная задача с параметром, рассматриваемая на множестве c = 1 2, будет контактной задачей с краевыми условиями вида (8) на 1 2. В случае рис. 3, рис. 4 во вспомогательной задаче, рассматриваемой в c, на внешней границе задаются как условия Дирихле u = 0, так и условия Синьорини вида (3). Наконец, в случае рис. 5 внешняя граница области c совпадает с внешней границей области 2, где задаются краевые условия Дирихле.

ЛИТЕРАТУРА 1. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton-Boston: WIT Press, 2000.

2. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.

3. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. Boston; London; Melbourne: Pitman, 1985.

1364 В. Д. Степанов, А. М. Хлуднев 4. Ohtsuka K. Mathematics of brittle fracture // Theoretical studies on fracture mechanics in Japan / Ed. K.Ohtsuka. Hiroshima-Denki Institute of Technology. Hiroshima, 1995. P. 99–172.

5. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

6. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

7. Партон В. З., Морозов E. M. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985.

8. Khludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston;

Berlin: Birkhauser, 1997.

9. Копченов В. Д. Приближение решения задачи Дирихле методом фиктивных областей // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4, № 1. С. 151–164.

10. Коновалов А. Н. Метод фиктивных областей в задачах кручения // Численные методы механики сплошной среды. 1973. Т. 4, № 2. С. 109–115.

11. Брусникин М. Б. Об эффективных алгоритмах решения задач метода фиктивных областей в многосвязном случае // Докл. РАН. 2002. Т. 387, № 2. С. 151–155.

12. Темам Р. Математические задачи теории пластичности. М.: Наука, 1991.

13. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. New York: Springer-Verl., 1991. V..

14. Хлуднев А. М. Метод гладких областей в задаче о равновесии пластины с трещиной // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 6. С. 1388–1400.

.

Статья поступила 24 апреля 2003 г.

Хлуднев Александр Михайлович Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, пр. Академика М. А. Лаврентьева, 15, Новосибирск khlud@hydro.nsc.ru Степанов Владимир Дмитриевич Вычислительный центр ДВО РАН, ул. Тихоокеанская, 153, Хабаровск Current address: Korea Advanced Institute of Science and Technology 373-1 Kusong-dong, Yusong-gu, Taejon 305-701, Republiс of Korea stepanov@as.khb.ru, vstep@math.kaist.ac.kr

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.