WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2003. Том 44, № 6 УДК 517.95 МЕТОД ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ В ЗАДАЧЕ СИНЬОРИНИ В. Д. Степанов, А. М. Хлуднев Аннотация: В работе дается обоснование метода фиктивных областей для эллиптического уравнения с нелинейными краевыми условиями Синьорини. Метод позволяет строить семейство вспомогательных задач, определенных в более широкой области и обладающих тем свойством, что их решения сходятся в подходящем смысле к решению исходной задачи.

Ключевые слова: краевые условия Синьорини, фиктивная область, эллиптическая краевая задача.

Работа посвящена обоснованию метода фиктивных областей для эллиптических краевых задач с нелинейными краевыми условиями. Суть метода состоит в том, что в более широкой области находятся решения семейства вспомогательных краевых задач, сходящиеся к решению исходной задачи. Фактически предлагается несколько эквивалентных формулировок вспомогательных задач, определенных в более широкой области. Первая формулировка соответствует минимуму функционала энергии на множестве всех допустимых перемещений.

При этом краевые условия, содержащие компоненты вектора напряжений, являются следствием этой формулировки. Вторая формулировка, которую называют смешанной, предполагает, что на компоненты вектора напряжений налагаются ограничения типа неравенств. Все другие краевые условия являются естественными при такой формулировке и могут быть непосредственно найдены из уравнений и неравенств краевой задачи. Важно отметить, что две указанные формулировки определяют решение в более широкой по сравнению с исходной области, которая содержит разрез (если речь идет о двумерных задачах). Наконец, третья эквивалентная формулировка вспомогательного семейства краевых задач вытекает из первых двух, и при этом решения находятся в гладкой области без разрезов. Ограничения на компоненты вектора напряжений в этом случае налагаются на подмножествах области определения решения. Возникаемые при этом задачи имеют прямую аналогию с контактными задачами теории упругости при наличии ограничений, заданных на множествах малых размерностей.

Важно подчеркнуть, что все краевые задачи, рассматриваемые в работе, включая задачу Синьорини, относятся к классу задач со свободной границей.

Это означает, что конкретное краевое условие в данной точке определяется лишь после решения всей задачи в целом.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 03–01–00017, 03–01–00124) и гранта Корейского института передовых технологий и науки (проект GJ00610).

© 2003 Степанов В. Д., Хлуднев А. М.

Метод фиктивных областей Отметим, что формулировки вспомогательных краевых задач аналогичны формулировкам нелинейных задач теории трещин с краевыми условиями взаимного непроникания берегов, активно разрабатываемых в последнее время [1].

Интересно заметить, что если заменить краевые условия Синьорини в исходной задаче линейными краевыми условиями Неймана, то метод фиктивных областей, предлагаемый в работе, приведет к краевым задачам, аналогичным линейным задачам теории трещин. Как линейные, так и нелинейные задачи теории трещин характеризуются областями с негладкими границами. Качественные свойства решений линейных краевых задач, рассматриваемых в негладких областях, исследовались во многих работах. В этой связи можно отметить [2–4].

Прикладные аспекты теории излагаются в [5–7]. Широкий класс задач теории упругости с ограничениями, заданными на подмножествах области определения решения, представлен в [8]. С методом фиктивных областей в задаче Дирихле можно познакомиться, например, в [9]. Что касается приложений этого метода, то можно обратиться к [10]. Численные проблемы, возникающие при реализации метода фиктивных областей, обсуждаются в [11]. В данной работе мы ограничиваемся рассмотрением двумерного случая фактически лишь для наглядности изложения. Метод с успехом может использоваться и в случае произвольной размерности для задач с краевыми условиями типа неравенств.

1. Задача Синьорини Пусть 1 R2 ограниченная односвязная область с гладкой границей 1, 1 = c 0, c 0 =, meas 0 > 0. Для простоты предполагаем, что c гладкая кривая, не содержащая своих концевых точек. Обозначим через вектор внутренней нормали к 1. В области 1 будем решать задачу Синьорини.

Именно, требуется найти функцию u такую, что - div(au) =f в 1, (1) u =0 на 0, (2) u u u 0, a 0, u · a =0 на c. (3) Здесь a L (R2), f L2 (R2) заданные функции, a c0, c0 = const > 0.

loc loc Задача (1)–(3) допускает вариационную постановку. Именно, пусть H ( 1) ={v H1( 1) | v =0 на 0}, где H1( 1) пространство Соболева функций, суммируемых с квадратом вместе с первыми производными в 1. Введем в рассмотрение выпуклое замкнутое множество допустимых перемещений Kc = v H ( 1) | v 0 п. в. на c. (4) Тогда задача (1)–(3) эквивалентна минимизации функционала энергии E(v) = a|v|2 - fv 1 на множестве Kc и может быть записана в виде следующего вариационного неравенства:

u Kc, au(v -u) f(v - u) v Kc. (5) 1 1352 В. Д. Степанов, А. М. Хлуднев c Рис. 1.

Очевидно, вариационное неравенство (5) имеет (единственное) решение, поскольку функционал обладает свойствами коэрцитивности и слабой полунепрерывности снизу. При этом соотношения (1)–(3) допускают точную интерпретацию в терминах соответствующих пространств. Мы не будем здесь на этом останавливаться, так как в дальнейшем необходимые пояснения будут даны в более сложной ситуации.

2. Вспомогательные задачи в области с разрезом Оказывается, задачу (5) можно рассматривать как предельную для некоторого семейства вспомогательных задач с параметром, определенных в более широкой по сравнению с 1 области. Ниже проводятся соответствующие построения и формулируется семейство вспомогательных задач. Расширим область 1 до области c, добавляя фиктивную область 2 так, как указано на рис. 1.

Пусть 2 граница области 2, которую будем считать достаточно гладкой.

+ Внешнюю границу к области c обозначим через, т. е. = c \ c c, ± где берега c определяются по отношению к нормали. Пусть 0 = 1 2, = 0 \. Тогда c = 1 2 ( \ ). Таким образом, область c содержит c разрез.

c Положим a в 1, a = a-1 в 2, где положительный параметр, который впоследствии будет стремиться к нулю. В области c будем решать следующую задачу. Найти функцию u такую, что - div(au) =f в c, (6) u =0 на, (7) u u u [u] 0, a =0, a 0, [u] · a =0 на c. (8) Здесь и ниже [v] =v+ - v- скачок функции v на c, где v± определяются на ± c в соответствии с выбранным направлением нормали на c. Для каждого > 0 задача (6)–(8) имеет единственное решение и допускает вариационную формулировку. Именно, пусть H ( c) ={v H1( c) | v =0 на }, K = v H ( c) | [v] 0 п. в. на c.

Метод фиктивных областей Тогда задача (6)–(8) соответствует минимуму функционала E(v) = a|v|2 - fv c c на множестве K и может быть записана в виде вариационного неравенства u K, au(v -u) f(v - u) v K. (9) c c Здесь следует заметить, что граница может быть и негладкой в точках 0 \. Тем не менее неравенство Пуанкаре справедливо для всех функций из пространства H ( c), что обеспечивает коэрцитивность (и, как следствие, слабую полунепрерывность снизу) функционала E(v) на H ( c). Таким образом, при каждом фиксированном >0 мы можем найти из (9) решение задачи (6)–(8). Отметим, что это решение определено в более широкой области по сравнению с 1 и, более того, при 0 найдется u H ( c) такая, что u u слабо в H ( c), u 0 сильно в H1( 2), (10) u u сильно в H1( 1).

Как оказывается, сужение предельной функции u из (10) на область 1 есть решение задачи Синьорини (1)–(3). Следовательно, задачу Синьорини (1)–(3) в определенном смысле можно рассматривать как предельную для семейства задач (6)–(8).

Цель следующих ниже рассуждений исследование решений задачи (9) и, в частности, обоснование сходимости (10).

Подставляя v =0, v =2u в (9) в качестве тестовых функций, находим a|u|2 = fu. (11) c c Отсюда следует, что a|u|2 + a|u|2 = fu + fu. (12) 1 2 1 Справедливы неравенства Пуанкаре с постоянными ci > 0, |v|2 ci v2 v H1( i), v =0 на i, i =1, 2.

i i В данном случае мы предполагаем, что meas( 1) > 0 (см. рис. 1; по поводу других возможных способов выбора фиктивной области 2 см. заключительный раздел работы). Следовательно, из (12) вытекает оценка u 2 + u 2 c3.

H1( 1) H1( 2) Постоянная c3 зависит от констант из упомянутых неравенств Пуанкаре, f L2, c0 и. Можно считать, что c3 ограничена равномерно по при 0.

( c) Таким образом, имеют место оценки u 2 c4, u 2 c5 (13) H1( 1) H1( 2) 1354 В. Д. Степанов, А. М. Хлуднев с постоянными c4, c5, не зависящими от. В силу (11) с учетом неравенства a c0 > 0, справедливого при малых, можно также предполагать, что имеет место равномерная по оценка u 2 c. (14) H ( c) Выбирая подпоследовательность, для которой будем сохранять прежнее обозначение, считаем, что при u u слабо в H ( c). (15) Согласно (13) имеем также сходимость u 0 сильно в H1( 2). (16) В частности, предельная функция u равна нулю на \ c.

Теперь осуществим переход к пределу в вариационном неравенстве (9). Вы+ берем v K таким образом, чтобы v 0 в 2 (при этом v 0 на c ) и подставим эту функцию в (9). Получим auv a|u|2 + a|u|2 - fu + f(v - u). (17) 1 1 2 2 Переходя к нижнему пределу в обеих частях (17) с учетом (15), (16), будем иметь auv a|u|2 + f(v - u). (18) 1 1 Здесь мы принимаем во внимание очевидное неравенство lim inf a|u|2 0.

Поскольку u K, заключаем, что ограничение предельной функции u на область 1 принадлежит множеству Kc, где Kc определено в (4). Таким образом, соотношение (18) может быть записано в виде вариационного неравенства au(v -u) f(v - u) v Kc, 1 в точности совпадающего с (5). Это и означает, что сужение предельной функции u на область 1 является решением задачи Синьорини (1)–(3).

Оказывается, при 0 имеет место сходимость a|u|2 0. (19) В самом деле, из (12) следует, что lim sup a|u|2 = lim sup fu + fu - a|u| 0 2 1 2 lim sup fu + lim sup fu + lim sup - a|u|2 fu - a|u|2.

0 0 1 2 1 1 Метод фиктивных областей Однако из (5) вытекает равенство fu = a|u|2.

1 Следовательно, из предыдущего имеем соотношения 1 0 lim inf a|u|2 lim sup a|u|2 0.

2 Это и доказывает справедливость (19). Таким образом, согласно (19) сходимость (16) можно уточнить, а именно при u 0 сильно в H1( 2). (20) Теперь докажем более сильную по сравнению с (15) сходимость u в области 1. Именно, мы покажем, что при u u сильно в H1( 1). (21) Поскольку слабая сходимость u к u в H1( 1) уже установлена, то для доказательства (21) достаточно показать, что a|u|2 a|u|2. (22) 1 Из (12) имеем равенство a|u|2 = fu + fu - a|u|2.

1 2 1 Согласно (15), (19) правая часть здесь имеет предел, равный fu, поэтому lim a|u|2 = fu.

1 В то же время, как мы знаем, справедливо равенство fu = a|u|2, 1 что и доказывает сходимость (22). Как уже отмечалось, из (22) следует (21).

Вернемся теперь к дифференциальной постановке задачи (9), т. е. к краевой задаче (6)–(8), и дадим точную интерпретацию краевых условий на c.

Прежде всего отметим, что из (9) вытекает справедливость уравнения (6) в смысле обобщенных функций. В частности, a - div(au) =f в 1, - div u = f в 2. (23) Возьмем H0 ( ), где = c, а c H0 ( ) ={v H1( ) | v =0 на }.

1356 В. Д. Степанов, А. М. Хлуднев Тогда v = u ± K и после подстановки v в (9) в качестве пробной функции получим au = f.

c c Из этого соотношения следует равенство au + au = f + f. (24) 1 2 1 Воспользуемся известной формулой Грина для областей 1, 2 с липшицевыми границами 1, 2 (см. [12]):

w - v · div(aw) = awv - a, v, i =1, 2, (25) n 1/2, i i i справедливой для всех w H1( i), div(aw) L2( i), v H1( i), где n внешняя нормаль к i, а скобки ·, · 1/2, обозначают двойственность между соi пряженными пространствами H-1/2( i) иH1/2( i). При этом a w H-1/2( i).

n Добавим, что через H1/2( i), i =1, 2, обозначены пространства функций с нормами |v(x) - v(y)| v 2 = v 2 + dxdy.

1/2, i L2( i) |x - y| i i 1/Введем также пространство функций H00 ( ) с нормой 1/v v 00 = v 2 +, 1/2, 1/2, -1/где (x) = dist(x, ). Через H00 ( ) будем обозначать пространство, со1/пряженное к H00 ( ). Для функции v, заданной на, обозначим через v ее продолжение нулем вне, т. е.

v на, v = 0 на i \, i =1, 2.

1/В этом случае v H1/2( i) тогда и только тогда когда v H00 ( ) (см. [1]).

-1/Отметим также, что если v H-1/2( i), то можно считать v H00 ( ). Итак, из уравнений (24) с учетом формул Грина (25) и уравнений (23) получаем u a u - a, +, =0.

1/2, 1 1/2, В данном соотношении нормаль определена на границах 1, 2. Предполагается, что на границе 2 эта нормаль выбирается таким образом, чтобы на c она совпадала с ранее выбранной. Заметим, что H1/2( i), i =1, 2. Так как 1/ =0 на 1 и 2, то H00 ( ). Тогда предыдущее соотношение можно переписать в виде - + a u u - a, =0, (26) 1/2, Метод фиктивных областей где скобки ·, · 00 обозначают двойственность между пространствами 1/2, -1/2 1/H00 ( ) и H00 ( ). Заметим, что в (26) в качестве можно выбирать любой 1/2 1/элемент из пространства H00 ( ). Действительно, пусть H00 ( ) произвольная функция. Продолжим ее нулем на границы 1, 2. Получим функции на 1 и 2 из пространств H1/2( 1), H1/2( 2) соответственно. Их, в свою очередь, можно продолжить в области 1, 2 как функции из пространств H1( 1), H1( 2). В результате в области построена функция из пространства H0 ( ) 1/такая, что ее значение на совпадает с выбранной выше функцией H00 ( ), 1/что и требовалось. Итак, (26) выполняется для всех H00 ( ). Это означает, что - + a u u = a (27) -1/в смысле элементов из пространства H00 ( ). Отсюда следует, что (27) вы-1/полнено и в смысле элементов из пространства H00 ( c). Полагая a u = a u, получим точную интерпретацию второго условия (8).

Далее, выясним, в каком смысле понимается третье условие (8). Пусть 1/ H00 ( c), 0. Продолжая эту функцию нулем на границу 1, а затем продолжая полученную функцию в область 1 как функцию из пространства H1( 1), найдем функцию H1( 1) такую, что след на c совпадает с.

Введем обозначение в 1, = 0 в 2.

Тогда K. Возьмем v = u + в качестве пробной функции в неравенстве (9).

Получим соотношение au + au f + f.

1 2 1 Интегралы по 2 здесь обращаются в нуль в силу выбора функции. Снова применяя формулу Грина вида (25), с учетом (23) найдем u a, 0 H1/2( 1), 0, =0 на 1 \ c.

1/2, Это неравенство означает, что + u a -1/в смысле функций из пространства H00 ( c). Таким образом, ввиду (27) точная интерпретация третьего условия (8) имеет вид u 1/a, 0 H00 ( c), 0. (28) 1/2, c Наконец, дадим точную интерпретацию последнего условия (8). Вернемся к (12) и в силу (23), (25) осуществим интегрирование по частям. Получим u a u - a, u +, u =0.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.