WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Лемма 2.4. Пусть f нечетная непрерывно дифференцируемая функция с положительной производной на интервале (-, +). Если корень z характеристического уравнения (2.7) удовлетворяет условию |z| = 1, то z = 1 или z = -1.

Доказательство. Рассмотрим следующую краевую задачу:

J = H(, µ)y, y(-/2) = zJy(0), |z| = 1,, z C. (2.13) При фиксированных значениях аргументов [-1, 0], µ [0, ) матрицы H(, µ) определенно положительны. Отсюда следует, что вспомогательная краевая задача (2.13) является самосопряженной. В силу самосопряженности краевая задача (2.13) имеет не более чем счетное число собственных чисел, единственной предельной точкой которых может быть лишь =. Собственные числа (коль скоро они имеются) вещественны и имеют конечную кратность [9, с. 176]. Если краевая задача (2.4), (2.5) имеет собственное число z, удовлетворяющее условию |z| = 1, то краевая задача (2.13) будет иметь собственное число = z. Поскольку все собственные числа задачи (2.13) вещественны, отсюда вытекает, что отмеченное собственное число z = 1 или z = -1. Лемма доказана.

При непрерывном перемещении корней характеристического уравнения на комплексной плоскости они смогут пересечь единичную окружность |z| = Бифуркационный метод исследования устойчивости согласно лемме 2.4 только в точке z = 1 или z = -1. В силу симметрии движения корней характеристического уравнения два корня одновременно пересекают окружность в точках z = 1 и z = -1. Направления пересечения окружности также совпадают. В момент пересечения окружности корень z = 1 становится кратным. Это условие позволяет определить соответствующее значение параметра µ = µ. Имеем D(1, µ) V (1, µ) V (1, µ) = 2 - 2V (1, µ) - 2 = -2 = 0.

z z z Следовательно, переход корней характеристического уравнения на комплексной плоскости через единичную окружность осуществляется при значениях параметра µ, определяемых уравнением V (1, µ) = 0, µ [0, ). (2.14) z Рассмотрим окрестность точки z = 1. Полагаем z = 1+z, где z малое воз мущение. Фундаментальную матрицу системы дифференциальных уравнений (2.4) будем искать в форме асимптотического разложения Y (, z, µ) = Y0(, µ) + Y1(, µ)z + Y2(, µ)z2 + o(z2), где [-/2, 0], z C, µ [0, ). Для нахождения коэффициентов этого асимптотического разложения имеем уравнения 0 = J-1H(, µ)Y0, (2.15) 1 = J-1H(, µ)Y1 + J-1H(, µ)Y0, 2 = J-1H(, µ)Y2 + J-1H(, µ)Y1, [-/2, 0], µ [0, ).

Поскольку Y (-/2, z, µ) = I2, z C, то Y0(-/2, µ) = I2, Y1(-/2, µ) = 0, Y2(-/2, µ) = 0, µ [0, ).

Зная Y0, можно найти матричные функции -Y1(, µ) = - Y0(, µ)Y0 (s, µ)JH(s, µ)Y0(s, µ) ds, (2.16) -/ -Y2(, µ) = - Y0(, µ)Y0 (s, µ)JH(s, µ)Y1(s, µ)ds, (2.17) -/где [-/2, 0), µ [0, ). Матрица Y0 гамильтонова уравнения удовлетворяет тождеству [9, с. 103] T Y0 (, µ)JY0(, µ) J, [-/2, 0], µ [0, ).

Поэтому имеют место формулы Y1(, µ) = -Y0(, µ)J Y0 (s, µ)H(s, µ)Y0(s, µ) ds, (2.18) -/1296 Ю. Ф. Долгий, С. Н. Нидченко Y2(, µ) = -Y0(, µ)J Y0 (s, µ)H(s, µ)Y1(s, µ) ds, (2.19) -/где [-/2, 0], µ [0, ). Матричная функция Y0 является фундаментальной матрицей для системы дифференциальных уравнений = J-1H(, µ), где = (1, 2), [-/2, 0], µ [0, ). Запишем эту систему в координатной форме 1 = a(, µ)2, 2 = -a(/2 +, µ)1, [-/2, 0], µ [0, ). (2.20) Здесь T (µ) T (µ) a(, µ) = f (x( - /2, µ)) = f (x1(/2 +, µ)), 2 T (µ) T (µ) a(/2 +, µ) = f (x(, µ)) = f (x2(/2 +, µ)), 2 где (x1(s, µ), x2(s, µ)), s [0, /2], µ [0, ), решение системы дифференци альных уравнений dx1 T (µ) dx2 T (µ) = f(x2), = - f(x1).

ds 2 ds Тогда система (2.20) будет выглядеть следующим образом:

T (µ) T (µ) 1 = f (x1(/2 +, µ))2, 2 = - f (x2(/2 +, µ))1. (2.21) 2 Лемма 2.5. Пусть f нечетная непрерывно дифференцируемая функция с положительной производной на интервале (-, ). Тогда нормированная фундаментальная матрица системы (2.21) имеет вид x2(s,µ) T (µ) f(x1(s,µ)) + (s)f(x1(s, µ)) µ 2 f(µ) Y0(, µ) =, (2.22) x1(s,µ) T (µ) f(x2(s,µ)) - + (s)f(x2(s, µ)) µ 2 f(µ) s=/2+ R, µ (0, ).

Доказательство. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений:

dx1 dx= f (x2(t, µ))x2, = -f (x1(t, µ))x1, (2.23) dt dt которая является системой дифференциальных уравнений в вариациях для системы (1.2). Используя методику работы [5], найдем ее нормированную фундаментальную матрицу:

dx1(t,µ) x1(t,µ) f(µ) dt µ X(t, µ) =, t R, µ (0, ).

dx2(t,µ) x2(t,µ) f(µ) dt µ Делая в системе (2.23) замену переменных:

T (µ) T (µ) T (µ) t = s, x1 s = x1(s), x2 s = x2(s), s R, µ (0, ), 2 2 Бифуркационный метод исследования устойчивости получим dx1 T (µ) dx2 T (µ) = f (x2(s, µ))x2, = - f (x1(s, µ))x1, (2.24) ds 2 ds где s R, µ (0, ). Используя свойства 2-периодического решения T (µ) T (µ) (x1(s, µ), x2(s, µ)) = x1 s, µ, x2 s, µ, s R, µ (0, ), 2 системы дифференциальных уравнений dx1 T (µ) dx2 T (µ) = f(x2), = - f(x1), s R, µ (0, ), ds 2 ds находим фундаментальную матрицу системы (2.24):

f(x2(s,µ)) x1(s,µ) T (µ) - sf(x2(s, µ)) f(µ) µ X(s, µ) =, f(x1(s,µ)) x2(s,µ) T (µ) - + sf(x1(s, µ)) f(µ) µ s R, µ (0, ). Система (2.21) будет сопряженной для (2.24). Их решения связаны преобразованием (x1(/2 +, µ), x2(/2 +, µ)) = J(1(, µ), 2(, µ)), R, µ (0, ).

Имеем равенство JY0(, µ)d = X(/2 +, µ)c, R, µ (0, ), где c, d R2. Находим c = Jd. Следовательно, фундаментальная матрица Yимеет вид (2.22).

Лемма 2.6. Пусть f нечетная непрерывно дифференцируемая функция с положительной производной на интервале (-, ). Корень z = 1 характеристического уравнения (2.7) является кратным тогда и только тогда, когда µ = µ является критической точкой функции T, т. е. T (µ) = 0. При этом кратность корня равна двум.

Доказательство. В окрестности точки z = 1 запишем разложение функции V (z, µ) = 1 + V1(µ)z + V2(µ)z2 + o(z2), (2.25) где z = 1 + z, z C. Пользуясь определением функции V, находим 1 V1(µ) = y12(0, µ) - y21(0, µ), (2.26) 2 V2(µ) = y12(0, µ) - y21(0, µ), µ [0, ).

Из (2.18) следует, что Y1(0, µ) = -Y0(0, µ)JD(µ), µ [0, ), где T D(µ) = Y0 (s, µ)H(s, µ)Y0(s, µ) ds, µ [0, ).

-/При каждом значении µ [0, ) матрица D(µ) = dij(µ) 2 симметричная определенно положительная, т. е. d11(µ) > 0, d22(µ) > 0, d12(µ) = d21(µ). Из (2.22) следует, что T (µ)f(µ) Y0(0, µ) =, µ [0, ).

-1 1298 Ю. Ф. Долгий, С. Н. Нидченко Вычисляя матрицу Y1(0, µ), µ [0, ), находим V (1, z) T (µ) = V1(µ) = d22(µ) f(µ)T (µ), µ [0, ). (2.27) z Из последней формулы следует, что условие (2.14) выполняется при µ = µ тогда и только тогда, когда T (µ) = 0. Первая часть леммы доказана.

Рассмотрим малую окрестность {µ : |µ - µ| <, µ [0, )} критической точки µ = µ и малую окрестность {z : |z - 1| <, z C} точки z = 1. В характеристическом уравнении (2.7) сделаем замену z = 1+z, |z| <. Учитывая асимптотическое разложение (2.25), преобразуем (2.7) к виду z(1 - 2V1(µ) - 2V2(µ)) - 2V1(µ) + o(z) = 0, |z| <, |µ - µ| <. (2.28) Покажем, что V2(µ) меньше нуля. Из (2.19) следует представление Y2(0, µ) = Y0(0, µ)JK, где 0 s K = C(s)J C(s1)ds1 ds = kij 2, -/2 -/ C(s) = Y0 (s, µ)H(s, µ)Y0(s, µ) = cij(s) 2 симметричная определенно положительная матрица при фиксированных значениях аргумента s [-/2, 0].

Вычисляя матрицу k11 kY2(0, µ) =, k21 kнаходим V2(µ) = (k12 - k21). Учитывая определение матрицы K, имеем 0 0 2c12(s) c12(s)ds - c11(s) c22(s) ds V2(µ) = -/2 -/2 -/ 0 0 0 -c22(s) c11(s) ds ds = c12(s) ds - c11(s) ds c22(s) ds < 0.

-/2 -/2 -/2 -/Следовательно, d2D(1, µ) = 2(1 - 2V2(µ)) = 0, dzи лемма доказана.

Лемма 2.7. Пусть f нечетная трижды непрерывно дифференцируемая функция с положительной первой производной на интервале (-, ). При возрастании µ в малой окрестности критической точки µ корень характеристического уравнения переходит из внутренней во внешнюю (из внешней во внутрен нюю) область единичного круга, если T (µ) > 0 (T (µ) < 0).

Доказательство. Так как V2(µ) < 0, то в области |z| <, |µ - µ| < уравнение (2.28) имеет единственное решение [10, с. 26], которое определяется формулой dV1(µ) dµ z = µ + o(µ), µ = µ - µ.

1 - 2V2(µ) Бифуркационный метод исследования устойчивости Используя (2.27), находим dV1(µ) T (µ) = d (µ) f(µ)T (µ) + d22(µ) f(µ)(T (µ))dµ 4 T (µ) T (µ) + d22(µ) f (µ)T (µ) + d22(µ) f(µ)T (µ) 4 T (µ) = d22(µ) f(µ)T (µ).

Следовательно, направления перехода корня характеристического уравнения (2.7) через единичную окружность определяются знаком T (µ). Лемма доказана.

Теорема 2.1. Пусть f нечетная трижды непрерывно дифференцируемая функция с положительной первой производной на интервале (-, ). Пусть вторая производная функции T отлична от нуля во всех ее критических точках. Тогда для не критических точек µ0 (0, ) функции T дифференциальное уравнение с запаздыванием (2.1) устойчиво, если T (µ0) > 0, и неустойчиво, если T (µ0) < 0.

Доказательство. В ходе доказательства утверждения 2.1 показано, что дифференциальное уравнение с запаздыванием (2.1) при µ = 0 имеет чисто мнимый характеристический показатель (0) = i, а все остальные характеристические показатели имеют отрицательную действительную часть. Учитывая связь = e между характеристическими показателями и собственными числами оператора монодромии, получим (0) = -1. Остальные собственные числа оператора монодромии при µ = 0 лежат внутри области || < 1. Используем связь = -z-2 между собственными числами оператора монодромии и корнями z характеристического уравнения (2.7). Тогда собственному числу (0) = -отвечает пара корней z1,2(0) = ±1, а собственным числам, лежащим внутри области || < 1, корни, лежащие в области |z| > 1. Согласно лемме 2.3 существует собственное число 1(µ) = -1, µ [0, ), которому отвечает пара корней z1,2(µ) = ±1, µ [0, ), характеристического уравнения (2.7).

Отметим, что точка µ = 0 является критической, а так же то, что в после довательных критических точках знаки значений T чередуются.

Пусть T (0) > 0. Следовательно, T (µ) > 0 при 0 < µ < µ1, где µближайшая к µ = 0 критическая точка. Тогда по утверждению 2.1 при малых положительных µ уравнение (2.1) устойчиво. Кратные корни z1,2 = ±1 распадаются, и два корня уходят в область |z| > 1. Согласно лемме 2.6 при возрастании µ на промежутке 0 < µ < µ1 в области |z| < 1 не могут появиться корни характеристического уравнения (2.7). Следовательно, сохраняется устойчивость. В критической точке µ1 имеем T (µ1) < 0 и T (µ) < 0 при µ1 < µ < µ2, где µближайшая справа к µ1 критическая точка. По лемме 2.7 при переходе через точку µ1 в область |z| < 1 входит пара корней характеристического уравнения (2.7) и устойчивость меняется на неустойчивость. На промежутке µ1 < µ < µколичество корней в области |z| < 1 не может измениться, и тогда на этом промежутке сохраняется неустойчивость.

Пусть T (0) < 0. Следовательно, T (µ) < 0 при 0 < µ < µ1, где µближайшая к µ = 0 критическая точка. Тогда по утверждению 2.1 при малых положительных µ уравнение (2.1) неустойчиво. Кратные корни z1,2 = ±распадаются, и два корня уходят в область |z| < 1. Согласно лемме 2.6 при возрастании µ на промежутке 0 < µ < µ1 в области |z| < 1 не может измениться 1300 Ю. Ф. Долгий, С. Н. Нидченко количество корней характеристического уравнения (2.7). Следовательно, сохра няется неустойчивость. В критической точке µ1 имеем T (µ1) > 0 и T (µ) > при µ1 < µ < µ2, где µ2 ближайшая справа к µ1 критическая точка. По лемме 2.7 при переходе через точку µ1 из области |z| < 1 выходит пара корней характеристического уравнения (2.7) и неустойчивость меняется на устойчивость. На промежутке µ1 < µ < µ2 количество корней в области |z| < 1 не может измениться, и тогда на нем сохраняется устойчивость.

Этот анализ показывает, что устойчивость дифференциального уравнения с запаздыванием (2.1) для не критических точек функции T определяется знаком первой производной функции периода T в этих точках. Теорема доказана.

3. Устойчивость периодических решений нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием Возвращаемся к задаче устойчивости антисимметрического периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием.

Теорема 3.1. Пусть f нечетная трижды непрерывно дифференцируемая функция с положительной первой производной на интервале (-, ). Пусть вторая производная функции T отлична от нуля во всех ее критических точках и некритическая точка µ0 (0, ) функции T является корнем уравнения T (µ) = 4. Тогда соответствующее этому корню антисимметрическое периодическое решение дифференциального уравнения с запаздыванием (1.1) устойчиво (неустойчиво), если T (µ0) > 0 (T (µ0) < 0).

Доказательство. Пусть для некритической точки µ0 (0, ) выполняет ся условие T (µ0) < 0. Из доказательства теоремы 2.1 следует, что существует пара корней характеристического уравнения (2.7), лежащая в области |z| < 1.

Этой паре соответствует собственное число оператора монодромии 0, по модулю большее единицы. Тогда согласно теореме о неустойчивости по линейному приближению [11, с. 287] периодическое решение дифференциального уравнения с запаздыванием (1.1) неустойчиво.

Пусть для некритической точки µ0 (0, ) выполняется условие T (µ0) > 0.

Из доказательства теоремы 2.1 следует, что все корни характеристического уравнения (2.7) лежат в области |z| > 1, за исключением пары z1,2 = ±1. Этой паре z1,2 соответствует собственное число оператора монодромии 0 = -1. Корням характеристического уравнения (2.7), лежащим в области |z| > 1, соответствуют собственные числа оператора монодромии, лежащие в области || < 1.

Покажем, что собственное число 0 = -1 простое. Используя связь z = i- между корнями характеристического уравнения (2.7) и собственными числами оператора монодромии, запишем характеристическое уравнение для нахождения :

1 2 D(, µ0) = --1 + 2i- V (-i-, µ0) + 1 = 0.

Тогда D(, µ0) V (1, µ0) V (1, µ0) = 1 - V (1, µ0) - = - = 0.

d dz dz =-Используя аналог теоремы Андронова Витта для функционально-дифференциальных уравнений [11, с. 287], делаем заключение об устойчивости периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием (1.1).

Бифуркационный метод исследования устойчивости ЛИТЕРАТУРА 1. Grafton R. B. Periodic solutions of certain Lienard equation with delay // J. Differential Equations. 1972. V. 11, N 3. P. 519–527.

2. Nussbaum R. D. Periodic solutions of some nonlinear autonomous functional differential equations // Ann. Mat. Pura Appl. Sec. 4. 1974. V. 101. P. 263–306.

3. Kaplan J. L., Yorke J. A. Ordinary differential equations which yield periodic solutions of differential delay equations // J. Math. Anal. Appl. 1974. V. 48, N 2. P. 317–324.

.

4. Dormayer P. The stability of special symmetric solutions of (t) = f(x(t - 1)) with small amplitudes // Nonlinear Anal. 1990. V. 14, N 8. P. 701–715.

.

5. Долгий Ю. Ф. Николаев С. Г. Устойчивость периодического решения нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 5.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.