WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2002. Том 43, № 6 УДК 517.53 В–УСТОЙЧИВОСТЬ МАКСИМАЛЬНОГО ЧЛЕНА АДАМАРОВСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ДВУХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ А. М. Гайсин, Т. И. Белоус Аннотация: Найден критерий того, чтобы логарифм максимального члена ряда Дирихле, область абсолютной сходимости которого есть полуплоскость, на асимптотическом множестве был эквивалентен логарифму максимального члена его адамаровской композиции с любым другим рядом Дирихле из некоторого класса.

Ключевые слова: ряды Дирихле, максимальный член, адамаровская композиция Пусть = {n} (0 < n ) последовательность, удовлетворяющая условию ln n lim = a <. (1) n ln n Через Dc() обозначим класс всех функций F, представимых в полуплоскости c = {s : Re s < c} (- < c ) рядами Дирихле n F (s) = ane s (s = + it), (2) n=1 сходящимися лишь в данной полуплоскости. Из условия (1) следует, что ln n lim = 0, n n так что ряд (2) сходится в полуплоскости c абсолютно, а его сумма F аналитическая в c функция [1].

Наряду с рядом (2) введем в рассмотрение ряд n F (s) = anbne s (s = + it), (3) n=1 где B = {bn} последовательность комплексных чисел bn (bn = 0 при n N), удовлетворяющая условию ln |bn| lim = 0. (4) n n Тогда ряд (3) также абсолютно сходится в полуплоскости c, а F аналитическая в этой полуплоскости функция. Условие (4) позволяет рассматривать и n ряды Дирихле anb-1e s, абсолютно сходящиеся в полуплоскости c.

n n=N Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99–01–00655).

© 2002 Гайсин А. М., Белоус Т. И.

1272 А. М. Гайсин, Т. И. Белоус Пусть µ() и µ() максимальные члены рядов (2) и (3) соответственно.

Через L обозначим класс всех непрерывных, неограниченно возрастающих на [0, ) функций. Пусть w(x) W = w L : dx <, x2 1 W = {w W : lim (t)J(t; w) = 0}, W = {w W : lim (t)J(t; w) = 0}, t t где L, а w(x) J(t; w) = dx.

xt Пусть M класс функций из L таких, что x(x) < (kx) при x x0, где k некоторая постоянная. Приведем примеры функций из M: ex, 2 x ex, ee, xln(x+1) и т. д. Все эти функции растут быстрее любой степени xn.

Действительно, если M, то при x x0kn x x x2 x xn x (x0) (x) > > >... > > xn.

k k k3 k2 kn(n+1)/2 kn kn(n+1)/Каждой функции из M поставим в соответствие ее обратную функцию.

Тогда получим новый класс функций, который обозначим через M-1. Таким образом, классы M = {} и M-1 = {} состоят из взаимно обратных функций.

Легко показать, что если M-1, то функция (x) = x принадлежит классу W.

В работе [2] доказана следующая Теорема 1. Для того чтобы для любой функции F D() при вне некоторого множества E = [an, a ] (0 < a1 < a a2 < a · · · an < n 1 n=a... ) конечной лебеговой меры имело место асимптотическое равенство n ln µ() = (1 + o(1)) ln µ(), (5) необходимо и достаточно, чтобы существовала функция w W такая, что n |bn| + ew( ) (n N). (6) |bn| Хотя теорема 1 носит и самостоятельный интерес, в работе [2] она, по существу, использована для получения точных оценок как снизу, так и сверху для произвольных функций F D() на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность.

Пусть = {} семейство кривых, уходящих в бесконечность так, что если s и s, то Re s +.

В [2] показано, что если F D(), причем соответствующий ряд Дирихле имеет лакуны Фейера, то имеет место оценка q(F ) inf d(F ; ), где q(F ) неотрицательная величина, зависящая только от µ() и µ(), а ln |F (s)| d(F ; ) = lim, M() = sup |F ( + it)|.

s,s ln M(Re s) |t|< Отсюда, в частности, следует, что 0 inf d(F ; ) 1. (A) В-устойчивость максимального члена адамаровской композиции В [2] показано, что оценки (А) неулучшаемы в том смысле, что обе границы в (А) достигаются. Если точность правой границы была известна ранее, то вопрос о точности левой границы был связан с проблемой, восходящей к известной работе Пойа 1929 г., и оставался до недавнего времени открытым [2]. В работе [2] дан полный ответ на этот вопрос.

Смысл оценок (А) в том, что они устанавливают связь между ростом и убыванием целой функции F D() на каждой кривой. Действительно, из оценки 0 d(F ; ) следует, что существуют функция (r), (r) 0 при r, и последовательность {n}, n, такие, что при n ln |F (n)| > -(|n|) ln M(Re n). (B) Отметим, что оценка (B) лучше аналогичной оценки Берлинга, установленной им для произвольной целой функции на фиксированном луче [2]. Оценка (B) означает, что сумма ряда Дирихле с лакунами Фейера не может сколь угодно быстро убывать на любой последовательности точек {n}, стремящейся к бесконечности вдоль кривой.

Наша цель перенести основные результаты статьи [2] для функций F из класса Do(), а именно для таких функций получить оценки типа (А) на семействе кривых, примыкающих к мнимой оси.

Пусть ln µF () D () = F Do() : sup lim > 0, o ||( ) > 0|| где µF () максимальный член ряда (2). В дальнейшем, как и выше, максимальный член ряда (2) будем обозначать через µ().

Пусть e [-1, 0) измеримое по мере Лебега m множество. Верхней De и нижней de плотностями множества e называются величины [3] m(e [, 0)) m(e [, 0)) De = lim, de = lim.

0- || || 0Будем говорить, что максимальный член µ() ряда (2) B(d)- (B(D)-) устойчив, если при 0- вне некоторого множества e [-1, 0) нулевой нижней плотности de (нулевой верхней плотности De) имеет место асимптотическое равенство (5).

Если F функция, заданная в полуплоскости o рядом (2), а n G(s) = bne s, (7) n=то ряд (3) есть адамаровская композиция рядов (2) и (7), т. е.

n (F G)(s) = anbne s = F (s).

n= Ясно, что если F Do(), то F Do() (это следует из условия (4)).

Пусть M-1 и (n) ln |bn| (G) = lim > 0.

n n Тогда для некоторой последовательности {nk} (0 < nk ) имеем n ln |bn| p (p > 0), n = nk (k 1). (8) (n) 1274 А. М. Гайсин, Т. И. Белоус Рассмотрим ряд Дирихле n F (s) = ane s, (9) n=где p n exp( ), если n = nk (k 1);

2 (n) an = 0, если n = nk (k 1).

Ясно, что F Do(). Запишем ряд (9) в виде k F (s) = ckeµ s, ck = an, µk = n, k k k=и положим µk+µk p (µk) (µk+1) Rk = (k 1).

2 µk+1 - µk Выбирая (если это необходимо) последовательность {nk} достаточно редкой, можно считать, что Rk 0 при k. Но тогда для Rk-1 < Rk имеем [1, гл. 2, § 6] p µk p µk ln µ() = + µk < (k 1). (10) 2 (µk) 2 (µk) С другой стороны, для тех же, учитывая (8), (10), получаем, что µk ln µ() ln µ() + ln |bn | p (k 1).

k (µk) Следовательно, ln µ() lim.

0- ln µ() А это означает, что при (G) = 0 максимальный член ряда (9) не является B(d)-устойчивым.

Пусть теперь (G-1) > 0, где n G-1(s) = b-1e s.

n n=N Если в качестве ряда (9) возьмем ряд n F1(s) = (F G-1)(s) = anb-1e s, (11) n n=N то F1 (s) = (F1 G)(s) = F (s), где F функция, заданная рядом (9), коэффициенты которого строятся тому же принципу, что и прежде, но зависят теперь по от последовательности b-1. В этом случае получим, что n ln µ() lim.

0- ln µ1() Здесь µ1() максимальный член ряда (11), а µ() максимальный член измененного ряда. Таким образом, если (G-1) = 0, то µ1() не является B(d)-устойчивым.

Имея это в виду, в дальнейшем такие ситуации мы вообще будем исключать из рассмотрения.

Будем говорить, что последовательность {bn} (bn = 0 при n N) W нормальна, если найдется функция W такая, что - ln |bn| (n) (n N).

Сформулируем основной результат.

В-устойчивость максимального члена адамаровской композиции Теорема 2. Пусть некоторая фиксированная функция из класса M, а обратная к функция. Пусть B = {bn} последовательность, удовлетворяющая условию (6) и такая, что (n) ln |bn| lim = 0. (12) n n Для того чтобы для любой функции F D () максимальный член предo ставляющего ее ряда (2) был B(d)-устойчив, достаточно, а для W-нормальной последовательности {bn} и необходимо, чтобы для некоторой функции w W выполнялись оценки (6).

Доказательство теоремы основано на лемме типа Бореля Неванлинны.

Лемма. Пусть u(t) непрерывная неубывающая на [-1, 0) функция, u(t) при t 0 -. Пусть w W, а v = v(t) решение уравнения w(v) = eu(t). (13) Если w(v(t)) = o(1), t 0-, |t|v(t) а для некоторой последовательности {j} (j 0) lim J(vj; w) = 0, vj = v(j), (14) j0- |j| то при t 0- вне некоторого множества e [-1, 0), m(e [j, 0)) = o(|j|), имеет место асимптотическое равенство w(v(t)) u t + = u(t) + o(1).

v(t) Доказательство. Пусть w W, w(v(t)) = o(|t|v(t)), t 0-, и выполняется условие (14). Тогда найдется функция w W, w(v(t)) = o(|t|v(t)), t 0-, w(t) = (t)w(t), 0 < (t), t, для которой также выполняется условие (14), причем с той же последовательностью {j}. Покажем, что вне некоторого множества e [-1, 0), m(e [j, 0)) = o(|j|), верно неравенство u(t + (t)) < u(t) + -1(v(t)), (15) w(v(t)) где (t) =.

v(t) Пусть e замкнутое множество, содержащееся в [-1, 0), на котором u(t + (t)) u(t) + -1(v(t)). (16) Пусть e(t) = e [t, 0). Если e(t) = при некотором t [-1, 0), то все доказано. В противном случае положим t1 = inf{t : t e}, t = inf{t : u(t) = u(t1) + -1(v(t1))}.

Тогда 0 < t - t1 (t1).

Пусть t2 = inf{t : t e(t )}, t = inf{t : u(t) = u(t2) + -1(v(t2))}. Тогда с 1 учетом (16) получим, что 0 < t - t2 (t2), u(t2) - u(t1) -1(v(t1)).

Рассуждая по индукции, находим последовательности {tn}, {t } такие, что n 0 < t - tn+1 (tn+1), u(tn+1) - u(tn) -1(v(tn)), (17) n+ причем e [tn, t ].

n i=1276 А. М. Гайсин, Т. И. Белоус Пусть t (tn, tn+1]. Тогда с учетом (17) имеем t - t + i, если t (tn, t ], n n i=n+m(e [t, 0)) (18) i, если t (t, tn+1], n i=n+где i = w(vi)/vi, vi = v(ti) (i 1).

Если 2vi vi+1, то vi+1 vi+ w(x) w(vi+1) w(vi) w(x) i 2 dx 2 - + 4 dx.

x2 vi+1 vi xvi vi В противном случае, учитывая (13), (17), получаем, что w(vi) w(vi) i [u(ti+1) - u(ti)] [ln w(vi+1) - ln w(vi)] vi vi vi+1 vi+ w(x) w(vi+1) w(vi) w(x) 2 d ln w(x) = 2 - + dx.

x vi+1 vi xvi vi Значит, всегда имеет место оценка vi+ w(vi+1) w(vi) w(x) i 2 - + 4 dx (i 1). (19) vi+1 vi xvi Оценим теперь величину m(e [j, 0)). Если tn < j tn+1, то из (18), (19) вытекает, что 1 t - j n m(e [j, 0)) + J(vj; w), если j (tn, t ];

n |j| |j| |j| 1 m(e [j, 0)) J(vj; w), если j (t, tn+1].

n |j| |j| Напомним, что здесь vj = v(j) (v = v(t) решение уравнения (13)). Поскольку w(v(tn)) 0 < t - tn <, n v(tn) при tn 0- имеем t w(v(tn)) n 0 < 1 - < 0.

tn |tn|v(tn) Следовательно, t = (1 + o(1))tn при tn 0 -. Значит, t - j = o(|j|) при n n j 0 -. Но так как функция w удовлетворяет условию (14), окончательно получаем, что m(e [j, 0)) = o(|j|), j 0 -.

Таким образом, вне множества e [-1, 0), de = 0, имеет место оценка (15).

Лемма полностью доказана.

Аналогичная лемма при более сильных ограничениях доказана в [3].

Пусть область сходимости степeнного ряда f(z) = anzn (20) n= единичный круг {z : |z| < 1}. Сделаем замену z = es и рассмотрим функцию F (s) = f(es). Ясно, что F Do(), где = {0, 1, 2,..., n,... }. При Re s = 0- имеем |z| = r 1-, || = | ln r| = 1 - r + o(1 - r).

В-устойчивость максимального члена адамаровской композиции Следовательно, если F D (), то f K(), где o ln µf (r) K() = f : sup lim > 0, (1 - r)( ) >r11-r а µf (r) максимальный член ряда (20). Далее, если e1 образ множества e [-1, 0) при отображении r = e, то de = 0 означает, что d1e1 = 0, где m(e1 [r, 1)) d1e1 = lim.

1 - r r1Из теоремы 2 вытекает Теорема 3. Пусть M, обратная к функция, а B последовательность, удовлетворяющая условиям (6) и (12).

Для того чтобы для любой функции f K() при r 1- вне некоторого множества e1 [0, 1) нулевой нижней плотности d1e1 было справедливо асимптотическое равенство ln µf (r) = (1 + o(1)) ln µ(r), f достаточно, а для W нормальной последовательности {bn} и необходимо, чтобы последовательность В удовлетворяла оценкам (6) с некоторой мажорантой w W. Здесь µ(r) максимальный член измененного степенного ряда f f(z) = anbnzn.

n=Доказательство теоремы 2. Для доказательства теоремы 2 нам понадобятся некоторые свойства максимального члена ряда Дирихле. Хорошо известно геометрическое описание максимального члена степенного ряда или ряда Дирихле, задающего целую функцию, через выпуклый полигон Ньютона (см., например, [1]). Аналогичное описание максимального члена степенного ряда, сходящегося лишь в единичном круге, дается также в ряде работ (см., например, [4]).

Построим выпуклый полигон Ньютона для ряда Дирихле (2), абсолютно сходящегося лишь в полуплоскости 0. Для этого, предполагая, что sup |an| = n (можно также считать, что a1 = 0), отметим на плоскости XoY точки Pn = (n, gn), где gn = - ln |an| (если an = 0, то полагаем gn = ). Поскольку F D0(), то ln |an| lim = 0. (21) n n Учитывая это, через Q(F ) обозначим выпуклую оболочку точек Pn (n 1).

Пусть (x) = inf{y : (x, y) Q(F )}. Линия, описываемая уравнением y = (x) (x 1), называется диаграммой или выпуклым полигоном Ньютона [4].

Из (21) следует, что диаграмма Ньютона, обозначим ее через L(F ), является выпуклой вниз ломаной линией.

Пусть F D0(), n F (s) = ane s, sup |an| =.

n n=Положим n n F (s) = Tne s, Tn = e-( ) (n 1). (22) n= Функция F называется мажорантой Ньютона функции F D0().

1278 А. М. Гайсин, Т. И. Белоус Пусть (n) = Gn (n 1). Тогда (n, Gn) L(F ). Для бесконечного множества значений n, в частности, для абсцисс n (i 1, n1 = 1) всех вершин i полигона L(F ) имеем Gn = - ln |an|. Отметим, что точка Pn = (n, - ln |an|) лежит либо на полигоне L(F ) (точка Pn обязательно лежит на полигоне), либо i над ним. Угловой коэффициент отрезка, соединяющего вершины Pn и Pn i i+полигона L(F ), равен Gn - Gn i+1 i Ri = (i 1, 1 = 1).

n - n i+1 i Ясно, что Ri 0 при i. Следовательно, при Ri-1 < Ri центральный индекс () равен ni = const, а ln µ() = ln |an | + n [1]. Отсюда, в частноi i сти, следует, что µ() = µ(), () = (), где µ() и () максимальный член и центральный индекс ряда (22). Известно также, что функция ln µ() непрерывна, а при sup |an| = неограниченно возрастает на интервале [-1, 0) n [1].

Приступим теперь к доказательству теоремы 2.

Доcтаточность. Пусть выполняется условие (12) и n |bn| + ew( ) (n N), (23) |bn| где w = w(x) некоторая функция из W. Можно считать, что w(x)(x) = o(x) при x (это следует из (12)). Тогда существует функция w W такая, w(x)(x) что x w(x), = o(1), w(x) = o(w(x)) при x [3]. Пусть v = v() x решение уравнения w(v) = 2 ln µ(). (24) Ясно, что v() при 0. Поскольку w W, то найдется последователь ность {j} (j 0) такая, что lim (vj)J(vj; w) = 0, (25) vj где vj = v(j) при j 0-, w(x) J(vj; w) = dx.

xvj Далее, уравнение (24) можно записать в виде w(v) = eu(), u() = ln 2 + ln ln µ(). (26) Поскольку F D (), то, кроме того, для некоторого > o eu() lim > 0.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.