WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Первая состоит в том, что вводится дополнительно (q - 1)n новых независимых нерегуляризирующих переменных с произвольными функциями µri(t), доопределяемыми в ходе построения решений.

Вторая состоит в том, что предлагается специальная форма представления решения, сохраняющая, с одной стороны, его структуру, которая регламентируется требованием принадлежности решения пространству безрезонансных решений, и, с другой стороны, специальным образом доопределяющая коэффи (p) циенты Xij с тем, чтобы устранить произвол, возникший в связи с введением дополнительных независимых переменных.

Продолжим построения. Подставим (22) с учетом (23) и (24) в (21). Тогда q-n n n (p) (p) Xis (i(t) - s(t)) exp tri exp tqibs(t) - Xs s(t)bs(t) i=1 s=1 r=1 s= q-n n = exp tri exp tqibs(t) i=1 s=1 r= p n bj (p-k) Xij Ckbj, b - Dk-q, b s s t k=1 j= q-1 n n p (p-k) Xis Dk (p-k) - exp tri exp tqibs(t) Dk-q + i(t)Xis t Di=1 s=1 r=1 k= q-n n p q- Dk-(q-l) (p-k) - exp tri exp tqibs(t) Xis µli(t) Di=1 s=1 r=1 k=1 l= n p n (p-k) bj Xs (p-k) + bs(t) Xj Ckbj, b - Dk-q, b - Dk-q.

s s t t s=1 k=1 j=(25) Как и ранее, равенство (25) должно выполняться тождественно по t и для любого p =0, 1, 2,.... Поэтому, следуя [1], первоначально приравняем к нулю коэффициенты в правой части (25) при элементах ядра T0, т. е. при exp tqibi(t), где i = 1, n и i = s. Тогда получим p n bj (p-k) Xij Ckbj, b - Dk-q, b i i t k=1 j= p q-(p-k) Dk-(q-l) Xii Dk (p-k) - Dk-q + Xii i(t) + µli(t) =0, (26) t D0 l=1 Dk=где i = 1, n при i = s и p =0, 1, 2,....

Далее, приравнивая коэффициенты левой и правой частей (25) при одноименных членах, найдем Модифицированный метод регуляризации (p) для Xis, где i, s = 1, n при i = s, и p =0, 1, 2,..., p n bj (p) (p-k) Xis (i(t) - s(t)) = Xij Ckbj, b - Dk-q, b s s t k=1 j= p q-(p-k) Dk-(q-l) Xis Dk (p-k) - Dk-q + Xis i(t) + µli(t) =0, (27) t D0 l=1 Dk=(p) для Xs, где s = 1, n, p n bj (p-k) (p) - Xs s(t) = Xj Ckbj, b - Dk-q, b s s t k=1 j=p (p-k) Xs - Dk-q, p =0, 1, 2, 3.... (28) t k=(l) Напомним, что (26)–(28) справедливы при условии Xij (t) 0 для l <0, Ds =для s <0 и s >m- q, Cs(t) 0 при s >r.

Перепишем (26) и (27) так:

p n p (p-k) bj Xii (p-k) Xij Ckbj, b - Dk-q, b - Dk-q i i t t k=1 j=1,j=i k= p q- bi Dk Dk-r (p-k) + Xii Ckbi, b - Dk-q, b - i(t) - µq-r,i(t) =0, i i t D0 Dk=1 r=(26) где i = 1, n и p =0, 1, 2,..., p n bs (p) (p-k) Xij (i(t) - j(t)) = Xis Ckbs, b - Dk-q, b j j t k=1 s=1,s =i p (p-k) p q- Xij (p-k) Dk Dk-r - Dk-q - Xij i(t) + µq-r,i(t) t D0 Dk=1 k=1 r= p bi (p-k) + Xii Ckbi, b - Dk-q, b, (27) j j t k=где i, j = 1, n при i = j и p =0, 1, 2,....

Для p

Проанализируем полученные выше выражения (26)–(28). Равенство (28) совпадает с ранее найденным соотношением (14). Поэтому все выводы, сде(p) ланные выше относительно Xs, сохраняют свою силу. Что касается (26) и (27), то они отличаются от аналогичных уравнений (12) и (13) дополнительным слагаемым, содержащим произвольные функции, произвол в выборе которых в дальнейшем может быть использован для преодоления затруднений, возникающих при применении метода регуляризации по схеме, предложенной в [1].

Из сопоставления (12), (13) с (26), (27) следует, что основные выводы, сде(p) (p) ланные относительно свойств решений (12) и (13) Xii (t) и Xij (t) (i = j) сохра няют свою силу. В частности, остаются справедливыми леммы 2–4. Используя (s) лемму 4, после подстановки в (26) вместо Xij (t) (i = j) выражений для них (s-k) в виде линейной комбинации Xii (t), k = 1, s, получим, что каждое уравнение последовательности, содержащей q -1 уравнений из серии уравнений (26) (p-k) (для p = 1, q - 1 и каждого i = 1, n), является линейной комбинацией Xii (t), k = 1, p. Таким образом, первые q - 1 уравнений (p = 1, q - 1) серии (26) для каждого i можно записать так:

p (p-k) hk(t, µq-r,i(t), r = 1, k)Xii =0, p = 1, q - 1. (29) k=Здесь через hk(t, µq-r,i(t), r = 1, k) обозначены коэффициенты, не зависящие от индекса p, но содержащие произвольные функции µq-r,i(t), r = 1, q - 1.

Из рассмотрения системы (29) следует, что это однородная система q - 1 ли(p-k) нейных уравнений относительно Xii (t), где p - k = 0, q - 2. Поскольку hk(t, µq-r,i(t), r = 1, k) не зависят от p, а матрица коэффициентов системы тре(p-k) угольная, система имеет решение при произвольных Xii (t) тогда и только тогда, когда коэффициенты системы hp(t, µq-r,i(t), r = 1, p) равны нулю тождественно по t. Наличие произвола в выборе µq-r,i(t) позволяет обеспечить выполнение этого требования. Справедлива Теорема. Однородная система линейных алгебраических уравнений (29) (p-k) имеет решение при произвольных Xii (t), p - k = 0, q - 2, тогда и только тогда, когда µq-r,i(t), r = 1, q - 1, являются решением системы q-1 неоднородных алгебраических уравнений hp(t, µq-r,i(t), r = 1, p) =0, p = 1, q - 1. (30) Доказательство. Так как коэффициенты (29) зависят только от k и не зависят от индекса p, система (29) содержит только q - 1 различных коэффициентов, в качестве которых можно выбрать, например, коэффициенты при (0) Xii (t), т. е. hp(t, µq-r,i(t), r = 1, p). Таким образом, для обеспечения разре(p-k) шимости (29) при произвольных Xii (t) необходимо и достаточно выполнения условия hp(t, µq-r,i(t), r = 1, p) = 0, где p = 1, q - 1, которое представляет собой систему q - 1 неоднородных алгебраических уравнений относительно µq-r,i(t), r = 1, q - 1. Поскольку в (26) и (27) величина Dk-r является множителем при µq-r,i(t), а Ds = 0 при s < 0, то hl(t, µq-r,i(t), r = 1, l) содержит l различных искомых функций µq-r,i(t), r = 1, l, причем искомая функция µq-l,i(t) в hl(t, µq-r,i(t), r = 1, l) входит линейно. Отсюда следует, что система Модифицированный метод регуляризации (30) однозначно разрешима относительно µq-r,i(t), r = 1, q - 1. Искомые функции µq-r,i(t), r = 1, q - 1, определяются путем последовательного разрешения неоднородных алгебраических уравнений hl(t, µq-r,i(t), r = 1, l) = 0, линейных относительно вычисляемой искомой функции µq-l,i(t).

Итак, с учетом равенств (30), составленных для доопределения µq-r,i(t), r = 1, q - 1, уравнения последовательностей (26) и (27) с p = 1, q - 1 выполняют(s) ся тождественно по t при произвольных Xii (t), s = 0, q - 2, уравнение, соответствующее p = q, представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное (0) уравнение первого порядка относительно Xii (t), каждое последующее уравнение (26), (27), соответствующее p >q, с учетом всех предшествующих равенств является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого по(p-q) рядка относительно Xii (t), коэффициенты которого известные функции t. Таким образом, описанная выше модификация метода регуляризации позволяет построить нетривиальное решение задачи Коши [1] при q > 1. При этом начиная с p = q и с учетом (30) последовательность уравнений (26), (27), как и в [1], разрешается путем последовательного интегрирования линейных обыкно(p-q) венных дифференциальных уравнений первого порядка относительно Xii (t).

В [2] рассмотрен пример для случая q =4.

ЛИТЕРАТУРА 1. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

2. Баирова Н. К., Германович О. П., Субботин С. В. Асимптотическое интегрирование одной сингулярно возмущенной задачи управления энергетическими объектами: Докл.

юбилейной НТК СЗПИ. СПб.: CЗПИ, 2000. С. 117–122.

Статья поступила 14 ноября 2001 г., окончательный вариант 14 мая 2003 г.

Германович Олег Пантелеймонович Северо-западный гос. заочный технический университет, ул. Миллионная, 5, Санкт-Петербург gero@online.ru, Малышев Александр Владимирович ОАО Федеральная сетевая компания, филиал: магистральные электрические сети Северо-Запада, ул. Курчатова, 1, Санкт-Петербург mes11@mes-sz.spb.ru

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.