WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2003. Том 44, № 6 УДК 517.928.2 МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ О. П. Германович, А. В. Малышев Аннотация: Рассмотрена задача Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с малым параметром E в степени q при производной. Исследована возможность использования для решения поставленной задачи метода регуляризации теории сингулярных возмущений, предложенного С. А. Ломовым. Показано, что при q > 1 применение процедуры метода регуляризации, изложенной в монографии С. А. Ломова, позволяет в классе безрезонансных решений построить только тривиальное решение поставленной задачи. Предложена и описана модификация процедуры, позволяющая построить нетривиальное решение поставленной задачи в пространстве безрезонансных решений.

Ключевые слова: сингулярность, возмущение, регуляризация.

Теория сингулярных возмущений имеет давнюю историю. Среди большого числа различных методов теории сингулярных возмущений особое место занимает предложенный С. А. Ломовым метод регуляризации [1]. В настоящее время метод регуляризации успешно развивается, а его идеи распространяются на новые классы сингулярно возмущенных задач. Ниже излагается применение метода регуляризации к одной из таких задач.

Рассмотрим задачу Коши m-q q Dkk(t) =C(t, )X(t), X(0) = X0, (1) k=0 где X(t) вектор-функция, Dk R, D0 =0, q 1, 1 малый параметр, C(t, ) n n-матрица, непрерывная по t и являющаяся полиномом степени r относительно, т. е.

r C(t, ) =C0(t) + Ck(t)k, (2) k=1 Ck(t) n n-матрица, непрерывная по t.

Используя (2), перепишем (1) так:

m-q r LX q Dkk(t) - C0(t)X(t) - kCk(t)X(t) =0, (3) k=0 k=1 откуда предельным оператором будет L0 C0(t).

Для решения задачи (1) воспользуемся методом регуляризации [1]. Пусть bk(t) и k(t), k = 1, n, собственные векторы и собственные значения матрицы C0(t) соответственно. Рассмотрим случай, когда спектр предельного оператора простой (используя соображения, изложенные в [1], можно распространить результаты и на другие случаи), а именно © 2003 Германович О. П., Малышев А. В.

1256 О. П. Германович, А. В. Малышев k(t) = j(t) при всех t [0, a] и всех k = j, k, j = 1, n, s(t) = 0 при всех t [0, a] и s = 1, n.

Следуя [1], введем n новых независимых переменных t ti = i(t) dt i(t, ). (4) qDТогда в расширенном пространстве вместо (1) имеем следующую задачу Коши:

m-q n r X 1 X TX q Dkk + i(t) - C0(t)X - kCk(t)X =0, t D0q ti k=0 i=1 k=(5) X(0, 0, ) =X0, где X = X(t, ti, i = 1, n, ). Для предельного расширенного оператора T0 задача Коши такова:

n W T0W i(t) - C0(t)W =0, W(0, 0) = X0. (6) ti i=Поскольку любое решение предельной задачи (6) принадлежит области определения расширенного оператора T, задача (5) является регулярной по при 0 и решение X(t, ti, i = 1, n, ) можно искать в виде ряда X = jXj(t, ti, i = 1, n). (7) j=Подставляя (7) в (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, найдем следующую последовательность уравнений:

p p p n Xp-k Dk Xp-k T0Xp = Ck(t)Xp-k- Dk-q - i(t), p =0, 1, 2,....

t D0 ti k=1 k=1 k=1 i=(8) Здесь следует учитывать, что Xs 0 при s <0, Ds = 0 при s <0 и при s >m-q и Ck 0 при k >r.

Для каждого уравнения последовательности (8) ставится задача Коши так [1]:

X0(0, 0) = X0, Xp(0, 0) = 0, p =1, 2,.... (9) Следуя [1], введем в рассмотрение специальное конечномерное1 гильбертово пространство, так называемое пространство безрезонансных решений, натянутое на элементы {exp ti · bj(t)}, i, j = 1, n, и {bj(t)}, j = 1, n.

В этом пространстве искомые коэффициенты Xp асимптотического ряда (7) запишутся в форме разложения по элементам пространства безрезонансных решений:

n n n (p) (p) Xp(t, ti, i = 1, n) = Xij (t) exp ti · bj(t) + Xj (t)bj(t), (10) i=1 j=1 j=Размерность пространства определяется количеством вводимых дополнительных независимых переменных, число которых равно количеству собственных значений предельного оператора L0. В рассматриваемом случае оно конечно.

Модифицированный метод регуляризации (p) (p) где Xij (t) и Xj (t) искомые функции. Подставим (10) в (8), тогда n n n (p) (p) Xis (t)(i - s) exp ti · bs(t) - Xs (t)sbs(t) i=1 s=1 s= n n p n bj (p-k) = exp ti · bs(t) Xij (t) Ckbj, b - Dk-q, b s s t i=1 s=1 k=1 j= n n p p (p-k) Xis (t) Dk (p-k) - exp ti · bs(t) Dk-q + iXis (t) t Di=1 s=1 k=1 k= n p n bj (p-k) + bs(t) Xj (t) Ckbj, b - Dk-q, b s s t s=1 k=1 j=n p (p-k) Xs (t) - bs(t) Dk-q (11) t s=1 k=для p =0, 1, 2, 3.... Равенство (11) должно выполняться тождественно по t и для любого p =0, 1, 2, 3.... Следуя [1], приравняем нулю коэффициенты при элементах базиса T0, т. е. при exp ti · bi(t), i = 1, n (s = i). Тогда для каждого i = 1, n и p =0, 1, 2... имеем p n bj (p-k) Xij (t) Ckbj, b -Dk-q, b i i t k=1 j=p p (p-k) Xii (t) Dk (p-k) - Dk-q - iXii (t) =0. (12) t Dk=1 k=(l) Напомним, что (12) справедливо при условии Xij (t) 0 для l <0, Ds = 0 для s <0 и s >m- q и Cs(t) 0 при s >r.

Равенства (12), с одной стороны, представляют собой (для каждого p) n (p) уравнений (i = 1, n), которые служат для вычисления Xii (t), и, с другой стороны, в совокупности являются последовательностью уравнений (для каждого (p) i = 1, n) для вычисления Xii (t), p =0, 1, 2,.... Что касается искомых функ(l) (l) ций Xij (t) при i = j и i, j = 1, n и Xj (t), где j = 1, n, то они согласно [1] вычисляются посредством приравнивания коэффициентов левой и правой частей (11) при одноименных членах. Выполняя указанную процедуру, получим (p) для Xis (t) при i = s и i, s = 1, n p n bj (p) (p-k) Xis (t)(i - s) = Xij (t) Ckbj, b - Dk-q, b s s t k=1 j=p p (p-k) Xis (t) Dk (p-k) - Dk-q - iXis (t) =0, p =0, 1, 2, 3, (13) t Dk=1 k=(p) для Xs (t) при s = 1, n p n bj (p-k) (p) - Xs (t)s = Xj (t) Ckbj, b - Dk-q, b s s t k=1 j=p (p-k) Xs (t) - Dk-q, p =0, 1, 2, 3.... (14) t k=1258 О. П. Германович, А. В. Малышев Заметим, что последовательности уравнений (13) и (14) предназначены соот(p) (p) ветственно для вычисления Xis (t) при i = s и Xs (t) для каждого фиксиро ванного i = 1, n и конкретного s = 1, n при s = i через известные функции (l) (l) (l) (l) Xij (t) и Xj (t) соответственно, где j = 1, n (l

Остановимся на рассмотрении случая q >1. Случай q = 1 подробно исследован в [1] и потому не представляет интереса. Что касается случая q >1, то, как будет показано ниже, он имеет особенности и требует для построения нетривиального решения некоторой модификации метода регуляризации, поскольку применение к нему классической процедуры, изложенной в [1], позволяет построить лишь тривиальное решение.

Первоначально рассмотрим (14). Как следует из (14), для каждого s = (p) (l) 1, n функция Xs (t) вычисляется через Xj (t), где j = 1, n и l < p. Отсюда вытекает (l) Лемма 1. Пусть Xj (t) 0 для некоторого p, всех l

(l) Доказательство. Поскольку Xj (t) 0 для l 0 иj = 1, n и по условию (p) s(t) = 0 для любого t и s = 1, n, из (14) непосредственно следует, что Xs (t) для любого p = 0, 1, 2,... и s = 1, n. Заметим, что этот результат является следствием того, что рассматриваемое уравнение (1) однородное. На существо предлагаемого метода факт однородности (1) не оказывает влияния.

Обратимся теперь к рассмотрению (12) и (13). Перепишем предварительно (12) и (13) для удобства так:

p n p (p-k) bj Xii (t) (p-k) Xij (t) Ckbj, b - Dk-q, b - Dk-q i i t t k=1 k=j=j=i p bi Dk (p-k) + Xii (t) Ckbi, b - Dk-q, b - i =0, i = 1, n, (12) i i t Dk= p n bs (p) (p-k) Xij (t)(i - j) = Xis (t) Ckbs, b - Dk-q, b j j t k=s=s =i p (p-k) p Xij (t) bi (p-k) - Dk-q + Xii (t) Ckbi, b - Dk-q, b j j t t k=1 k=p Dk (p-k) - iXij (t), i, j = 1, n, i = j, p =0, 1, 2,.... (13) Dk=Из (12) и (13) непосредственно следует (l) Лемма 2. Пусть Xij (t) 0 для некоторого p и всех l = 0, p- 1, где (p) i, j = 1, n. Тогда Xij (t) 0 для всех i, j = 1, n и любого p.

Условие леммы 2 при q = 1 не имеет места ни для какого p, поэтому процедура, устанавливаемая методом регуляризации [1], в этом случае позволяет, Модифицированный метод регуляризации последовательно разрешая серию уравнений (12), (13), построить нетривиальное решение исходной задачи Коши. При q >1 ситуация иная. В этом случае условие леммы 2 выполняется и, как будет показано ниже, единственное решение, которое удается построить при следовании процедуре, изложенной в [1], лишь тривиальное.

Итак, пусть q > 1. Выделим в серии уравнений (12), (13) для каждого фиксированного i по q - 1 уравнений, которые соответствуют p = 1, q - 1.

(Правая часть уравнения, соответствующая p = 0, для рассматриваемого случая однородного уравнения (1) тождественно равна нулю.) Тогда (12), (13) запишутся так:

для i = 1, n p n p Dk (p-k) (p-k) Xij (t) Ckbj, b + Xii (t) Ckbi, b - i =0, (12 ) i i Dk=1 j=1j=i k= для i, j = 1, n, i = j p Dk (p-k) (p) Xij (t)(i - j) =- iXij (t) Dk=p n p (p-k) (p-k) + Xis (t) Ckbs, b + Xii (t) Ckbi, b. (13 ) j j k=1 s=1s =i k=Здесь учтено, что p

Легко заметить, что согласно (13 ) для любого j = 1, n и j = i (0) (1) (0) Xij (t) 0, Xij (t) = C1bi, b Xii (t). (15) j i - j Из (13 ) непосредственно следует (p) Лемма 3. Пусть Xij (t) для некоторого p

Лемма 3 как следствие (13 ) ограничена по p условием, для которого выписано (13 ). Поскольку лемма 3 согласно (15) выполняется для p = 1, справедлива (p) Лемма 4. Для любого j = 1, n, где j = i, и p = 0, q - 1 величина Xij (t) (p-k) является линейной комбинацией Xii (t), где k = 0, p.

Справедливость леммы 4 очевидна и устанавливается путем последователь(p) ного разрешения (13 ) относительно Xij (t) для p = 0, q - 1. Используя лемму 4, (s) после подстановки в (12 ) вместо Xij (t) выражений для них в форме линейной (s-k) комбинации Xii (t), где k = 0, s, получим, что каждое из q - 1 уравнений последовательности (12 ) (i фиксировано, а p = 0, q - 1) является линейной (p-k) комбинацией Xii (t), где k = 0, p. В силу изложенного выше система первых q - 1 уравнений последовательности (12) имеет для каждого i следующий вид:

p (p-k) hk(t)Xii (t) =0, p = 1, q - 1. (16) k=1260 О. П. Германович, А. В. Малышев Здесь через hk(t) обозначены коэффициенты известные функции от t, отличные от тождественного нуля. Поскольку коэффициенты hk(t) зависят только от индекса k, в системе (16) содержится только q -1 различных коэффициентов hk(t), что существенно для дальнейшего. Так как система (16) однородная, а коэффициенты ее суть известные функции от t, отличные от нуля, то система (16) имеет единственное, тривиальное решение (p) Xii (t) 0. (17) Таким образом, справедливо Утверждение. При q >1 применение для решения задачи Коши (1) процедуры, изложенной в [1], позволяет построить в классе безрезонансных решений вида (10) только тривиальное решение.

На основе детального анализа систем (12 ) и (13 ) в [2] для частного случая была предложена модификация процедуры метода регуляризации и дано ее описание. Она позволила преодолеть затруднения, возникшие при применении процедуры, изложенной в [1], к решению задачи Коши (1) в случае q >1.

Сущность предлагаемого метода состоит в следующем.

Помимо ti, где i = 1, n (см. (4)), которые теперь для единообразия в обозначениях запишем так:

t tqi = i() d, i = 1, n, (18) D0q введем дополнительно n(q - 1) новых нерегуляризирующих независимых переменных t tri = µri() d, i = 1, n, r = 1, q - 1. (19) D0r Здесь µri() произвольные функции, которые доопределяются в ходе построения решения. Далее, следуя [1], вместо X = X(t, ) введем новую искомую расширенную функцию X = X(t, tsi, i = 1, n, s = 1, q, ), которая является теперь функцией nq + 1 независимых переменных. Вычислим q-1 n n d X 1 1 X 1 X X(t, ) = + µri(t) + i(t).

dt t D0 r tri D0q tqi r=1 i=1 i=Тогда для нового расширенного оператора T имеем вместо (5) следующую задачу Коши:

m-q n X 1 X TX q Dkk + i(t) t D0q tqi k=0 i=m-q q-1 n r Dk 1 X + q k µri(t) - C0(t)X - kCk(t)X =0, (20) D0 r tri k=0 r=1 i=1 k= X(0, 0, ) =X0.

Введение нерегуляризирующих переменных не только не меняет предельного расширенного оператора T0, который, как и ранее, имеет вид n T0 i(t) - C0(t), tqi i=Модифицированный метод регуляризации но и не вносит каких-либо коренных изменений в существо метода регуляризации, так что метод регуляризации в основных своих чертах сохраняется прежним. Это и дает право называть предлагаемую методику модифицированным методом регуляризации.

Поскольку решение предельной задачи принадлежит, как и ранее, области определения расширенного оператора T, решение (20) допускает представление в виде X = jXj(t, tsi i = 1, n, s = 1, q). (7) j=Подставляя (7) в (20) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующую последовательность уравнений:

r m m-q Xp-k Dk n Xp-k T0Xp = Ck(t)Xp-k - Dk-q - i(t) t D0 tqi k=1 k=q k=1 i=m-q q-n Xp-[k+(q-r)] Dk - µri(t), p =0, 1, 2, 3,....

D0 tri k=0 i=1 r= Поскольку Xs 0 при s <0, Ds = 0 при s <0 и при s >m-q и, наконец, Ck при k > r, полученную последовательность можно переписать окончательно так:

p p p n Xp-k Dk Xp-k T0Xp = Ck(t)Xp-k - Dk-q - i(t) t D0 tqi k=1 k=1 k=1 i=p q-n Dk-(q-r) Xp-k - µri(t), p =0, 1, 2, 3,.... (21) D0 tri k=1 i=1 r= Здесь учтено, что Xs 0 при s <0, Ds = 0 при s <0 и при s >m- q и Ck при k >r.

Для каждого уравнения последовательности (21) ставится задача Коши [1] X0(0, 0) = X0, Xp(0, 0) = 0, p =1, 2,....

Решение (21) будем искать, как и в [1], в пространстве безрезонансных решений, т. е. в форме n n n (p) (p)bj(t), (22) Xp(t, tsi, i = 1, n, s = 1, q) = Xij exp tqi bj(t) + Xj i=1 j=1 j=с той лишь разницей, что, поскольку введены дополнительно (q - 1)n независи (p) (p) мых переменных, в определении Xij и Xj сохраняется значительный произ вол. Для устранения этого произвола доопределим Xp специальным образом, сохраняя при этом структуру решения. Для достижения желаемого результата (p) доопределим скалярные функции Xij, входящие в (22), так:

q- (p) (p) Xij = Xij (t) exp tri для всех i = 1, n. (23) r=1262 О. П. Германович, А. В. Малышев (p) Относительно Xj, как и прежде, будем полагать, что (p) (p) Xj = Xj (t). (24) Итак, модифицированный метод регуляризации имеет две отличительные особенности.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.