WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Доказательство теоремы 2.1. Из [4] известны представления + 1 r0 () W1() = -K- + eb + 1(), + r1 () r1 () (9) 1 r0 () W2() = K+ - ea + 2(), r2 () r2 () где K+ и K- некоторые зависящие от a и b константы, и (b,) + r2 () + c r2 () + 1() = -0 () W2(), + r0 () - c 1 () (10) (-,a) - + r1 () - c r1 () 2() = -0 () W1() - + + c r0 () 2 () для произвольного c > 0.

Дальнейшие наши действия будут состоять в следующем. Мы покажем, что последние слагаемые в правых частях (9) соответствуют остаточным членам в асимптотических представлениях для вероятностей (2), (3). Таким образом, главные члены искомой асимптотики будут определяться первыми слагаемыми в правых частях (9). Как функции переменной эти выражения легко обращаются, но в них присутствуют константы K+ и K-. Алгоритм их нахождения предложен в [4], однако он сложен и не приводит к компактным выражениям. С другой стороны, для наших целей достаточно будет ограничиться нахождением асимптотических представлений для величин K± при b - a, что и будет сделано ниже.

Далее под ci будем понимать константы, не зависящие от a и b, а буквой будут обозначаться положительные постоянные, возможно, различные в разных выкладках. С помощью леммы 3.1 можно получить оценки (см. [4]) + r2 () + c (b-a,), 1() c1 W2() + (11) r0 () - c r1 () - c (-,a-b).

2() c2 W1() - (12) + c r0 () Асимптотика стационарного распределения Положим K = max{W1(0), W2(0)} (эта величина зависит от a и b), и пусть + r2 () + c = exdA(x), + r0 () - c здесь A функция ограниченной вариации в соответствии с леммой 3.5. Используя леммы 3.2 и 3.5, можно записать (11) в следующем виде:

K 1() c1K |dA(x)| l, (13) b - a b-a где символом l мы будем для краткости обозначать любую величину, имеющую порядок малости o при b - a.

(b-a)k- В последующем нам понадобится оценка для 1(). Из лемм 3.4 и 3. следует, что выражение + - + r2 () + c r2 () r2 () + c r2 () W2() = W2() + - + r0 () - c 1 () r0 () - c 1 () + - + r2 () + c r2 () r2 () + c r2 () + W2() + W2() + - + r0 () - c 1 () r0 () - c 1 () I1() + I2() + I3() является ПЛС функции ограниченной вариации. Таким образом, применяя лемму 3.2, можно записать:

+ 1() = -0 ()[I1() + I2() + I3()](b,) (b,) + r2 () + c r2 () + - (0 ()) W2(). (14) + r0 () - c 1 () + Так как (0 ()) ПЛС функции ограниченной вариации (см. лемму 3.5), + r2 () +c функция есть ПЛС функции ограниченной вариации, сосредоточен+ -c r0 () r2 () ной на неотрицательной полуоси, W2() ПЛС функции ограниченной 1 () вариации с изменением на полуоси (-, a), по лемме 3.1 второе слагаемое в (14) не превосходит по норме + r2 () + c (b-a,) K c3 W2() + = l. (15) r0 () - c b - a + r2 () +c Отметим, что ( ) является ПЛС функции, сосредоточенной на неот+ -c r0 () r2 () рицательной полуоси, ( ), W2() ПЛС функций, сосредоточенных 2 () на неположительной полуоси и на полуоси (-, a) соответственно. Теперь аналогично предыдущим рассуждениям с помощью леммы 3.1 получим оценки + r2 () + c (b-a,) [I1()](b,) c4 W2() + = Kl, (16) r0 () - c 1122 Д. К. Ким, В. И. Лотов + r2 () + c (b-a,) K [I2()](b,) c5 W2() + = l, (17) r0 () - c b - a + r2 () + c (b-a,) l [I3()](b,) c6 W2() + = W2(), (18) b - a r0 () - c где, напомним, l = o при b - a. Таким образом, на основе (b-a)k-равенства (14) мы показали, что при b - a U 1() = K + l, (19) b - a где U = max W1(), W2(). Совершенно аналогично получаются со отношения при b - a U 2() = K + l, (20) b - a K 2() = l. (21) b - a Перейдем теперь к нахождению неизвестных K- и K+ из (9), а точнее к поиску асимптотических представлений для этих величин. Из [4] известно, что функции W1(), W2(), W0() при Re = 0 связаны между собой соотношением (1 - f1())W1() + (1 - f2())W2() + (1 - f0())W0() = 0. (22) Разделив это выражение на и устремив к нулю, получим (1) (2) E1 W1(0) = -E1 W2(0). (23) Из (9) нетрудно найти значения (1) (0) (2) (2) (2) E1 W1(0) = K-(1)+ + (1)1(0), -E1 W2(0) = K++ (0) - + 2(0), - - поэтому равенство (23) принимает вид (2) (2) (1) (1) + + K- - + 1(0) = K+ (0) - 2(0). (24) (0) (0) (0) (0)+ + (0)+ - - Вторым уравнением для нахождения K+, K- будет условие нормировки W1(0) + W2(0) + W0(0) = 1. (25) Чтобы воспользоваться этим соотношением, займемся изучением поведения величин W1(0), W2(0), W0(0) при b - a. Мы покажем, что главные члены асимптотики этих величин линейно зависят от K±. Подстановка этих асимптотических формул в (24) и (25) позволит нам получить асимптотику K±.

Начнем с анализа W0(0). Используя (9), получим - + 1 - f1() 1 - f2() r1 () eb r2 () ea W0() = - W1() - W2() = K- - K+ + 1 - f0() 1 - f0() r0 () r0 () (2) - + r1 () r2 () (1) eb + ea - 1() - 2() = K- - - K+ (0) 1 - f0() 1 - f0() (0) + Асимптотика стационарного распределения - K-eb exu1(x) dx - K+ea exu2(x) dx - - + r1 () r2 () - 1() - 2().

1 - f0() 1 - f0() Учитывая соотношение (24), перепишем последнее выражение следующим образом:

(1) - ea eb W0() = K- - - K-eb exu1(x) dx (0) (0) (1) + - K- - ea exu2(x) dx + 0(), (26) (2) (0) + где (1) eb - ea 0() = 1(0) (0) (0)+ (1) 2(0) - 1(0) + ea exu2(x) dx (0)(0) (0) - + (2) - + r1 () (1) eb r2 () + ea - 1() + 1(0) - 2() + 2(0).

(0) (0) 1 - f0() (0)+ 1 - f0() (0)+ - (27) U Лемма 3.6. 0() = K + l, где l = o при b - a.

b-a (b-a)k-Доказательство. Так как |i(0)| i(), i = 1, 2, из (13) и (21) сразу же получим, что первое и второе слагаемые в правой части (27) оцениваются по норме величиной Kl при b - a. Рассмотрим третье слагаемое. Положим (1) 1 () для краткости s = и напомним, что является ПЛС функции - + 0 ()0 () (0)(0) - + ограниченной вариации. Перепишем рассматриваемое слагаемое в виде r1 () eb 1() + s1(0) 1 - f0() - c 1 () eb - c = 1() + s1(0) R(). (28) - + - c 0 ()0 () Нетрудно видеть, что R() является ПЛС функции ограниченной вариации и R() R() c7 1(). Остается показать, что также ПЛС функции ограни ченной вариации и R() U = K + l b - a 1 (0) s при b-a. Так как =, с помощью лемм 3.2, 3.5 и элементарных + c 0 (0)0 (0) преобразований устанавливаем, что выражения 1 () s X() - -1, + c 0 ()0 () 1124 Д. К. Ким, В. И. Лотов eb 1 eb - 1 Y () + -1 = + - c c ( - c) c( - c) являются ПЛС функций ограниченной вариации.

Имеем, далее, R() 1() - 1(0) c = cX()1() + cs1(0)Y () + s. (29) Для первых двух слагаемых из правой части имеют место оценки cX()1() + cs1(0)Y () c8b 1() Kl.

Так как 1() ПЛС функции ограниченной вариации (см. (14)), из (19) и леммы 3.2 получаем, что 1() - 1(0) U = K + l b - a при b - a. Такая же оценка для четвертого слагаемого в (27) устанавливается аналогично.

Лемма доказана.

Теперь из (9), (24) и (26) находим (0) (1) + (1) U W0(0) = K- - (b - a) - K-A - K-B + K + l, (2) b - a (0) + (0) - K (0) W1(0) = K-p1+ + l, b - a (0) K (1)+ K W2(0) = -K+p2(0) + l = -K-p2 - + l.

(2) b - a + b - a Из условия нормировки (0) (1) 1 (0) + W1(0) + W2(0) + W0(0) = K- - (b - a) 1 - A + B (2) b - a (0) (1) + - (0) p1 (0)(0) p2 (0)+ U - + + - + K + l (2) b - a b - a (1) b - a + (1) L U K- - (b - a) 1 + + K + l = b - a b - a (0) следует, что U K + (0) - b-a K- = + l, (1) b - a + L b - a + L и с помощью (24) получаем (0) U K + + b-a K+ = + l.

(2) + b - a + L b - a + L Если мы подставим K+ и K- в (9) и продифференцируем в этих выражениях функции W1() и W2(), то нетрудно оценить порядок убывания K и U при b - a :

K = max(W1(0), W2(0)) = O, b - a Асимптотика стационарного распределения U = max W1(), W2() = O(1).

Подставляя теперь K+ и K- в (9) и (26), имеем + (0) 1 1 r0 () W1() = - eb + 1(), + (1) b - a + L r1 () (0) 1 1 r0 () + W2() = ea + 2(), (2) b - a + L r2 () + 1 eb - ea (0) W0() = - eb exu1(x) dx b - a + L (1) (0) + - ea exu2(x) dx + 0(), (2) + где 1 i() = o, i = 1, 2, 0() = o.

(b - a)k (b - a)k-Нетрудно видеть, что первые члены полученных соотношений являются ПЛС ± главных членов в формулировке теоремы. Это следует из равенства -1r0 () = (0) (0) (0) (0) (1) (2) ± -± Ee, соотношений (6) и + (0) = -E 1 /2, (1) = p1E1, + = - (2) p2E1. Таким образом, полученные выражения для Wi() вместе с оценками остатков эквивалентны утверждению теоремы 2.1 в той части, где наложены моментные ограничения.

Предположим теперь, что выполнены условия (A2). Тогда функции + + r2 () + c 2 () + c r1 () - c =, + + r0 () - c + c 0 () - c r0 () аналитичны соответственно в областях Re < и Re > - для некоторого > 0. Таким образом, по лемме 3.3 из неравенств (11) и (12) следует, что i() = O(e(a-b)), i = 1, 2, при b - a. Применяя те же рассуждения и учитывая, что U = O(1) при b-a, из соотношений (15)–(18) и аналогичных r1 () -c неравенств для функции выводим оценку +c r0 () i() = O(e(a-b)), i = 1, 2, при b - a. Так как норма 0() известным образом выражается через нормы функций i() и i() (см. доказательство леммы 3.6, равенства (28), (19)), сразу же получаем, что 0() = O(e(a-b)) при b - a. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2.2. Из [4] известны представления (b,) + r0 () 1 - f2() W1() = - W2(), (30) + + r1 () r0 ()r1 () 1126 Д. К. Ким, В. И. Лотов R+ r0 () W2() = ea + q2(), (31) r2 () где R+ зависящая от a и b константа и (-,a) 0 () 1 - f1() q2() = - W1().

- - + r2 () 0 ()r2 () Функции + r2 () + c r1 () - c, + + c r0 () r0 () являются ПЛС функций ограниченной вариации, сосредоточенных на неотрицательной и неположительной полуосях соответственно; функции - + r2 () r1 () W2(), W1() - + 1 () 2 () ПЛС функций ограниченной вариации, сосредоточенных на полуосях (-, a) и (b, ) соответственно. Применив лемму 3.1, получаем оценки + + r2 () + c (b-a,) r0 () r2 () W2(), (32) W1() + + - r1 () r0 () () - - + r1 () - c (-,a-b) 0 () r1 () W1(). (33) q2() + - - + c r2 () r0 () 2 () В условиях теоремы ПЛС функций ограниченной вариации будут являться -+ (k - 1)-я производная функции r0 () (это следует из тождества (7) и ко(0) + нечности момента E|S |k-1 < (см. [9])) и функции 2 () (см. лемму 3.5).

Поэтому (k - 1)-я производная функции + (0) r2 () + c + c + = k0EeS 2 () + - c r0 () также будет ПЛС функции ограниченной вариации. Отсюда с помощью леммы 3.2 получаем, что + r2 () + c (b-a,) = o.

+ (b - a)k-r0 () В итоге на основе этих и аналогичных утверждений относительно функции r1 () -c (см. лемму 3.5) выводим, что +c r0 () 1 W1() = o, q2() = o (34) (b - a)k-1 (b - a)k-при b - a. Первое из этих соотношений, очевидно, влечет справедливость (0) 1-f1() первого из утверждений (4). Далее, так как при E1 = 0 функции, 1-f0() 1-f1() являются ПЛС функций ограниченной вариации, то при b - a 1-f0() также 1 - f1() 1 1 - f2() W1() = o, q2() = o.

1 - f0() (b - a)k-1 1 - f0() (b - a)k-Асимптотика стационарного распределения Таким образом, с помощью тождества (22) можно записать:

1 - f1() 1 - f2() W0() = - W1() - W2() 1 - f0() 1 - f0() + 1 - f1() r2 () ea 1 - f2() = - W1() - R+ + - q2() 1 - f0() 1 - f0() r0 () + 1 r2 () -R+ + ea + (), (35) r0 () где () = o (36) (b - a)k-при b - a.

Асимптотику величины R+ при b-a можно найти с помощью условия нормировки (25):

(2) -p2(0)R+ + k0+ R+ + o = 1, (b - a)k-откуда -(2) R+ = k0+ - p2(0) + o.

(b - a)k-Подставим это выражение в (31) и (35). Остается заметить, что главные члены полученных соотношений являются ПЛС первых слагаемых в правых (2) + + частях (4) и (5). Это следует из равенства -(2)Ee = -1r2 () и анало+ (0) (0) гичного равенства для -, а также из соотношений (6), (7) (0) = k0E1, (2) (2) + = p2E1. Вместе с оценками (34) и (36) это доказывает утверждения (4) и (5) теоремы.

Займемся уточнением теоремы в крамеровском случае. Рассмотрим для этого функцию W1() более подробно. Подставив (31) в (30), получим + (b,) r2 () + r0 () r0 () W1() = -R+ + + ea + q1(), (37) r1 () r0 () r1 () где (-,a) + r0 () 1 - f2() q1() = - q2().

+ + r1 () r0 ()r1 () На основе тех же рассуждений, что были использованы для получения оценки (32), при помощи леммы 3.1 можно получить оценку + + r2 () ( + c) (b-a,) r0 () r0 () q2(). (38) q1() + + - r1 () r0 () 1 () Заметим, что если выполнено условие (A2) и существует (0, +) такое, + что f0() = 1, то в этом случае функция r0 () имеет единственный действитель -+ ный нуль > 0, функция r0 () будет аналитична в области Re <, ком+ поненты факторизации ri (), i = 0, 1, 2, аналитичны в полуплоскости Re < + - + и ri () в полуплоскости Re > -. Так как функция -1r2 () вновь будет аналитична в области Re < + (см. [9]), справедливо представление + + r2 () r2 () = + (), + + ( r0 () - ) (r0 ()) 1128 Д. К. Ким, В. И. Лотов где функция () аналитична уже в области Re < + и является ПЛС функции ограниченной вариации с изменением на неотрицательной полуоси.

Подставив это выражение в (37), нетрудно видеть (см. [4, лемма 3.2]), что + 1 r0 () W1() = -R- + eb + N1() + q1(), (39) + r1 () - r1 () где (b,) - + r0 () e(a-b) r2 () r0 () + N1() = -r0 () () ea, R- = R+. (40) - + r1 () (r0 ()) r1 () Принимая во внимание область аналитичности функции () и используя леммы 3.1 и 3.3, приходим к оценке + 1 r0 () r0 () [()](b-a,) c9e(+)(a-b) (41) N1() + + - r1 () r1 () r1 () аналогично тому, как были найдены оценки (32) и (33). Как уже отмечалось, функция r1 () - c + c r0 () аналитична в области Re > - и поэтому с помощью леммы 3.3 оценку (33) можно записать в виде q2() c10e(a-b) W1().

Отсюда сразу же следует (см. (38)), что q1() c11e(+)(a-b) W1(). (42) Теперь из равенств (39)–(42) находим, что при b - a W1() = O(e(a-b)), поэтому q2() = O(e(+)(a-b)).

Рассмотрим выражение (35). Привлекая полученные выше соотношения (39) и (40), можно записать:

+ - 1 r2 () r1 () eb r1 () W0() = -R+ + ea + R- - N1() r0 () r0 () - 1 - f0() + - 1 - f2() 1 - f1() e(a-b) r2 () r0 () r1 () eb - q2() - q1() = R+ + - 1 - f0() 1 - f0() (r0 ()) r1 () r0 () - + 1 r2 () - R+ + ea + 0(), (43) r0 () где 0() = O(e(+)(a-b)) при b - a.

Как и ранее, с помощью условия нормировки (25) на основе тождеств (31), (43), (39) можно уточнить значение R+, а именно, при b - a -+ e(a-b) r2 () r0 () p1 (1) (2) R+ = k0+ - p2(0) + - + O(e(+)(a-b)).

2 + -() k0 (0) (r0 ()) rПодставив это выражение в (31), (40), (39) и (43), получим утверждение второй части теоремы. Теорема доказана.

Авторы выражают благодарность Б. А. Рогозину, внимательно прочитавшему рукопись и сделавшему ряд ценных замечаний.

Асимптотика стационарного распределения ЛИТЕРАТУРА 1. Лотов В. И. Об осциллирующих случайных блужданиях // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37,.

№ 4. С. 869–888.

2. Боровков А. А. Предельное распределение для осциллирующего случайного блуждания // Теория вероятностей и ее применения. 1988. Т. 25, № 3. С. 663–665.

3. Прохоров Ю. В. Управление винеровским процессом при ограниченном числе переключений // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1964. Т. 71. С. 82–87.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.