WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2004. Том 45, № 5 УДК 519.21 АСИМПТОТИКА СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОСЦИЛЛИРУЮЩЕГО СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ Д. К. Ким, В. И. Лотов Аннотация: Получены теоремы об асимптотике стационарного распределения осциллирующего случайного блуждания с двумя уровнями переключений при условии, что расстояние между уровнями неограниченно увеличивается.

Ключевые слова: осциллирующее случайное блуждание, стационарное распределение, асимптотические разложения.

1. Введение (i) Пусть n n=1, i = 0, 1, 2, три независимые последовательности независимых случайных величин, одинаково распределенных внутри каждой последо(1) (2) вательности; при этом предполагается, что En < 0, En > 0. Пусть a и b произвольные числа, a 0 b, и X0 случайная величина, независимая от (i) n n=1, i = 0, 1, 2. Определим цепь Маркова следующим образом: для n 1 положим (0) Xn-1 + n, если Xn-1 [a, b], (1) Xn = Xn-1 + n, если Xn-1 > b, (2) Xn-1 + n, если Xn-1 < a.

Случайные блуждания, вероятностные характеристики которых меняются при достижении некоторых множеств, обычно называют осциллирующими. В ряде работ (ссылки можно найти в [1]) изучались осциллирующие блуждания с переключением в нуле. В частности, с помощью факторизационных методов для таких блужданий в статье А. А. Боровкова [2] найдены преобразования Лапласа Стилтьеса стационарного распределения. Можно рассматривать более общую схему, когда переключения между двумя последовательностями скачков происходят поочередно после достижения полуосей (b, ), (-, a). Простейшие случайные блуждания такого типа впервые рассматривались в работе Ю. В. Прохорова [3]. Некоторые модификации этой модели при различных предположениях на распределения скачков изучались Д. В. Гусаком (см. ссылки в [1]). Позже в [1] для этой же схемы блуждания, но в более широких предположениях относительно исходных распределений были найдены преобразования Лапласа Стилтьеса распределений цепи в стационарном и достационарном режимах.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 02–01–00358, 03–01–06312), Минобразования России (грант А03– 2.8–357) и фонда Президента РФ (грант НШ–2139.2003.1).

© 2004 Ким Д. К., Лотов В. И.

Асимптотика стационарного распределения В настоящей работе мы также имеем два уровня переключений, однако переключение здесь производится между тремя последовательностями скачков в зависимости от того, в какой из трех зон находится блуждающая частица. Эта же модель изучалась в предыдущей публикации авторов [4], где были найдены факторизационные представления для двойных производящих функций W1(z, ) = zn exP(Xn dx), n=b a W2(z, ) = zn exP(Xn dx), n= b W0(z, ) = zn exP(Xn dx) n=a и для функций a b W1() = exdF (x), W2() = exdF (x), W0() = exdF (x), b - a где F (x) = lim P(Xn < x) функция распределения, соответствующая стациn онарному режиму. В данной работе продолжается изучение свойств введенного осциллирующего случайного блуждания. Ясно, что полученные в [4] выражения для преобразований Лапласа Стилтьеса в общем случае не допускают простых процедур обращения, однако они могут быть основой для асимптотического анализа распределений в той или иной предельной схеме. Мы будем рассматривать ситуацию, когда расстояние между регулирующими границами неограниченно увеличивается, т. е. b - a. В этих условиях найдена асимптотика стационарного распределения F (x) вместе с оценкой по вариации убывания остатка. Всюду в работе предполагается выполненным следующее условие.

(i) (A1) Функции распределения случайных величин n n=1, i = 0, 1, 2, имеют ненулевые абсолютно непрерывные компоненты.

(0) (0) Отдельно исследованы случаи E1 = 0 и E1 = 0.

2. Предварительные сведения и формулировки результатов Для формулировки результатов нам понадобится ряд обозначений. Положим для i = 0, 1, (i) (i) (i) (i) S0 = 0, Sn = 1 + · · · + n, (i) (i) (i) (i) + = inf n 1 : Sn 0, - = inf n 1 : Sn < 0, (i) = S(i) (i) ± ± (i) (везде полагаем inf = ). На множествах ± = случайные величины (i), i = 0, 1, 2, можно считать неопределенными.

± Пусть (1) (1) (2) S = sup Sn, S(2) = inf Sn, nn1114 Д. К. Ким, В. И. Лотов -1 -(1) (2) p1 = 1 - P + <, p2 = 1 - P - <.

Мы будем также использовать обозначения (0) (0) (0) S = sup Sn, S(0) = inf Sn, nn -1 -(0) (0) k0 = 1 - P + <, p0 = 1 - P - < (i) в тех случаях, когда эти величины конечны. Если E (i) <, то через ± ± -1 будем обозначать случайные величины с плотностями E(i) P (i) > x и + + -1 (i) E|(i)| P (i) < -x для x 0 (±± принято называть величинами пере- (i) скока последовательностями Sn через бесконечно удаленные барьеры).

Для собственных случайных величин (i) положим ± (i) (i) ± = E(i), ± = E (i), ± ± (0) (1) (0) (2) (2) (0) 1 (1)- - (0)- 1 + + - + + - A =, B =, (0) (0) 2 - + (0) p1 p2 (0) + (0) M = + (0) -, L = M - A - B.

(2) (2) (1) + (1) + - Всюду в работе, где участвует переменная (если не оговорено противное), будем считать, что Re = 0.

Пусть (i) fi() = Ee, i = 0, 1, 2.

+ Мы будем использовать компоненты ri (), ri () факторизационных представлений (см., например, [5]) + 1 - fi() = ri () ri (), (1) где (i) (i) ± ± ri () = 1 - E e ; ± <, i = 0, 1, 2.

(0) (i) Из [6] вытекают следующие факты: если E1 = 0, E 1 <, i = 1, 2, (0) E 1 <, то следующие функции являются преобразованиями Лапласа Стилтьеса (ПЛС) функций ограниченной вариации и представимы в виде (1) -() r- -1 = exu1(x) dx, (0) r0 () (2) + r2 () + - -1 = exu2(x) dx + (0) r0 () + для некоторых функций u1(x), u2(x). Нетрудно видеть, что u1(x) dx = A, u2(x) dx = B.

- В некоторых ситуациях нам понадобится следующее условие крамеровского типа.

(j) (A2). Ee <, j = 0, 1, 2, для любого (-, +), где - < 0 < +.

В дальнейшем через X будем обозначать случайную величину, имеющую функцию распределения F (x).

Асимптотика стационарного распределения (0) Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (A1), E1 = 0 и для некоторого целого k k+1 k (0) (i) E 1 <, E 1 <, i = 1, 2.

Тогда для любого x 0 при b - a (0) E 1 (1) (0) P(X > b + x) = P S + + > x + o, (2) (1) b - a + L (b - a)k 2 E (0) E 1 (0) P(X < a - x) = P S(2) + - < -x + o (3) (2) b - a + L (b - a)k 2Eи равномерно по всем борелевским множествам B [a, b] 1 (0) (0) - + P(X B) = 1 - u1(t - b) - u2(t - a) dt + o.

b - a + L (b - a)k-(1) (2) - + B Если выполнено условие (A2), то остаточные члены во всех этих соотношениях можно заменить на O(e(a-b)) для некоторого > 0.

Следствие 2.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 при k = 2. Тогда для любого r (0, 1) (0) (2) rL + B+ /+ P(X [a, a + r(b - a)]) = r - + o, b - a + L b - a rL + A(0)/(1) - P(X [b - r(b - a), b]) = r - + o.

b - a + L b - a Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (A1) и для некоторого целого k k (i) (0) E 1 <, i = 0, 1, 2, E1 < 0.

Тогда для любого x 0 при b - a P(X > b + x) = o((b - a)1-k), (0) E1 (0) P(X < a - x) = P S(2) + - < -x + o((b - a)1-k) (4) (0) (2) E1 - Eи равномерно по всем борелевским множествам B [a, b] (2) E1 (2) (0) P(X B) = P S + + B + o((b - a)1-k). (5) (2) (0) E1 - EЕсли к тому же выполнено уcловие (A2) и существует (0, +) такое, что f0() = 1, то предыдущие соотношения допускают следующее уточнение: для некоторого > 0 при b - a p1k0 (1) P(X > b + x) = R1P S + + > x + O(e(+)(a-b)), (0) (0) E(0) P(X < a - x) = R2P S(2) + - < -x + O(e(+)(a-b)) (0) (2) E1 - E1116 Д. К. Ким, В. И. Лотов и равномерно по всем борелевским B [a, b] (2) E1 (0) (2) P(X B) = R2P S + + B (2) (0) E1 - E + R1 u3(y - b) dy + O(e(+)(a-b)), B где -+ 1 e(a-b) r2 () r0 () p1 (1) R2 = 1 + -, + (2) k0+ - p2(0) 2 (r0 ()) r1 () k0 (0) - + e(a-b) r2 () r0 () (2) R1 = R2 k0+ - p2(0).

+ (r0 ()) r1 () Случайная величина + не зависит от исходных последовательностей, ее рас(0) пределение задается с помощью ПЛС + (0) r0 () + Ee = -, k0 - функция u3 задается соотношением 0 - r1 () r1 () eyu3(y) dy = - ( - )-1.

- r0 () r0 () Замечание 1. Асимптотическое поведение при x функций вида (1) (0) (0) P S + + > x и P S(2) + - < -x изучалось в работах [7, 8] для широкого класса случаев. Например, если выполнено условие (A2) и существует (1) (0) (0) q (0, +) такое, что f1(q) = 1, E exp q+ <, то P S + + > x = ce-qx(1 + o(1)) для некоторой известной константы c.

Замечание 2. Как следует из доказательств сформулированных теорем, указанный в них порядок убывания остаточных членов относится к полной вариации этих остатков.

3. Доказательства теорем В дальнейшем нам потребуется несколько вспомогательных утверждений.

Заметим, что в условиях нашей задачи имеют место тождества (см., например, [5]) (1) 1 1 (2) = p1EeS, = p2EeS ; (6) + r1 () r2 () (0) если E1 < 0, то (0) = k0EeS, (7) + r0 () (0) если E1 > 0, то 1 (0) = p0EeS.

r0 () Асимптотика стационарного распределения Пусть Q() ПЛС функции ограниченной вариации U(x):

Q() = ex dU(x).

Введем обозначения D ex dU(x) = ex dU(x), Var U = |dU(x)| D - D D для любого борелевского множества D R, и на множестве функций, представимых при Re = 0 в виде ПЛС функции ограниченной вариации, определим норму Q = Q() = Var U = |dU(x)|.

Лемма 3.1. Пусть F1(x), F2(x) функции ограниченной вариации. Если F (y) = F2(y-t)dF1(t) и вс изменение F1(x) сосредоточено на полуоси (b, ), е а F2(x) на (-, 0), то Var F (y) Var F2(y) Var F1(y).

(-,a) (-,a-b) Если вс изменение F1(x) сосредоточено на полуоси (-, a), а F2(x) на (0, ), е то Var F (y) Var F2(y) Var F1(y).

(b,) (b-a,) Доказательство леммы очевидно.

Лемма 3.2. Пусть для некоторого целого k 1 функции k () = ex d(x), () = ex d(x) k являются при Re = 0 ПЛС функций ограниченной вариации. Тогда для любого целого i k i 1) функция () является ПЛС функции ограниченной вариации, и i i () = exxi d(x);

i 2) для любого борелевского D R D i i [()]D = () ;

i i ()-(0) 3) функция является ПЛС функции ограниченной вариации, и () - (0) ().

Доказательства третьего и первого утверждений для k = 1 можно найти в [6], для остальных значений k они проводятся по индукции. Справедливость второго утверждения очевидна.

1118 Д. К. Ким, В. И. Лотов Лемма 3.3. Пусть функция Q() является ПЛС функции ограниченной вариации при Re = 0. Если она аналитична при Re > -, > 0, и непрерывна на границе этой области, то для любого a < [Q()](-,a) cea, где c некоторая константа. Если Q() аналитична при Re < и непрерывна на границе, то для любого b > [Q()](b,) ce-b, где c некоторая константа.

Доказательство можно найти в [9].

k (i) Лемма 3.4. Если E 1 < для некоторого целого k 2 и для i = 0, 1, 2, то E|X|k-1 <.

Доказательство. Пусть Yn возвратная по Харрису (см. [7]) цепь Маркова в R с единственной стационарной мерой (dx); t(x) некоторая неотрицательная измеримая функция и P(x, A) = P(Y1 A|Y0 = x). Мы воспользуемся следующим результатом.

Теорема 3.1 [10]. Для того чтобы t(x)(dx) <, достаточно существоR вания множества A такого, что (A) > 0, t(x)(dx) < и некоторой измериA мой функции g(y) t(y), y Ac, такой, что g(y)P(x, dy) g(x) - t(x), x Ac, (8) Ac и sup g(y)P(x, dy) <.

xA Ac Возвратность по Харрису и существование единственной стационарной меры P(X dx) для нашей цепи Xn были показаны в [4]. Положим g(x) = |x|k и выберем число N1 0 такое, что (1) (1) P 1 > -N1 < 1 и tP 1 dt < -N(1) (требуемое число существует в силу условия E1 < 0). Введем еще одно число N2 max{N1, max{-a, b} + 1} такое, что (1) (1) P 1 > -N1 + P 1 -2N2 < 1, -2N (1) (1) = tP 1 dt + |t|P 1 dt < 0, -N1 и положим для некоторого числа N N2, значение которого будет уточнено k ниже, A = [-N, N], t(x) = - xk-1 при x > 0. Таким образом, при x N для некоторых i, i = 0,..., k, имеет место неравенство -N (1) (1) g(y)P(x, dy) = ykP 1 dy - x + |y|kP 1 dy - x Ac N kxk + · · · + 1x + 0, Асимптотика стационарного распределения где (1) (1) k = P 1 N - x + P 1 -N - x, -N-x (1) (1) k-1 = k tP 1 dt + |t|P 1 dt N-x и i, i = 0,..., k - 2, ограничены сверху для рассматриваемых значений x и N.

Очевидно, что k < 1 при x [N, N + N1) и k 1, k-1 k при x N + N1. В обоих случаях можно выбрать достаточно большое N, чтобы при x N выполнялось условие (8). Повторив аналогичную процедуру для x -N, можно доопределить t(x) при x 0 и подобрать число N так, чтобы для любого x Ac выполнялось условие (8). Справедливость остальных требований теоремы очевидна. Лемма доказана.

k-При выполнении условий леммы 3.4 существуют производные W1(), k-k-W2(), чем мы будем пользоваться в дальнейшем (функции Wi определены k-во введении).

- + Факторизационные компоненты r1 (), r2 () равны нулю при = 0; это дает возможность ввести в рассмотрение функции - + r1 () r2 () - + 1 () = ( + c), 2 () = ( - c) при Re = 0 и произвольном c > 0. В том случае, когда = 0 является нулем (0) - + для r0 () или r0 () (напомним, что это верно для обеих функций при E1 = (0) и только для одной из них при E1 = 0), введем дополнительно при Re = и произвольном c > 0 функции - + r0 () r0 () - + 0 () = ( + c), 0 () = ( - c).

±+ Из [9] известно, что функции i (), i = 0, 2, представимы в виде ПЛС функций ограниченной вариации (для этого достаточно выполнения условия (0) (0) (0) (0) E 1 <, если E1 = 0, и E|1 | <, если E1 = 0), вс изменение кото е рых сосредоточено на неотрицательной полуоси. Если, кроме того, выполнено условие (A2), то существует > 0 такое, что эти функции аналитичны в области Re и непрерывны на границе. Аналогичными свойствами обладают функ < ±ции i (), i = 0, 1, с той лишь разницей, что они являются ПЛС функций ограниченной вариации с изменением на неположительной полуоси и при выполнении условия (A2) аналитичны в области Re > -. Каждый раз, когда ±± мы говорим о функциях 0 (), негласно предполагаем их существование.

k (i) Лемма 3.5. Пусть E 1 < для некоторого целого k 2, i = 0, 1, 2.

±1 ±1 ± - + Тогда производные порядка k-1 по функций 1 (), 2 (), ri (), i = 0, 2, являются ПЛС функций ограниченной вариации. Если дополнительно 1, k+1 ±(0) (0) ± E 1 <, E1 = 0, то (k - 1)-е производные по функций 0 (), + r2 () r1 () +c -c, являются ПЛС функций ограниченной вариации.

+ -c +c r0 () r0 () Доказательство. Хорошо известно (см., например, [9]), что k- (i) E (i) ; ± < <, i = 0, 1, 2, ± 1120 Д. К. Ким, В. И. Лотов в условиях леммы. Таким образом, равенство k-1 (i) k-(i) ± ± ri () = -E (i) e ; ± < ± k-немедленно влечет представимость этого выражения в виде ПЛС функции огра± ниченной вариации. Справедливость леммы относительно функций i (), i = 0, 1, 2, следует из вспомогательных утверждений в [6].

Из равенств + + r2 () + c 2 () + c =, + + r0 () - c 0 () - c - r1 () - c 1 () - c = - + c + c r0 () 0 () вытекают последние утверждения леммы.

Лемма доказана.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.