WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

ij ij Оценим функцию j1(x, t). В случае нахождения в подынтегральном выражении (71) функций xijk,1, xijk,2 будет -+i 0,r 0,r 1 (x,)-k)+ij (x,) n u0 () ij e( ij j j1(x, t) = et d d, 2i k +n0 kj() --i где k0, n0 = 0, 1. Применим лемму 2 и в силу неравенств (67) получим при t > = µ2+m+t оценку (74) в рассматриваемом случае. Из вида (42) функций 0, rij следует, что в случае использования в правой части (71) функций xijk,3, ij xijk,4 достаточно оценить интеграл -+i 0,r 0,r 1 (x,)-k-)+ij (x,)fkij()u0 () r ij e( j j1(x, t) = et d d (75) 2i k kj() --i r при k0 = 0, 1, где fkij() имеет вид (37), а : 0 t.

При k0 = 1 в силу (38) для j1(x, t) справедлива оценка (74) при t > 0. Так как f() = O( ) на прямой Re = -, то с учетом гладкости u0 () при k0 = j в правой части (75) можно поменять порядки интегрирования (см. лемму 4 в [7]) и при t > = µ2 + 2m + t получить -+i 0,r 0,r 1 (x,) r ij ij e(t+ (x,)-k-)fkij() e j1(x, t) = u0 () d d.

j kj() 2i 0 --i Обозначим внутренний интеграл через w(x,, t) и, используя (37), применим к функции w лемму 2, из которой при t > имеем оценку |w(x,, t)| Ke-t, гарантирующую для j1(x, t) оценку (74) при t >.

Рассмотрим функцию j2(x, t) (72). Согласно неравенству (39) для r0() на прямой Re = - имеет место неравенство xijk,lr0() K (l = 2, 3, 4, k0 = 0, 1), k 2 ||обеспечивающее в рассматриваемом случае при t > 0 оценку (74). Получим аналогичную оценку в случае функции xijk,1. Имеем -+i 0,r 0,r 1 (x,)-k)+ij (x,) 0 r0()u0 () ij e( ij j j2(x, t) = et d d, 2i k 2kj() --i где k0 = 0, 1. Из (39) для j2(x, t) (k0 = 1) следует оценка (74) при t > 0. Из (32), (39) ясно, что для оценивания j2(x, t) (k0 = 0) нужно в качестве r0() взять функцию e- f() (0 t), т. е. в силу (42) достаточно оценить функцию -+i 0,r 0,r 1 (x,)-k--1)+ij (x,)fkij()u0 () r ij e( j et d d, 2i 2kj() --i Cмешанная задача для гиперболической системы где 0 1 t. Рассуждая, как в случае функции (75) с k0 = 0, при t > = µ2 + 2m + t + t получим для j2(x, t) оценку (74).

Рассмотрим функцию j3(x, t) (73). Из вида (34)–(36) функции 1() и оценки (39) для r1() на прямой Re = - имеем для l = 2, 3, 4 неравенства xijk,1r1() K xijk,l 1() K,.

2 ||2 2 ||Таким образом, чтобы оценить (73), нужно оценить -+i 0,r 0,r 1 (x,)-k-)+ij (x,) ij e( 1u0 () j j3(x, t) = et d d, 2i 2kj() --i где 0 t. Используя гладкость u0 () и (38), применим лемму 2 и получим j для j3(x, t) оценку (74) при t > 3 = µ2 + m + t + t.

Итак, при t > t2 = max(,, 3) из (74) следует оценка (70), а из нее оценка (63) для V2(x, t). Поэтому для функции U2(x, t) при t > max(t1, t2) верна оценка (61), а при t > 0 оценка (60), что и означает наличие для этой функции неравенства (69) при всех t > 0. Отсюда и из (49) получим для кусочно гладкого решения U(x, t) исходной задачи оценку (46).

В заключение сформулируем утверждения, которые следуют из теоремы и доказательство которых аналогично соответствующим теоремам в случае смешанной задачи с распадающимися граничными условиями [7].

1,Теорема 4. Пусть K(x), A(x) C2[0, 1], F (x, t) Cx,t ( ), r () C1[0, k] k (k = 1,..., m; r = 0, 1), а функция U(x, t) принадлежит пространству C1( ) и удовлетворяет условиям согласования (S0). Тогда если A < -, > 0, то непрерывное КГР U(x, t) задачи (1)–(3) с F (x, t, U) F (x, t) при t > 0 удовлетворяет неравенству U(x, t) R1 + Ut(x, t) R t t K(e-t U(x, t) C1 + max ( F (x, ) C[0,1], F (x, ) C[0,1])).

( ) 0t Рассмотрим нелинейную задачу (8), (2), (3), и пусть Uc(x) ее гладкое стационарное решение. Без ограничения общности можно считать, что Uc(x) = 0, F(x, 0) 0.

Определение 2. Нулевое решение задачи (8), (2), (3) называется асимптотически устойчивым с показателем > 0 в пространстве C1[0, 1], если найдется > 0 такое, что для любой функции U(x, t) C1( ), удовлетворяющей условиям согласования (S0), (S1), где U1(x) = -K (x)Ux(x, 0) + F(x, U(x, 0)), а также оценке U(x, t) C1, при всех t > 0 существует единственное ( ) классическое решение U(x, t) рассматриваемой задачи, причем U(x, t) C[0,1] Ke-t U(x, t) C1, где K не зависит от t, U(x, t).

( ) Обозначим через s = (s1,..., sn) целочисленный вектор с неотрицательными компонентами sj и |s| = s1 + · · · + sn. Предположим, что линеаризованная в окрестности нулевого решения рассматриваемая задача имеет вид (20), (2), (3) с Fi(x, U) A (x) = uj U=0 i,j=1,...,n и A < -. Тогда справедлива 1124 Н. А. Люлько Теорема 5. Пусть K(x) C2[0, 1], r () C1[0, k] (k = 1,..., m; r = k q+|s|Fi(x,U) 0, 1) и для любого i (1 i n) функции, где |s| = 0, 1, 2, 3, q = xqUs 0, 1, 2, q + |s| 3, непрерывны на множестве r = {(x, u1,..., un) : 0 x 1, max |ui| r}, r > 0. Тогда нулевое решение задачи (8), (2), (3) асимптотически 1in устойчиво с показателем в пространстве C1[0, 1].

ЛИТЕРАТУРА 1. Мышкис А. Д., Филимонов А. М. Непрерывные решения гиперболических систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Физматлит, 2003. С. 337–351.

2. Акрамов Т. А. Дифференциальные уравнения и их приложения в моделировании физико-химических процессов. Уфа: Изд-во Башкирск. ун-та, 2000.

3. Генкин Г. Г., Глузман С. С. Численное и качественное исследование нестационарных режимов одного класса сложных химико-технологических схем // Математические проблемы химии. Новосибирск: ВЦ СОРАН, 1975. Т. 2. С. 90–98.

4. Перлмуттер Д. Устойчивость химических реакторов. Л.: Химия, 1976.

5. Сиразетдинов Т. К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. Новосибирск:

Наука, 1987.

6. Kmit I., Hrmann G. Systems with singular non-local boundary conditions: Reflection of singularities and delta-waves // J. Anal. Appl. 2001. V. 20, N 3. P. 637–659.

.

7. Елтышева Н. А. О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости // Мат. сб. 1988. Т. 137, № 2. С. 186–209.

.

8. Аболиня В. Э., Мышкис А. Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Мат. сб. 1960. Т. 50, № 4. С. 423–442.

.

9. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

10. Birkhoff G. D., Langer R. E. The boundary problems and developments associated with a system of ordinary linear differential equations of the first order // Proc. Amer. Acad. Arts Sci. 1923. V. 58, N 2. P. 51–128.

.

11. Брушлинский К. В. О росте решения смешанной задачи в случае неполноты собственных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23, № 6. С. 893–912.

.

12. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1959.

13. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. М.: Гостехиздат, 1959.

14. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.:

Наука, 1965.

Статья поступила 17 апреля 2005 г.

Люлько Наталья Альбертовна Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.