WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2005. Том 46, № 5 УДК 517.956.3 CМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ Н. А. Люлько Аннотация: Рассматривается корректность постановки в полуполосе краевой задачи для линейной гиперболической системы первого порядка с запаздыванием (сосредоточенным и распределенным) в граничных условиях. В случае отрицательности реальных частей собственных значений соответствующей спектральной задачи доказывается равномерная по времени оценка решения однородной задачи, позволяющая обосновать принцип линеаризации для анализа устойчивости стационарных решений нелинейной задачи.

Ключевые слова: гиперболические системы, запаздывание по времени, устойчивость стационарных решений.

Памяти Тадея Ивановича Зеленяка Введение Исследованию качественных свойств решений смешанных задач для гиперболических систем посвящена обширная литература, обзор которой можно найти в [1, 2]. Мы будем исследовать достаточно частные вопросы, ограничиваясь ссылками на наиболее близкие к изучаемым проблемам работы.

Гиперболические системы с запаздыванием в граничных условиях возникают при математическом моделировании противоточных химических реакторов с рециклом [3], когда некоторые вещества возвращаются частично после выхода из реактора опять на вход с запаздыванием по времени, необходимом для транспортировки (по трубам, механически и т. д.). Коэффициенты пропорциональности обычно показывают, какая часть вещества возвращается назад. В [4] доказывается, что адиабатические и изотермические трубчатые реакторы идеального вытеснения с рециклом могут иметь несколько стационарных решений, поэтому возникает вопрос об их устойчивости.

Рассмотрим в полуполосе = {(x, t) : 0 < x < 1, t > 0} краевую задачу для гиперболической системы первого порядка:

Ut - LA U = F (x, t, U), (x, t), (1) k m m (AkU(0, t - k) + BkU(1, t - k))+ r ()U(r, t - ) d = 0, (2) k k=0 r=0,1 k=Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03–01–00162).

© 2005 Люлько Н. А.

Cмешанная задача для гиперболической системы U(x, t)| = U(x, t). (3) Здесь U(x, t) = [u1(x, t),..., un(x, t)]T n-мерный вектор неизвестных функций, F (x, t, U) n-мерный вектор-столбец гладких функций и LA U = -K (x)Ux + A (x)U, A (x) = (aij(x))i,j=1,...,n, где K (x) диагональная матрица с элементами ki(x) = (1 i p), i(x) -ki(x) = (p + 1 i n). В дальнейшем положим i(x) 0 < 1(x) < · · · < p(x), 0 < p+1(x) < · · · < n(x), (4) где i(x) непрерывно дифференцируемые на отрезке [0, 1] функции, причем 1 p < n, n 2.

В краевых условиях (2) моменты запаздывания k фиксированные вещественные числа: 0 = 0 < 1 < · · · < m, m 0; Ak, Bk матрицы размером k n n, состоящие соответственно из вещественных чисел k, ij, i, j = 1,..., n ij (k = 0, 1,..., m). Относительно матриц A0, B0 всюду далее предполагается выполнение условия 0 0 0 11... 1p 1,p+1... 1n det.................. = 0, 0 0 0 n1... np n,p+1... nn поэтому в дальнейшем для простоты будем полагать, что матрицы A0, B0 имеют вид Ep,p Ap,n-p Bp,p Op,n-p A0 =, B0 =. (5) On-p,p An-p,n-p Bn-p,p En-p,n-p Здесь Ek,k единичная матрица размером k k, Ol,k нулевая матрица размером l k; Al,k, Bl,k матрицы, состоящие соответственно из элементов ij, ij (i = 1,..., l; j = 1,..., k); l, k натуральные числа.

Элементами матриц r () являются гладкие на соответствующих отрезках k r [0, k] функции fkij() (i, j = 1,..., n; r = 0, 1, k = 1,..., m).

Обсудим начальные данные (3). Для каждого i (1 i n) обозначим через ir максимальное из запаздываний k (0 k m), встречающихся у функции r ui(r, t) в краевых условиях (2), и определим два множества: i = (x, t) : x = r, 0 -ir t 0, r = 0, 1. Пусть i = {(x, t) : 0 x 1} i i, тогда начальные данные (3) следует понимать так:

U(x, t)| = U(x, t) ui(x, t)| = i(x, t), i = 1,..., n, i где U(x, t) = [1(x, t),..., n(x, t)]T, а функция i(x, t) для данного i задается на множестве i.

Здесь и далее принадлежность функции U(x, t) пространству C( ) будем r понимать в следующем смысле: U(x, 0) C[0, 1], U(r, t) C( ) (т. е. i(r, t) r C i, i = 1,..., n), r = 0, 1. Под нормой U(x, t) C( ) понимаем max( U(x, 0) C[0,1], U(r, t) C( r ), ) r=0,r где U(r, t) C( r = max i(r, t) C( ); пространство C1( ) и норма в нем вво) i 1in дятся аналогично, т. е.

r U(x, t) C1( ) U(x, 0) C1[0, 1], U(r, t) C1( ), r = 0, 1, 1102 Н. А. Люлько и U(x, t) C1 = max( U(x, 0) C1, U(r, t) C1 r ).

( ) [0,1] ( ) r=0,Под нормой вектор-функции в пространстве C[0, 1] (C1[0, 1]) мы понимаем максимум из норм компонент этого вектора в C[0, 1] (C1[0, 1]); модулем матрицы будем считать максимум из модулей ее элементов; принадлежность функции, F (x, t) пространству Cx,t ( ) (, = 0, 1) обозначает ее принадлежность про, странству Cx,t ( T ) для любого T > 0, где T = {0 x 1, 0 t T };

буквами A, K будем обозначать константы, зависящие только от коэффициентов системы (1), (2) (и не зависящие от t, U(x, t), F (x, t)).

Процессы с распределенными параметрами, в которых запаздывание по времени t входит как в уравнения движения, так и в граничные условия, рассматривались в [5, гл. 6]. В случае смешанной задачи для линейных систем первого порядка в предположении их разрешимости был построен функционал Ляпунова, обеспечивающий асимптотическую устойчивость решений рассматриваемой задачи.

В случае отсутствия запаздывания (k = 0 при k = 1,..., m) корректность постановки линейной задачи (1)–(3) в классе гладких функций и в классе обобщенных функций рассмотрена в работе [6]. В работе автора [7] изучалась задача (1)–(3) в случае отсутствия запаздывания и распадающихся краевых условий, т. е. когда в матрицах A0, B0 (5) вместо An-p,n-p, Bp,p стоят нулевые матрицы.

В этой работе было исследовано поведение резольвенты соответствующего дифференциального оператора, что позволило получить равномерные по t оценки решений линейной задачи и обосновать принцип линеаризации для нелинейной системы.

В настоящей статье в случае F (x, t, U) F (x, t) будет приведена теорема существования в полуполосе непрерывно дифференцируемого решения U(x, t) задачи (1)–(3) и показано наличие для него при t 0 оценки U(x, t) C1 KeAt( U(x, t) C1 + max F (x, ) C1 ). (6) [0,1] ( ) [0,1] 0t В случае F (x, t, U) 0 для решения U(x, t) однородной задачи (1)–(3) будет доказана для t 0 оценка U(x, t) C[0,1] Ke-(-)t U(x, t) C( ), - > 0, (7) при условии, что собственные числа спектральной задачи, соответствующей системе (1), (2), лежат в полуплоскости Re - ( > 0).

Наличие оценки (6) позволяет для задачи (1)–(3) с известной нелинейностью F (x, t, U) получить теорему существования в малом по t при любых начальных данных U(x, t), удовлетворяющих условиям согласования. С другой стороны, неравенство (7) позволяет доказать теорему об устойчивости по первому приближению для системы Ut + K (x)Ux = F(x, U), F = [F1,..., Fn]T, (8) решение которой удовлетворяет краевым условиям (2) и начальным данным (3).

Существование решения линейной задачи Для системы Ut - LA U = F (x, t), F (x, t) = [f1(x, t),..., fn(x, t)]T, (9) Cмешанная задача для гиперболической системы рассмотрим в полуполосе смешанную задачу с краевыми условиями (2) и начальными данными (3). Вид (2) граничных условий гарантирует сведение задачи (9), (2), (3) к системе интегральных уравнений типа Вольтерра, исследованной в [8]. В своем изложении этого вопроса мы будем следовать работам [7, 8].

В силу (5) граничные условия (2) при t > 0 можно записать в виде ui(0, t) = i[U](t) (i = 1,..., p), ui(1, t) = i[U](t) (i = p + 1,..., n).

Здесь i (i = 1,..., n) оператор, переводящий вектор-функцию U(x, t), заданную на множестве, в скалярную функцию i[U](t), определенную при t 0 (под значением i[U](0) понимаем lim i[U](t)) и имеющую вид t0+ n p i[U](t) = - 0 uj(0, t) - ijuj(1, t) - Ri[U](t), (10) ij j=p+1 j=где Ri[U](t) есть i-я компонента вектор-столбца k m AkU(0, t - k) + BkU(1, t - k) + r ()U(r, t - ) d.

k k=1 r=0,Для сведения рассматриваемой дифференциальной задачи к системе интегральных уравнений введем ряд обозначений. Через каждую точку (x0, t0) проходит n характеристик x = i(t; x0, t0) системы (9), определяемых уравнениями di = ki(i), i|t=t = x0 (i = 1,..., n).

dt Пусть i(x0, t0) = inf{t : (i(t; x0, t0), t) }, тогда, очевидно, 0 i(x0, t0), и t если i(x0, t0) > 0, то i(i(x0, t0); x0, t0) равно либо 0, либо 1 (это равносильно тому, что характеристика x = i(t; x0, t0) выходит из точки (x0, t0) и приходит с уменьшением t на боковую сторону ).

Введем в рассмотрение для каждого i (1 i n) следующие множества:

i = {(x, t) : i(x, t) = 0}, 0 = {(x, t) : i(x, t) > 0, i(i(x, t); x, t) = 0}, i 1 = {(x, t) : i(x, t) > 0, i(i(x, t); x, t) = 1}.

i Очевидно, что 0 =, i = p + 1,..., n, 1 =, i = 1,..., p.

i i Проинтегрируем i-е уравнение системы (9) вдоль соответствующей характеристики и, используя (2), (3), получим следующую систему интегральных уравнений:

t n ui(x0, t0) = aij(x)uj(x, t) + fi(x, t) d + vi(x0, t0), (11) j=t= i(x0,t0) x=i(;x0,t0) (x0, t0), i = 1,..., n, i(i(0; x, t)), (x, t) i, i = 1,..., n, vi(x, t) = i[U](i(x, t)), (x, t) 0, 1 i p, i i[U](i(x, t)), (x, t) 1, p + 1 i n, i 1104 Н. А. Люлько r ui(r, t)| = i(r, t), i = 1,..., n (r = 0, 1).

i Очевидно, что непрерывно дифференцируемая функция U(x, t) будет решением задачи (9), (2), (3) тогда и только тогда, когда она будет являться решением данной интегральной системы. При этом необходимо, чтобы начальные данные U(x, t) принадлежали пространству C1( ) и удовлетворяли условиям согласования нулевого порядка:

U(x, t) непрерывная на множестве функция;

m A0U(0, 0) + B0U(1, 0) + (AkU(0, -k) + BkU(1, -k) k=(S0) k + r ()U(r, -) d) = 0, k r=0,и первого порядка:

m AkUt(0, -k) + BkUt(1, -k) A0U1(0) + B0U1(1) + k= k + r ()Ut(r, -) d = 0, (S1) k r=0,dU lim (r, t) = U1(r) (r = 0, 1), t0- dt где dU U1(x) = -K (x) (x, 0) + A (x)U(x, 0) + F (x, 0).

dx Вольтерровость системы (11) гарантируется наличием для операторов i следующих свойств (см. [8, с. 428, 431]).

1. Пусть Uk(x, t) непрерывные в функции, удовлетворяющие условию (3), тогда i[Uk](t) также непрерывны при t 0, k = 1, 2. Обозначим U = U1 - U2, i[U](t) = i[U1](t) - i[U2](t) и докажем, что для некоторого > 0 и всех t > 0 при 1 i n имеет место неравенство t | i[U](t)| K max | uj(x, )| + max | uj(x, )| d, (12) j;x;t j;x;

где звездочка при знаке max означает, что берутся только такие значения (x, ), для которых j(x, ) t - (если t > ) или j(x, ) = 0 (если t ), а постоянные K, определяются операторами i и матрицей K (x).

2. Если Uk(x, t) гладкие в функции, удовлетворяющие условию (3), то функции i[Uk](t) (k = 1, 2) также гладкие при t 0 и для 1 i n справедливы неравенства uj(x, ) uj(x, ) | i[U] (t)| K max + + max | uj(x, )| j,x;t x j,x;t t uj(x, ) uj(x, ) + max + d. (13) j,x; x Cмешанная задача для гиперболической системы Покажем, что для операторов i (10) справедлива оценка (12). Имеем n p i[U](t) = - 0 uj(0, t) - ij uj(1, t) - Ri[U](t). (14) ij j=p+1 j=Введем число k, dx = min, если m 1, 1km,in 0 ki(x) dx = min, если m = 0.

1in 0 ki(x) Если 0 < t <, то характеристики j-го семейства (j = p + 1,..., n), выходящие из точек (0, t), будут приходить на нижнее основание, т. е. j(0, t) = 0; аналогично для характеристик j-го семейства (j = 1,..., p), выходящих из точек (1, t), также будет j(1, t) = 0. Если же t >, то для характеристик j-го семейства (j = p + 1,..., n), выходящих из точек (0, t), справедливо j(0, t) t - ;

аналогично j(1, t) t - при j = 1,..., p. Поэтому n p 0 ij uj(0, t) + ij uj(1, t) Kmax| uj(x, )|. (15) j=p+1 j;x;t j=Рассмотрим выражение Ri[U](t), являющееся i-й компонентой вектор-столбца k m Ak U(0, t - k) + Bk U(1, t - k) + r () U(r, t - ) d.

k k=1 r=0,Из (3) для 0 t k следует, что Ak U(0, t - k) 0, Bk U(1, t - k) 0 (k = 1,..., m), поэтому m (Ak U(0, t - k) + Bk U(1, t - k)) 0, k=если 0 t <. Если же t, то для всех k (1 k m) справедливо t - k t, поэтому при t > 0 имеет место неравенство - m (Ak U(0, t - k) + Bk U(1, t - k)) Kmax| uj(x, )|. (16) k=1 j;x; t Пусть t > 0, тогда для r = 0, 1 и каждого k (k = 1,..., m) имеем k t r () U(r, t - ) d = r (t - µ) U(r, µ) dµ, k k 0 t-k откуда k t r () U(r, t - ) d K max | uj(x, )| d, (17) k j;x;

0 так как U(r, t) 0 при t < 0 в силу (3). Подставляя (15)–(17) в (14), мы и получаем (12). Оценка (13) доказывается аналогично.

При выполнении условий согласования (S0), (S1) свойства 1, 2 операторов i позволяют для системы (11) методом последовательных приближений доказать существование в непрерывно дифференцируемого решения и оценку (6) для него, как это сделано в [8]. Таким образом, имеет место 1106 Н. А. Люлько 1,Теорема 1. Пусть K(x), A(x) C1[0, 1], F (x, t) Cx,t ( ), r () C[0, k] k (k = 1,..., m; r = 0, 1), а функция U(x, t) принадлежит пространству C1( ) и удовлетворяет условиям (S0), (S1). Тогда в полуполосе существует единственное непрерывно дифференцируемое решение U(x, t) задачи (9), (2), (3);

при t > 0 оно удовлетворяет оценке (6).

В дальнейшем нам понадобится использовать решения рассматриваемой задачи в случае отсутствия у начальных данных условий согласования. Для определения таких решений проведем некоторые вспомогательные построения, следуя работе [7, с. 189].

Из точки (0, 0) (соответственно (1, 0)) проведем p (n - p) различных характеристик системы (9) с положительным (отрицательным) наклоном до пересечения с прямой x = 1 (x = 0). Через каждую из полученных точек пересечения проведем n - p (p) различных характеристик с отрицательным (положительным) наклоном до пересечения с прямой x = 0 (x = 1). Возьмем каждую из полученных точек в качестве исходной и будем повторять описанный выше процесс бесконечное число раз. Проделаем предложенную процедуру еще m раз, взяв в качестве начальных точки (0, k) (соответственно (1, k)), k = 1,..., m.

Из построенных выше характеристик выделим семейство кривых, параллельных характеристике x = i(t; 0, 0) (x = i(t; 1, 0)), и обозначим это семейство через Qi, i = 1,..., p (i = p + 1,..., n). Полуполоса разбивается характеристиками из всех семейств Qi, i = 1,..., n, на бесконечное число односвязных непересекающихся областей Rj, j = 1, 2,....

Pages:     || 2 | 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.