WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Лемма 3. Справедливы равенства q q p p DxDG(j,k,(+)) x=+0 =+0 = DxDG(j,k,(+)) =+0 x=+ 0, j + k + p = 3, = p + q 1; (3.12) p+q (-1)q3(Dx E)(0, y), j + k + p = 3, q q p p DxDG(l,(-)) x=-0 =-0 = DxDG(l,(-)) =-0 x=- 0, l + q = 2, = p + q 1; (3.13) p+q (-1)p3(Dx E)(0, y), l + q = 2, 0, m = j, k, m 2-m Dx D G(j,k,(+)) =+0 x=+0 = (3.14) (-1)m(y), m = j, k;

0, m = j, k, m 2-m Dx D G(j,k,(+)) x=+0 =+0 = (3.15) (-1)m+1(y), m = j, k;

0, m = l, m 2-m Dx D G(l,(-)) =-0 x=-0 = (3.16) l+ (-1) (y), m = l;

0, m = l, m 2-m Dx D G(l,(-)) x=-0 =-0 = (3.17) (-1)m(y), m = l.

§ 4. Решения задач (j, k, (+)) и (l, (-)) Перейдем к построению точных решений задач (j, k, (+)) и (l, (-)). Следующее утверждение дает необходимую подсказку о том, в какой именно форме эти решения следует строить.

Лемма 4 (интегральное представление функции класса S( (±))). Для любой функции ± S( (±)) и любой точки (x, y) (±) справедливо равенство ±(x, y) = F(±)(x,, y - ); (L(D)±)(, ) (n+1),(±) 2-m m ± (-1)m D F(±) (x, ±0, y - ); Dx ± (0, ), (4.1) (n) m=где в качестве F(+) можно брать любое из распределений E(x -, y - ) или G(j,k,(+))(x,, y - ), в качестве F(-) любое из распределений E(x -, y - ) или G(l,(-))(x,, y-), определенных равенствами (1.11), (3.8); линейные формы p ; (n), ; (n+1),(±) определены равенствами (1.1), а выражение Dz (t) следует p понимать как Dz (z).

z=t Теперь на основании теорем 2.1, 2.2 и равенств (3.3), (3.6), (4.1) сформулируем и докажем следующее утверждение.

Комплексный метод Теорема 4. Задачи (j, k, (+)) и (l, (-)) корректно разрешимы в соответ ствующих классах S ( (+)) и S ( (-)), а их решения u(±) S ( (±)) могут быть представлены в следующем виде:

u(+)(x, y) = u(j,(+))(x, y) + u(k,(+))(x, y) + v(+)(x, y), (4.2) u(-)(x, y) = u(l,(-))(x, y) + v(-)(x, y), (4.3) 2-m u(m,(+))(x, y) = (-1)m D G(j,k,(+)) (x, +0, y-); hm(), m = j, k, (4.4) (n) 2-l u(l,(-))(x, y) = (-1)l+1 D G(l,(-)) (x, -0, y - ); hl(), (4.5) (n) v(+)(x, y) = G(j,k,(+))(x,, y - ); f(+)(, ) (n+1),(+), (4.6) v(-)(x, y) = G(l,(-))(x,, y - ); f(-)(, ) (n+1),(-), (4.7) где G(j,k,(+)), G(l,(-)) функции Грина задач (j, k, (+)) и (l, (-)), определенные равенствами (3.8), а линейные формы ; (n), ; (n+1),(±) определены равенствами (1.1).

Доказательство. Заметим, что в силу ограничений (2.8), (2.9) свертки (4.4)–(4.7) корректно определены; отсюда и из (3.7) следует выполнение условий (2.5)–(2.7). Поэтому доказательство теоремы фактически сводится к проверке равенств (2.1), (2.3) и следующих соотношений:

m l Dx v(+) x=+0 = 0, m = j, k, Dxv(-) x=-0 = 0, (4.8) m l Dx u(m,(+)) x=+0 = hm(y), m = j, k, Dxu(l,(-)) x=-0 = hl(y), (4.9) и, кроме того, для задачи (j, k, (+)) необходимо дополнительно проверить, что k j Dxu(j,(+)) x=+0 = Dxu(k,(+)) x=+0 = 0. (4.10) Равенства (2.1), (2.3) вытекают непосредственно из равенств (3.1), (3.4) и (4.2)–(4.7); равенства (4.8) из равенств (3.2), (3.5), (4.6), (4.7); равенства (4.9) из равенств (3.14), (3.16), (4.4), (4.5).

Наиболее трудоемка проверка равенства (4.10), поэтому для простоты ограничимся случаем j = 0, k = 2. В силу (3.12), (4.4) u(2,(+))|x=+0 = 0. Далее, из формул (3.10), (3.11), (4.4) следует, что 2 2 Dxu(0,(+))(x, y) = DxDG(0,2,(+)) (x, +0, y - ); h0(y) (n) = DxG(1,2,(+)) (x, +0, y - ); h0() (n) = (DxG(1,2,(+))(x, +0, y - ); (P (D)h0)() (n), откуда с учетом (3.12) Dxu(0,(+)) x=+0 = 0.

Объединяя равенства (4.8)–(4.10) и (4.2), (4.3), мы и устанавливаем справедливость нашего утверждения. Теорема доказана.

Замечание 7. Из равенств (3.12)–(3.17), (4.6)–(4.8) и [8] следует, что ограничение (2.8) можно ослабить, потребовав лишь, чтобы распределения f(±) S ( (±)) однозначно определялись своим сужением на (±), т. е. (см. [8]) f(±) = f(±). (4.11) (±) Замечание 8. Нетрудно заметить, что простая замена x на -x для решений u(+)(x, y), u(-)(x, y) задач (j, k, (+)) и (l, (-)), определенных равенствами 1082 Ю. В. Засорин (4.2)–(4.7), дает нам формулы для решений u (x, y), u (x, y) сопряженных (+) (-) задач (l, (+), ) и (j, k, (-), ) (с оператором L(D) = -Dx - P (Dy)) в областях (+) и (-) соответственно:

u (x, y) = u(-)(-x, y), u (x, y) = u(+)(-x, y), j + k = l + 1.

(+) (-) Соответствующие функции Грина G и G могут быть получены (l,(+)) (j,k,(-)) из равенств (3.8) и G (x,, y) = G(l,(-))(-, -x, y), G (x,, y) = G(j,k,(+))(-, -x, y), (l,(+)) (j,k,(-)) (4.12) а их свойства из формул (3.9)–(3.17), (4.12).

§ 5. Некоторые приложения к нестационарным задачам Рассмотрим операторы L(0) = - L(D), L(1) = - Dx, L(2) = + P (Dy), (5.1) t t t где операторы P (Dy), L(D) определены равенствами (1.2), (1.3) соответственно, причем условие положительности оператора P (D) может быть ослаблено:

теперь мы предполагаем его лишь неотрицательным (в частности, допускается случай и P (D) 0). При этом для удобства производную по переменной t будем понимать как производную по параметру, а производные Dx, Dy в смысле теории распределений.

Фиксируя пару индексов (j, k), 0 j < k 2, и индекс l, 0 l 2, рассмотрим в областях (+) и (-) следующие задачи:

L(0)u(+)(t, x, y) = -f(+)(t, x, y), t > 0, (x, y) (+), u(+)|t=+0 = g(+)(x, y), (x, y) (+), (5.2) m Dx u(+) x=+0 = -hm(t, y), t 0, y Rn, m = j, k, u(+)(t, x, y) = o(1), x +, и L(0)u(-)(t, x, y) = -f(-)(t, x, y), t > 0, (x, y) (-), u(-)|t=+0 = g(-)(x, y), (x, y) (-), (5.3) l Dxu(-) x=-0 = -hl(t, y), t 0, y Rn, u(-)(t, x, y) = o(1), x -, где u(±)(t, ·, ·), f(±)(t, ·, ·), g(±)(·, ·) S ( (±)), hm(t, ·) S (Rn), m = j, k, l. Кроме того, будем считать, что распределения f(±), g(±) удовлетворяют ограничениям, аналогичным (2.8), (2.9) или (4.11), (2.9).

Теорема 5. Решения u(±) S ( (±)) задач (5.2) и (5.3) единственны в соответствующих классах.

Доказательство аналогично доказательству теорем 1 и 2 (с той лишь разницей, что по переменным y Rn применяется преобразование Фурье, а по переменной t преобразование Лапласа).

Прежде чем рассматривать вопросы построения решения задач (5.2), (5.3), сформулируем следующий простой, но важный результат.

Комплексный метод Лемма 5. Пусть E(0)(t, ·, ·) S (Rn+1) фундаментальное решение Коши задачи L(0)E(0)(t, x, y) = 0, t > 0, (x, y) Rn+1; E(0) t=+0 = (x) (y). (5.4) Тогда E(0)(t, x, y) = E(1)(t, x) E(2)(t, y), (5.5) где E(1)(t, x) = (t)(3t)-1/3Ai(-x(3t)-1/3), E(2)(t, y) = (t)F exp(-tP ()) (5.6) фундаментальные решения Коши задач L(1)E(1)(t, x) = 0, t > 0, x R; E(1)|t=+0 = (x), (5.7) L(2)E(2)(t, y) = 0, t > 0, y Rn; E(2)|t=+0 = (y), (5.8) Ai(z) функция Эйри 1-го рода (см. [10]).

Доказательство осуществляется применением преобразования Фурье по переменным x R, y Rn к задачам (5.4), (5.7), (5.8).

Остановимся на некоторых свойствах распределения E(1)(t, x), определенного равенством (5.6). Несмотря на то, что для него отсутствует удобное интегральное представление типа (1.11) или (1.12), для него справедливы (см. [10]) следующие соотношения:

1) функция F (z) = E(1)(t, z), z C, имеет в секторе K2 = {Re z < 0} степенное, а в секторе K1 = {| arg z| < /6} экспоненциальное убывание на бесконечности;

2) справедливо тождество Ai(z) + ei2/3Ai(ei2/3z) + e-i2/3Ai(e-i2/3z) 0. (5.9) Наконец, непосредственной проверкой можно установить, что m Dx E(1) = (DmE(1))(t, 0), m = 0, 1, x=± (5.10) 1 DxE(1) = - (t).

x=±6 Таким образом, распределение E(1)(t, x) удовлетворяет соотношениям, аналогичным (1.20) и лемме 2.

Теперь, давая определение функций Грина задач (5.2), (5.3), аналогичное определениям 1 и 2, несложно повторить рассуждения двух предыдущих параграфов, получив при этом утверждения, аналогичные теореме 3, леммам 2–4 (и формулы, аналогичные формулам (3.8), (3.10)–(3.17), (4.1)–(4.7)).

Таким образом, установлена Теорема 6. Функции Грина G(±) S ( (±),(x,y)) могут быть представлены в следующем виде:

G(+)(t,, x,, y, ) = (x)() E(0)(t -, x -, y - ) i+ 2 Re exp - (j + k) E(0)(t -, -ei/3x -, y - ), (5.11) 1084 Ю. В. Засорин G(-)(t,, x,, y, ) = (-x)(-) E(0)(t -, x -, y - ) i+ 2 Re exp - (l + 1) E(0)(t -, x + ei/3, y - ), где распределение E(0) определено равенствами (5.5), (5.6). При этом задачи (5.2), (5.3) корректно разрешимы в классах S ( (+)) и S ( (-)) соответственно, а их решения u(±) S ( (±)) могут быть представлены в следующем виде:

t u(+)(t, x, y) = d · G(+); f(+)(,, ) (n+1),(+) t 2-m + (-1)m d · D G(+) ; hm(, ) =+0 (n) m=j,k + G(+)|=+0; g(+)(, ) (n+1),(+);

t u(-)(t, x, y) = d · G(-); f(-)(,, ) (n+1),(-) t 2-l + (-1)l+1 d · D G(-) ; hl(, ) + G(-) =+0; g(-)(, ).

=-0 (n) (n+1),(-) § 6. Заключение Предложенный выше метод комплексного отражения (т. е. построение функций Грина в форме, аналогичной равенствам (3.8), (5.11)) может быть применен к краевым задачам для уравнений, содержащих и другие операторы с выделенной третьей производной Dx, например L = P1(Dy) ± DxP2(Dy) + P3(Dy), (6.1) t L = DxP1(Dy) ± P2(Dy), (6.2) t где Pm(Dy) положительные (неотрицательные) операторы с постоянными коэффициентами. В случае P1 0, P2 ±1, P3 (y) оператор в (6.1) приводит к стационарному вязкому трансзвуковому уравнению (см. [1]), в случае P1 0, P2 ±1, P3 0 к уравнению Кортевега де-Фриза, а оператор (6.2) описывает системы не типа Коши Ковалевской (см. [11]).

Этот метод может быть применен и к уравнениям с переменными коэффициентами, например с операторами L = Dx - P (y, Dy). (6.3) (В случае P (y, Dy) = r-1DrrDr, r = y2 + z2, оператор (6.3) приводит к хорошо известному осесимметрическому вязкому трансзвуковому уравнению [2].) При этом требуется лишь, чтобы соответствующие фундаментальные решения имели умеренный рост в секторах K1 и K2 (определенных формулой (1.6)) Комплексный метод и выполнялись бы соотношения, аналогичные (1.7) и равенствам типа (1.20), (5.10).

Автор выражает глубокую признательность И. А. Киприянову за внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА 1. Рыжов О. С. Асимптотическая картина обтекания тел вращения трансзвуковым потоком вязкого и теплопроводящего газа // Прикл. математика и механика. 1965. Т. 29, № 6.

С. 1004–1014.

2. Диесперов В. Н., Ломакин Л. А. Об одной краевой задаче для осесимметрического вязкого трансзвукового уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1974. Т. 14, № 5. С. 1244–1260.

3. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Наука, 1987.

4. Джураев Т. Д., Абдиназаров С. Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 1, № 1. С. 2178–2187.

5. Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Смешанная задача для дифференциальных уравнений в частных производных с квазиоднородной правой частью. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

6. Хабибуллин И. Т. Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями // Теор. и мат. физика. 2002. Т. 130, № 1. С. 31–53.

7. Х Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.:

ермандер Мир, 1965.

8. Засорин Ю. В. О поведении на бесконечности решений некоторых классов дифференциальных уравнений и теоремы единственности // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений мат. физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1984. С. 74–80.

9. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной плоскости. М.: Наука, 1984.

10. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990.

11. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998.

Статья поступила 29 марта 2002 г., окончательный вариант 20 апреля 2004 г.

Засорин Юрий Валентинович Воронежский гос. университет, Университетская пл., 1, Воронеж zasorin@box.vsi.ru

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.