WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2004. Том 45, № 5 УДК 517.9 КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД ОТРАЖЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ УРАВНЕНИЙ С ВЫДЕЛЕННОЙ ТРЕТЬЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ Ю. В. Засорин Аннотация: Предлагается метод построения функций Грина краевых задач в областях типа полупространство для некоторых классов уравнений в частных производных с выделенной третьей производной по первой пространственной переменной и приводятся формулы точных решений, доказываются теоремы единственности в пространствах Шварца.

Ключевые слова: вязкое трансзвуковое уравнение, фундаментальное решение, функция Грина, распределение умеренного роста.

Еще к середине 70-х гг. появился целый ряд задач математической физики, описываемых уравнениями в частных производных с выделенным оператором 3 Dx. К их числу относятся, например, хорошо известные уравнения Кортевега де-Фриза и стационарное вязкое трансзвуковое уравнение (см. [1]). Изучение этих уравнений началось с краевых задач в областях типа {- < x < }, {a < x < b}, причем кроме установления корректной разрешимости этих задач, были построены также и функции Грина (см., например, [2–4]); чуть позже была установлена корректная разрешимость соответствующих задач и в областях {x > 0} и {x < 0} (см., например, [5] и ссылки). Однако изучение качественной структуры решений краевых задач в областях последнего типа встретило ряд затруднений из-за отсутствия формул точных решений и соответствующих функций Грина (см., например, [6] и ссылки). Предлагаемый ниже так называемый комплексный метод отражения призван восполнить этот пробел.

§ 1. Обозначения и предварительные результаты Пусть Rn+1 = {(x, y) : x R, y Rn}, (±) = {(x, y) : ±x > 0}, D = {Dx, Dy}, Dx = /x, Dy = {D1,..., Dn}, Dj = -i/yj, j = 1,..., n, i = -1, 1 n Dy = D... D, = {1,..., n}, j = 0, 1, 2,..., || = 1 + · · · + n. Введем линейные формы f; g (n) = f(x)g(x) dx, f; g (n+1) = f(x, y)g(x, y) dxdy, (1.1) Rn Rn+ f; g (n+1),(±) = (±x)f; g (n+1).

Здесь и далее (·) функция Хевисайда.

Пусть S (Rm), m = n, n+1, означает, как всегда, пространство Шварца рас пределений умеренного роста с линейной формой ; (m), далее (см. [7]) S ( (±)) © 2004 Засорин Ю. В.

1074 Ю. В. Засорин пространство распределений T (x, y) S (Rn+1) таких, что supp(T ) (±), с линейной формой ; (n+1),(±) (см. формулу (1.1)). Пусть P (Dy) линейный симметрический положительный оператор с постоянными коэффициентами:

P (D) = aD, P () = P (-) > 0, Rn \ {0}, (1.2) и пусть L(D) = Dx - P (Dy), L(D) = L(-D). (1.3) Лемма 1. Пусть E(x, y) S (Rn+1) фундаментальное решение уравнения:

L(D)E(x, y) = (x) (y), (1.4) где (·) дельта-функция Дирака. Тогда 1) справедливо включение E(x, y) C(Rn+1 \ {(0; 0)}); (1.5) 2) при каждом фиксированном y Rn функция T (z) = E(z, y), z C, имеет умеренный рост в секторах K1 и K2:

K1 = {| arg(z)| /6}, K2 = {Re z 0}. (1.6) 3) имеет место тождество E(z, y) + ei2/3E(ei2/3z, y) + e-i2/3E(e-i2/3z, y) 0, z C, y = 0. (1.7) Доказательство. Пусть L(i, ) = -(i3 + P ()) символ оператора L(D). Положим NL = {(, ) Rn+1 : L(i, ) = 0}. (1.8) В силу ограничения (1.2) множество NL либо пусто, либо совпадает с единственной точкой { = 0, = 0} (если P (0) = 0). Следовательно (см. [7]), оператор L(D) гипоэллиптический, и утверждение 1 леммы верно.

Докажем утверждение 2. Для этого получим интегральное представление функции (распределения) E(x, y). Воспользуемся стандартным приемом: при+ меним к уравнению (1.4) прямое преобразование Фурье F по переменным y Rn. Получим задачу 3 + Dx - P () (F E)(x, ) = 0, x = 0, Rn, (1.9) + + + + (F E)(-0, ) = (F E)(+0, ), (DxF E)(-0, ) = (DxF E)(+0, );

2 + + DxF E (+0, ) - (D2F E)(-0, ) = 1, Rn. (1.10) Решая задачу (1.9), (1.10) в классе S (R), получаем, что r-2 exp(xr), x 0, E(x, y) = - F (1.11) 2 Re{ei/3r-2 exp(-ei/3xr)}, x 0.

Здесь и далее r = r() = (P ())1/3; r-m = (1/P ())m/3, m = 1, 2, - + а (F f)(y) = (2)-n(F f)(-y) означает обратное преобразование Фурье по переменным Rn.

Комплексный метод Теперь из (1.11) нетрудно получить интегральное представление для T (z) = E(z, y) в секторах K1 и K2:

r-2 exp(zr), z K2, E(z, y) = - F ei/3r-2 exp(-ei/3zr) + e-i/3r-2 exp(-e-i/3zr), z K1, (1.12) откуда (см. [7]) следует утверждение 2 леммы, а также тождество (1.7). Лемма доказана.

Замечание 1. Вообще говоря, фундаментальное решение E(x, y) уравнения (1.4) определяется с точностью до регулярного решения u S (Rn+1) уравнения L(D)u(x, y) = 0, (x, y) Rn+1, причем (см. [8]) u(x, y) либо полином Q(x, y), если P (0) = 0 (т. е. NL = {(0; 0)}), либо тождественно равно нулю, если P (0) > 0 (NL определено формулой (1.8)).

Поэтому во избежание разночтений в дальнейшем под E(x, y) будем понимать только распределение, определенное равенствами (1.11) или (1.12).

Рассмотрим функции I(+)(x,, y) = (x)()E(-ei/3x -, y), (1.13) I(-)(x,, y) = (-x)(-)E(x + ei/3, y).

Полагая z = -(x)()(ei/3x + ) + (-x)(-)(x + ei/3) (1.14) и замечая, что z K2 для всех x, R, с помощью равенства (1.12) можно получить интегральные представления для функций I(±):

(x)() I(+)(x,, y) = - F {r-2 exp(-(ei/3x + )r)}, (1.15) (-x)(-) I(-)(x,, y) = - F {r-2 exp((x + ei/3)r)}, которые будут справедливы (в силу (1.7)) также и для комплексных x, (при этом нужно лишь следить, чтобы точка z, определенная равенством (1.14), не выходила из сектора K2).

Наконец, несложно видеть, что I(+)(x,, y) = I(-)(-, -x, y). (1.16) Замечание 2. Отметим, что если интегральное представление (1.11) носит формальный характер (поскольку множитель r-2() может иметь несуммируемую особенность в точке = 0), то интегральные представления (1.12), q m p (1.15) уже вполне корректны (см. [9]). В то же время для Dx Dy E, DxDDy I(±), m, p + q 2, || 0, соответствующие интегралы (1.11), (1.12), (1.15) уже не имеют особенности в точке = 0, поэтому для установления функциональных соотношений между производными E и I(±) представлением (1.11) можно пользоваться наравне с прочими.

Замечание 3. Отметим также (см. [9]), что если r-2() Lloc(Rn), то точки (x, y) = и (x,, y) = будут правильными точками для соответственно функций E и I(±) и их производных (если P (0) > 0, то на самом деле E и I(±) экспоненциально убывают на бесконечности); в противном случае E и I(±) (и, возможно, их младшие производные) будут полиномиально ограниченны в окрестностях этих точек.

1076 Ю. В. Засорин Следствие 1. Функции I(±)(x,, y), определенные равенствами (1.15), порождают регулярные распределения умеренного роста I(±) S R±,x R±, Rn C R±,x R±, Rn \ {(0; 0; 0)}, (1.17) y y I(±)(·,, ·) S ( (±),x,y), ± 0; I(±)(x, ·, ·) S ( (±),,y), ±x 0, (1.18) и удовлетворяют уравнениям L(Dx, Dy)I(±)(x,, y) = 0, (x, y) (±), ± 0, (1.19) L(D, Dy)I(±)(x,, y) = 0, (, y) (±), ±x 0.

Доказательство. Утверждения (1.17) и (1.18) следуют непосредственно из леммы 1, замечания 3 и равенств (1.5), (1.13) и (1.15). Для доказательства равенств (1.19) достаточно заметить, что в силу (1.17) sing supp(I(±)(x,, y)) = {x = = 0, = 0}, откуда и из (1.3), (1.4), (1.16) следует, что supp(L(Dx, Dy)I(±)) (±),x,y =, ± 0;

supp(L(D, Dy)I(±)) (±),,y =, ±x 0.

Следствие доказано.

Из неравенств (1.10), (1.11), (1.13), (1.15), (1.16) и замечаний 2 и 3 непосредственно вытекает Следствие 2. Для всех, || 0, справедливы следующие равенства:

m m Dx Dy E = Dx Dy E (0, y), m = 0, 1, x=± 1 DxDy E = Dy (y), x=±6 (-1)p+qeip/q p p+q DxDI(±) x==±0 = Dx Dy E (0, y), p + q 1, 3 eiq/ 1 i m 2-m Dx D I(±) x==±0 = exp (1 2 - m) Dy (y), (1.20) 3 а также m Dx Dy E(x, y) = o(1), x, y, q p DxDDy I(±)(x,, y) = o(1), x, ±, y, (1.21) 0, r-2 Lloc(Rn), m, p + q 1, r-1 Lloc(Rn), 2, r-1 Lloc(Rn).

/ Комплексный метод § 2. Постановка задач и теоремы единственности Фиксируя пару индексов (j, k), 0 j < k 2, рассмотрим в области (+) следующую задачу:

L(D)u(+)(x, y) = f(+)(x, y), (x, y) (+); (2.1) m Dx u(+) x=+0 = hm(y), y Rn, m = j, k, (2.2) где u(+), f(+) S ( (+)), hm S (Rn).

Теперь, фиксируя индекс l, 0 l 2, рассмотрим уже в области (-) задачу L(D)u(-)(x, y) = f(-)(x, y), (x, y) (-); (2.3) l Dxu(-) x=-0 = hl(y), y Rn, (2.4) где u(-), f(-) S ( (-)), Hl S (Rn).

Если P (0) > 0, то добавим одно из следующих условий регулярности решения на бесконечности:

u(±)(x, y) = o(1), (x, y), r-2 Lloc(Rn), (2.5) Dxu(±)(x, y) = o(1), (x, y), r-1 Lloc(Rn), (2.6) Dxu(±)(x, y) = o(1), (x, y), r-1 Lloc(Rn). (2.7) / Для простоты будем считать, что sing supp(f(±)) (±); (2.8) f(±)(x, y) = O(|x|-)O(|y|-), (x, y), (2.9) hm(y) = O(|y|-), y, m = j, k.

Замечание 4. В тех случаях, когда не требуется детализации, идет ли речь о задаче (2.1), (2.2) без условий (2.5)–(2.7) или же о задаче (2.1), (2.2) с одним из условий (2.5)–(2.7), будем писать просто задача (j, k, (+)). Точно так же для задач (2.3), (2.4),... будем использовать обобщающее обозначение задача (l, (-)).

Замечание 5. Обратим внимание на асимметрию задач (j, k, (+)) и (l, (-)): в первом случае ставятся два краевых условия, а во втором лишь одно. Тем не менее, как мы убедимся в дальнейшем, именно такая постановка краевых условий обеспечивает корректную разрешимость задач (j, k, (+)) и (l, (-)).

Теорема 1. Решение u(+) S ( (+)) 1) задачи (2.1), (2.2) или (2.1), (2.2), (2.5) единственно;

2) задачи (2.1), (2.2), (2.6) или (2.1), (2.2), (2.7) единственно с точностью до полинома Q(x, y), причем deg Q(·, y) 0 или 1 соответственно.

Доказательство. Будем считать, что распределения f(+), hm из равенств + (2.1), (2.2) равны нулю. Обозначим через (x, ) = (F u(+))(x, ) преобразование Фурье по переменным y Rn распределения u(+)(x, y). Тогда задача (2.1), (2.2) редуцируется к задаче Dx - r3() (x, ) = 0, x > 0, r() 0, Rn, (2.10) 1078 Ю. В. Засорин j k Dx = Dx, Rn. (2.11) x=+0 x=+Пусть сначала r > 0. В этом случае решение уравнения (2.10) есть линейная комбинация трех частных решений: C0() exp(xr) и C±() exp(-e±i/3xr).

Поскольку, как и u(+), есть распределение класса S ( (+)) (и, значит, имеет умеренный рост на бесконечности), то C0(t) = 0 при t > 0. Но тогда в силу условий (2.11) также и C+(t) = C-(t) = 0 при t > 0. Следовательно, = 0 вне многообразия {x 0, = 0}. Теперь если P (0) > 0, то в силу ограничения (1.2) supp() =, а значит, и u(+) равны нулю в S ( (+)).

Пусть P (0) = 0. Тогда supp() = {x 0, = 0}, следовательно (см. [7]), (x, ) = a(x) D (), где a(·) некоторое распределение из S (R), а сумма конечна. Отсюда u(+)(x, y) = (2)-n a(x) (-iy), т. е. u(+)(x, y) является полиномом относительно переменных y Rn, который при наличии ограничения (2.5) может быть лишь тождественно равен нулю. В случае ограничений (2.6) или (2.7) распределения a(x) могут быть либо константами, либо полиномами степени не выше чем 1 соответственно.

Теорема доказана.

Теорема 2. Решение u(-) S ( (-)) 1) задачи (2.3), (2.4) или (2.3)–(2.5) единственно;

2) задачи (2.3), (2.4), (2.6) или (2.3), (2.4), (2.7) единственно с точностью до полинома Q(x, y), причем deg Q(·, y) 0 или 1 соответственно.

Доказательство аналогично доказательству предыдущего утверждения.

§ 3. Функции Грина задач (j, k, (+)) и (l, (-)) Перейдем к конструированию функций Грина задач (j, k, (+)) и (l, (-)).

Определение 1. Функцией Грина G(j,k,(+))(x,, y) задачи (j, k, (+)) будем называть распределение класса S ( (+),x,y) S ( (+),,y), удовлетворяющее в области (+),x,y (+),,y следующему уравнению:

L(Dx, Dy)G(j,k,(+)) = L(D, Dy)G(j,k,(+)) = (x - ) (y), (3.1) а также условиям m Dx G(j,k,(+)) x=+0 = 0, (, y) (+), m = j, k; (3.2) Dj+k+1G(j,k,(+)) =+0 = 0, (x, y) (+). (3.3) Определение 2. Функцией Грина G(l,(-)) задачи (l, (-)) будем называть распределение класса S ( (-),x,y) S ( (-),,y), удовлетворяющее в области (-),x,y (-),,y уравнению L(Dx, Dy)G(l,(-)) = L(D, Dy)G(l,(-)) = (x - ) (y), (3.4) Комплексный метод а также условиям l DxG(l,(-)) x=-0 = 0, (, y) (-), (3.5) m D G(l,(-)) =-0 = 0, (x, y) (-), 0 m 2, m = 2 - l. (3.6) Если P (0) > 0, то дополнительных условий на бесконечности ставить не будем. Если P (0) = 0, то добавляем условие m Dx G(...,(±))(x,, y) = o(1), x ±, ±, y, 0, r-2 Lloc(Rn), m = 1, r-1 Lloc(Rn), (3.7) 2, r-1 Lloc(Rn).

/ Теорема 3. Функции Грина G(j,k,(+)) и G(l,(-)) задач (j, k, (+)) и (l, (-)) могут быть представлены в следующем виде:

iG(j,k,(+))(x,, y) = (x)()E(x -, y) - 2 Re exp - (j + k) I(+)(x,, y), iG(l,(-))(x,, y) = (-x)(-)E(x -, y) + 2 Re exp - (l + 1) I(-)(x,, y), (3.8) где функции (распределения) I(±) определяются равенствами (1.13).

Доказательство осуществляется обычной проверкой равенств (3.1)–(3.7).

Равенства (3.1), (3.4) следуют непосредственно из формул (1.4), (1.19), (3.8);

равенства (3.2) и (3.6) из формул (1.13), (3.8). Справедливость равенств (3.3), (3.5) может быть выведена непосредственно из формул (1.11)–(1.13), однако еще легче она устанавливается на основании тождеств (1.7) и G(j,k,(+))(x,, y) = G(j+k-1,(-))(-, -x, y). (3.9) Далее, справедливость (3.7) вытекает из формулы (1.21). Наконец, умеренный рост на бесконечности распределений G(...,(±)) по совокупности переменных следует непосредственно из (1.18). Теорема доказана.

Замечание 6. Отметим, что пока еще мы не можем переходить к непосредственному конструированию решений u(±) задач (j, k, (+)) и (l, (-)) путем естественной их редукции к задачам с однородными краевыми условиями, представляя решения исходных задач в виде xj xk xl u(+) = hj(y) + hk(y) + v(+), u(-) = hl(y) + v(-), j! k! l! так как редукция сразу же заводит в тупик, поскольку в общем случае приводит к нарушению условий (2.5)–(2.7), (2.9). Поэтому необходима технически трудоемкая, но честная проверка функций Грина G(...,(±)) на дельтаобразность в соответствующих краевых условиях.

Приведем ряд простых, но важных свойств функций Грина. В частности, непосредственно из равенств (1.3), (1.4), (1.13), (3.8) следует 1080 Ю. В. Засорин Лемма 2. Справедливы равенства DxG(0,1,(+)) = -DG(0,2,(+)), DxG(0,(-)) = -DG(2,(-)), DxG(0,2,(+)) = -DG(1,2,(+)), DxG(1,(-)) = -DG(0,(-)), (3.10) DxG(1,2,(+)) = -DG(0,1,(+)), DxG(2,(-)) = -DG(1,(-)), а также 3 DxG(j,k,(+)) = -DG(j,k,(+)) = P (Dy)G(j,k,(+)), x > 0, (3.11) 3 DxG(l,(-)) = -DG(l,(-)) = P (Dy)G(l,(-)), x < 0.

Наконец, из равенств (1.20), (3.8) получим, что для младших производных m m Dx G, D G, m 1, можно менять местами повторные пределы при x ±, ±, однако уже для вторых производных это не так. Используя формулы (3.9), (3.10), дадим точный ответ на вопрос о повторных пределах.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.