WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Доказательство завершается подобными же рассуждениями.

Асимптотический анализ случайных блужданий Лемма 6. Пусть bm > 0 и G+ L. Пусть g(x) функция такая, что G+((x + g(x))/bm ) G+(x/bm ) 1 при x. Тогда P Bn n>mlim =.

x bm G+(x/bm ) a 1 Доказательство. Существование такой функции g(x) гарантировано леммой 2. В силу леммы P Bn = P{Bn} n>m1 n>m n-m - (m1) = P {|Tj| g(x)+h(j)} Tn g(x)+h(n) n>m1 j= Pm {|1| g(x)}P{bm n-m > x+(2+m1b)g(x)+na+2h(n)}.

1 Отсюда вытекают оценка сверху P Bn P{bm 1 > x + na} (11) n>m1 n>mи оценка снизу P Bn n>m (m1) P {|Tn| g(x)+h(n)} Tn g(x)+h(n) n1 nm Pm {|1| g(x)} P{bm 1 > x+(2+m1b)g(x)+na+2h(n)}. (12) n>mПри x справедливы сходимость P{|1| g(x)} 1, а также сходимости (9) и (10). Следовательно, неравенства (11) и (12), а также лемма 4 при z = (x + (2+m1b)g(x))/bm влекут искомое утверждение леммы.

Лемма 7. Пусть bm 0, bm 0 и bm + |bm | > 0. Пусть Gb,|bm2 | 1 2 1 2 mL и g(x) такая функция, что (здесь m = max{m1, m2}) имеет место эквивалентность Gb,|bm2 |(x + (2 + mb)g(x)) Gb,|bm2 |(x) m1 mпри x. Тогда P (Bn Bn ) n>m lim inf.

x Gb,|bm2 |(x) a mЗамечание. Отметим, что GB,b L, если G+ L и G- L. Еще одним комплексом условий, достаточных для принадлежности GB,b L, является G+ L и G-(x/b) = o(G+(x/B)) при x. Отметим также, что функция g(x) в лемме 7 существует, поскольку наряду с функцией g(x) в лемме 2 всегда можно брать и функцию (2 + mb)g(x).

1076 Д. А. Коршунов, С. Шлегель, Ф. Шмидт Доказательство леммы 7. В силу леммы - P (Bn Bn ) = P Bn + P Bn.

n>m n>m n>m Следуя рассуждениям из доказательства леммы 6, выводим, что для любого > 0 найдется x0 такое, что для x x P Bn (1 - ) P{bm 1 > x+(2+mb)g(x)+na+2h(n)};

n>m1 n>m P Bn (1 - ) P{|bm |1 < -x-(2+mb)g(x)-na-2h(n)}.

n>m2 n>mЗначит, ввиду леммы x+(2+mb)g(x)+na+2h(n) P (Bn Bn ) (1-) F bm n>m n>m x+(2+mb)g(x)+na+2h(n) + F |bm | (1 - )a-1Gb,|bm2 |(x + (2+mb)g(x)) (1 - )a-1Gb,|bm2 |(x).

m1 m2.2. Асимптотические оценки снизу для хвоста распределения супремума. Теперь мы готовы сформулировать и доказать асимптотическую оценку снизу для хвоста P{sup Sn > x} при x.

n Теорема 2. Пусть m1, m2 N два произвольных различных натуральных числа. Положим C = max{0, cm } 0 и c = min{0, cm } 0. Если 1 C + |c| > 0 и GC,|c| L, то P{sup Sn > x} n lim inf. (13) x GC,|c|(x) a Доказательство. В лемме 7 положим bk = ck и Tn = Sn +na. Обозначим m = max{m1, m2}, и пусть g(x) такая функция, что GC,|c|(x + (2 + mb)g(x)) GC,|c|(x) при x ; ее существование гарантировано леммой 2 (см. замечание после леммы 7). Для n > m рассмотрим события (m1) Bn = Tn g(x) + h(n) {Cn-m > x + (2+m1b)g(x) + na + 2h(n)} n {|j| g(x)}, j=n-m1+ - (m2) Bn = Tn g(x) + h(n) {|c|n-m > x + (2+m2b)g(x) + na + 2h(n)} n {|j| g(x)}, j=n-m2+ где h(n) функция, рассмотренная в (9) и (10). По определению Bn Bn - {Sn > x} и Bn Bn {Sn > x}. Следовательно, P{sup Sn > x} P (Bn Bn ).

n n Теперь искомое утверждение следует из леммы 7.

Из доказательства теоремы 2 немедленно вытекают следующие утверждения.

Асимптотический анализ случайных блужданий Следствие 2. Пусть cm > 0 для некоторого m 0 и G+ L. Тогда P{sup Sn > x} n lim inf.

x cmG+(x/ a cm) Следствие 3. Пусть cm < 0 для некоторого m 0 и G- L. Тогда P{sup Sn > x} n lim inf.

x |cm|G-(x/| a cm|) § 3. Оценка сверху Начнем с определения класса субэкспоненциальных распределений, используемого в настоящем параграфе при выводе асимптотических при x оценок сверху для хвоста P{sup Sn > x}.

n Распределение G в R+ называется субэкспоненциальным, если G(x) < для любого x 0 и G G(x) lim = 2, (14) x G(x) где G G(x) обозначает хвост свертки x G G(x) = G(x - y) G(dy).

Класс всех субэкспоненциальных распределений обозначаем через S. Хорошо известно, что S L.

Ради простоты будем писать GB,b S, когда GB,b(x)/GB,b(0), x 0, представляет собой хвост субэкспоненциального распределения. В частности, G+ S, если интегральный хвост G+(x)/G+(0), x 0, распределения F (x) является хвостом субэкспоненциального распределения.

Хорошо известно, что асимптотическое поведение хвоста распределения супремума частичных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин описывается соотношением n P sup k - na > x a-1G+(x) при x (15) nk=при условии G+ S (см. [7], а также [8–10]). При этом оказывается, что G+ S является не только достаточным, но и необходимым условием для выполнения (15) (см. [11]).

Лемма 8. Пусть bk R, k N, B sup{0, bk, k N} и b inf{0, bk, k N}. Пусть существует предел lim bk = b. (16) k Тогда если B + |b| > 0 и GB,|b| S, то n P sup bn-kk-na > x n k=lim sup.

GB,|b|(x) a x 1078 Д. А. Коршунов, С. Шлегель, Ф. Шмидт Замечание. Условие GB,|b| S выполнено, если, например, G+ S и G-(x/b) = ( + o(1))G+(x/B) для некоторого 0 при x.

Доказательство леммы 8. Наше доказательство основано на использовании метода срезок. Для любого действительного z > 0 и любой случайной величины с распределением F положим B() при () > z, [z]() b() при - z () z, b() при () < -z.

Если x > max{B, -b, | то b|}z, P([z] > x) = P(B > x) + P(b > x) = F (x/B) + F (-x/|b|). (17) [z] Поскольку GB,|b| S, интегральный хвост распределения 1 является субэкспоненциальным. Далее, для любых и b [b, B] имеем B() при () > z, b () b () при - z < () z, b() при () < -z [z]() при () > z, [z]() + (b - b)() при - z < () z, = [z]() при () < -z [z]() + | - b |z.

b Следовательно, n n n- [z] bn-kk k + z | - bk|.

b k=1 k=1 k= Фиксируем (0, a/2). Поскольку bk b, существует K такое, что |bk - b| для любого k K. Поэтому n n K n [z] [z] bn-kk k + z | - bk| + n k + bz + n, b k=1 k=1 k=0 k=где K b | - bk|.

b k=[z] Так как E1 = 0, найдется достаточно большое z > 0 такое, что E1.

Ввиду (15) и (17) n [z] P sup k - na > x GB,|b|(x) [z] na-Ek=при x. Тем самым n n [z] P sup bn-kk - na > x P sup k - n(a-) > x - bz n n k=1 k=1 + o(1) GB,|b|(x - bz) GB,|b|(x).

a - 2 a - Асимптотический анализ случайных блужданий Ввиду произвольности > 0 доказательство закончено.

Из последней леммы вытекает следующая асимптотическая верхняя оценка для хвоста P{sup Sn > x}.

n Теорема 3. Пусть C = sup{0, ck, k N} 0, c = inf{0, ck, k N} 0.

Тогда если GC,|c| S, то P{sup Sn > x} n lim sup. (18) GC,|c|(x) a x Доказательство вытекает из леммы 8, если положить bk = ck, B = C и b = c. При этом условие (16) выполнено ввиду (3).

В случае, когда все коэффициенты ck неотрицательны или все неположи тельны, мы немедленно получаем следующие два следствия теоремы 3.

Следствие 4. Предположим, что ck 0 для любого k N. Пусть G+ S и C = sup ck > 0. Тогда k P{sup Sn > x} n lim sup.

a x CG+(x/C) Следствие 5. Предположим, что ck 0 для любого k N. Пусть G- S и c = inf ck < 0. Тогда k P{sup Sn > x} n lim sup.

|c|G-(x/|c|) a x § 4. Асимптотики в случае правильно меняющихся хвостов Настоящий параграф посвящен случаям, оставшимся вне рассмотрения в теореме 1.

Функция f : R+ R+ называется почти правильно меняющейся, если f(x(1 + )) lim lim = 1. (19) x 0 f(x) Обозначим через I R класс всех функций, удовлетворяющих (19). Правильно меняющиеся на бесконечности функции дают пример функций класса I R.

Если распределение G имеет почти правильно меняющийся хвост, то G S.

Теорема 4. Пусть GC,|c| S. Предположим, что выполнено одно из следующих условий:

(i) C > 0, C > cm для любого m, c = cm < 0 для некоторого m2 и G+ I R;

(ii) C = cm > 0 для некоторого m1, c < 0, c < cm для любого m и G- I R;

(iii) C > 0, C > cm для любого m, c < 0, c < cm для любого m и GC,|c| I R.

1080 Д. А. Коршунов, С. Шлегель, Ф. Шмидт Тогда P{sup Sn > x} a-1GC,|c|(x) при x. (20) n Доказательство. Фиксируем > 0 и предположим, что выполнено условие (i). В силу (19) существуют (0, ] и x0 > 0 такие, что для x xG+(x/(C - )) 1 -. (21) G+(x/C) Поскольку sup ck = C, найдется k0 такое, что ck C -. Из (13) вытекает, что kP{sup Sn > x} n lim inf. (22) x Gc,|cm2 |(x) a kПринимая во внимание равенства Gc,|cm2 |(x) Gc,|c|(x) ck c|G-(x/| ck G+(x/ ) + | c|) k0 k0 = = GC,|c|(x) GC,|c|(x) CG+(x/C) + | c|) c|G-(x/| и (21), получаем при x x0 оценку Gc,|cm2 |(x) c|G-(x/| (C - )(1 - )G+(x/C) + | c|) k GC,|c|(x) CG+(x/C) + | c|) c|G-(x/| (C - )(1 - )/C (C - )(1 - )/C.

Так как > 0 выбрано произвольным образом, из (22) следует, что P{sup Sn > x} n lim inf.

x GC,|c|(x) a Объединяя это неравенство с верхней оценкой (18), приходим к (20). В случаях (ii) и (iii) доказательство проводится таким же образом.

ЛИТЕРАТУРА 1. Asmussen S., Henriksen L. Flfie, Klppelberg C. Large claims approximations for risk processes in a Markovian environment // Stochastic Process. Appl. 1994. V. 54. P. 29–43.

.

2. Asmussen S., Hfijgaard B. Ruin probability approximations for Markov-modulated risk processes with heavy tails // Theory Random Proc. 1996. V. 2. P. 96–107.

.

3. Asmussen S., Schmidli H., Schmidt V. Tail probabilities for non-standard risk and queueing processes with subexponential jumps // Adv. Appl. Probab. 1999. V. 31. P. 422–447.

.

4. Baccelli F., Schlegel S., Schmidt V. Asymptotics of stochastic networks with subexponential service times // Queueing Systems. Theory Appl. 1999. V. 33. P. 205–232.

.

5. Jelenkovi P. R., Lazar A. A. A network multiplexer with multiple time scale and subexponential arrivals // Stochastic Networks: Stability and Rare Events. New York: Springer, 1996. P. 215–235.

6. Mikosch T., Samorodnitsky G. The supremum of a negative drift random walk with dependent heavy-tailed steps // Ann. Appl. Probab. 2000. V. 10. P. 1025–1064.

.

7. Embrechts P., Veraverbeke N. Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims // Insurance Math. Econom. 1982. V. 1. P. 55–72.

.

8. Asmussen S. Ruin probabilities. Singapore: World Sci. Publ. Co., 2000.

9. Embrechts P., Klppelberg C., Mikosch T. Modelling extremal events for insurance and finance. Berlin: Springer-Verl., 1997.

Асимптотический анализ случайных блужданий 10. Rolski T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J. Stochastic processes for insurance and finance.

Chichester: John Wiley & Sons, 1999.

11. Korshunov D. On the distribution tail of the maxima of a random walk // Stochastic Proc.

Appl. 1997. V. 72. P. 97–103.

.

Статья поступила 11 апреля 2003 г.

Коршунов Дмитрий Алексеевич Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск korshunov@math.nsc.ru Шлегель Сабина (Sabine Schlegel) EURANDOM, P.O. Box 513, NL-5600 MB Eindhoven, The Netherlands schlegel@eurandom.tue.nl Шмидт Фолкер (Volker Schmidt) Department of Stochastics, University of Ulm, D-89069 Ulm, Germany schmidt@mathematik.uni-ulm.de

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.