WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2003. Том 44, № 5 УДК 519.21 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ С ЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ В СЛУЧАЕ ТЯЖЕЛЫХ ХВОСТОВ Д. А. Коршунов, С. Шлегель, Ф. Шмидт Аннотация: Рассматривается случайное блуждание {Sn} с отрицательным сносом, имеющее зависимые приращения с тяжелыми хвостами. Изучается асимптотика вероятностей больших уклонений P{sup Sn > x} при x. В случае n независимых приращений блуждания {Sn} точное асимптотическое поведение вероятности P{sup Sn > x} хорошо известно. Здесь же исследуется случай, когда n приращения блуждания сформированы асимптотически стационарным процессом скользящих средних. Показывается, что асимптотика хвоста распределения sup Sn n существенно зависит от линейных коэффициентов в скользящем среднем.

Ключевые слова: случайное блуждание, зависимые приращения, тяжелые хвосты распределения, субэкспоненциальное распределение, асимптотики хвостов.

§ 1. Введение В ряде недавних работ (см. [1–6]) изучается асимптотика хвоста распределения супремума случайного блуждания с отрицательным сносом в случае зависимых приращений с тяжелыми хвостами. В настоящей работе мы продолжаем эти исследования и рассматриваем стохастическую модель, которую можно обосновать следующим образом. Пусть номинальный (планируемый) доход в единицу времени некоторого производства или финансовой компании равен некоторой константе a > 0. Однако на практике в различных ситуациях реальные доходы за конкретные единичные периоды времени могут отличаться от номинального. Поэтому мы предполагаем, что реальный доход за n-й период времени есть результат некоторых случайных возмущений 1,..., n (с нулевым средним значением), возникающих в n первых единичных периодов времени благодаря неожиданным расходам или дополнительным финансовым поступлениям. Например, возмущение n, возникающее в n-й период времени, может быть не полностью учтено (предъявлено к оплате) именно в этот момент времени и может также влиять на доходы в последующие периоды времени. Более точно, в n-й период времени учитывается доля c0n от n, в (n + 1)-й период доля c1n, в (n + 2)-й период доля c2n и т. д., где c0, c1, · · · [0, 1], причем ci = 1. Следовательно, если система начинает функционировать в нулевой i=Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (Project Reference Number 00–265), кроме того, работа первого из авторов поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (коды проектов 02–01–00902 и 02–01–00358) и EPSRC (Grant N R58765/01).

© 2003 Коршунов Д. А., Шлегель С., Шмидт Ф.

1068 Д. А. Коршунов, С. Шлегель, Ф. Шмидт момент времени, то реальный доход за k-й период времени дается выражением k k a - ck-jj. Кроме того, сумма Sn = 1 + · · · + n, где k = ck-jj - a, j=1 j=может рассматриваться как итоговый (совокупный) баланс расходов в момент времени n.

Результаты настоящей статьи имеют место при более общих условиях на коэффициенты c0, c1,.... А именно, эти коэффициенты могут быть произволь ными фиксированными действительными числами такими, что |ci| <.

i=Коэффициенты, б единицы и отрицательные, могут трактоваться, наольшие пример, как предъявление к оплате слишком больших исков и возврат средств в дальнейшем соответственно.

Ответ на вопрос о том, является ли процесс баланса расходов {Sn, n 1} хорошо контролируемым или опасным, в ряде случаев может быть дан, если достаточно хорошо изучено асимптотическое при x поведения хвоста распределения P{sup Sn > x}. В настоящей статье мы находим условия, при котоn рых возможно точное определение асимптотического поведения P{sup Sn > x}.

n Оказывается, что искомая асимптотика существенно зависит от выбора коэффициентов c0, c1,....

1.1. Модель. Пусть {n, n = 1, 2,... } последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним, En = 0.

Обозначим через F распределение n, т. е. F (x) = P{n x} для любого x R. Правый хвост распределения F обозначаем через F (x) = 1 - F (x). Для любого x 0 определим интегралы G+(x) = F (y) dy и G-(x) = F (-y) dy, x x которые конечны при любом x ввиду конечности среднего значения En. Для любых двух действительных чисел B 0 и b 0, не равных одновременно нулю, рассмотрим функцию GB,b, задаваемую следующим равенством (здесь x/0 = при x 0):

GB,b(x) = BG+(x/B) + bG-(x/b), x 0.

По определению G+ = G1,0, G- = G0,1 и GB,b(x) = (F (y/B) + F (-y/b)) dy.

x Пусть a > 0 и ck R, k N, набор констант, из которых хотя бы одна отлична от нуля; N = {0, 1,... }. Определим случайную величину k равенством k k = ck-jj - a.

j=Рассмотрим частичные суммы S0 = 0, Sn = 1 + · · · + n, n 1.

Асимптотический анализ случайных блужданий Определенную таким образом последовательность {Sn, n N} мы называем случайным блужданием с асимптотически стационарными зависимыми приращениями и с отрицательным сносом. Оказывается полезным следующее представление частичных сумм Sn. Введя обозначение k ck = ci, k N, (1) i=получаем представление в терминах суммы взвешенных слагаемых:

n Sn = cn-jj - na. (2) j=Всюду предполагаем, что |ck| <. (3) k=При этом условии последовательность {Sn} удовлетворяет усиленному закону больших чисел, т. е. Sn/n -a < 0 с вероятностью 1 при n (соответствующее элементарное доказательство см. ниже в лемме 1). Следовательно, супремум sup Sn случайного блуждания {Sn} корректно определенная слуnN чайная величина, конечная с вероятностью 1.

1.2. Основные результаты. Основная цель настоящей статьи найти условия, при которых асимптотическое поведение хвоста P{sup Sn > x} просто nN выражается в терминах функций G+(x) и G-(x) при x.

В § 2 выводится асимптотическая оценка снизу для вероятности P{sup Sn > n x}. В теореме 2 показано, что если взять два любых различных натуральных числа m1, m2 N и положить C = max{0, cm } 0 и c = min{0, cm } 0, то 1 P{sup Sn > x} n lim inf (4) x GC,|c|(x) a при условии, что C + |c| > 0 и GC,|c| является функцией с длинным хвостом (соответствующее определение см. в § 2).

В § 3 мы выводим асимптотически точную верхнюю оценку (теорема 3).

Положим C = sup{0, ck, k N} 0 и c = inf{0, ck, k N} 0, где C + | > 0, c| поскольку не все ck равны 0. Показано, что если GC,|c| принадлежит классу S субэкспоненциальных распределений (определение см. в § 3), то P{sup Sn > x} n lim sup. (5) GC,|c|(x) a x Объединение оценок (4) и (5) немедленно приводит к следующей асимптотике хвостов sup Sn.

n Теорема 1. Пусть выполнено одно из следующих условий:

(i) для некоторых m1 и mcm = C sup{0, ck, k N} > 0, cm = c inf{0, ck, k N} < 0;

1 1070 Д. А. Коршунов, С. Шлегель, Ф. Шмидт (ii) C = cm > 0 для некоторого m1 и c = 0;

(iii) C = 0 и c = cm < 0 для некоторого m2.

Тогда если GC,|c| S, то P{sup Sn > x} a-1GC,|c|(x) при x.

n В § 4 рассматриваются оставшиеся случаи, не охватываемые теоремой 1, а именно когда C > 0 и C > cm для любого m либо c < 0 и c < cm для лю бого m. Показывается, что тогда утверждение теоремы 1 остается в силе при дополнительном предположении (почти) правильного изменения на бесконечности хвостов распределений.

Отметим, что формально наши результаты обобщают хорошо известную теорему об асимптотическом поведении хвоста распределения супремума случайного блуждания с независимыми приращениями субэкспоненциального типа с отрицательным сносом, которому соответствует случай c0 = 1, c1 = c2 = · · · = 0;

(см. [7], а также [8–10]). Недавно были доказаны некоторые обобщения этой теоремы на случай случайных блужданий с зависимыми приращениями (см. [1–5]).

Одно из этих обобщений, в наибольшей степени коррелирующее с нашими результатами, получено в [6], где предполагается правильное изменение на бесконечности правого и левого хвостов F. Это предположение, сделанное в [6], существенно для использования утверждений типа теоремы Карамата. Мы используем другие методы доказательства (см. § 2, 3), позволяющие избежать в теореме 1 предположения о регулярном изменении распределения F.

1.3. Усиленный закон больших чисел. Сформулируем и докажем элементарный усиленный закон больших чисел для последовательности Sn, определяемой равенством (2).

Лемма 1. С вероятностью 1 при n имеет место сходимость Sn/n -a.

Доказательство. Ввиду условия (3) последовательность cn имеет предел при n ; обозначим этот предел через c R. Тогда для любых n и N N, связанных неравенством n N, имеем равенство n n-N N- Sn + na c 1 n-j = j + ( - c)j + ( - c).

cn-j cj n n n n j=1 j=1 j=Так как E|1| конечно, в силу стандартного усиленного закона больших чисел n c j 0 при n с вероятностью 1. Кроме того, |n-j|/n 0 при n j=n с вероятностью 1 для любого фиксированного j 0. Поэтому для любого фиксированного N N n-N Sn + na lim sup lim sup ( - c)j.

cn-j n n n n j=Для любого > 0 найдется N такое, что |cn - c| для любого n N.

Следовательно, n-N n 1 lim sup ( - c)j lim sup |j| = E|j|, cn-j n n n n j=1 j=что завершает доказательство леммы, так как > 0 можно выбрать сколь угодно малым.

Асимптотический анализ случайных блужданий § 2. Оценки снизу Сначала сформулируем и докажем некоторые асимптотические свойства распределений с длинными хвостами. Они будут применяться в следующем разделе 2.2 при выводе асимптотической оценки снизу для хвоста распределения супремума сумм.

2.1. Свойства распределений с длинными хвостами. Обозначим через L совокупность всех невозрастающих функций f : R (0, ) таких, что для любого фиксированного y R lim f(x + y)/f(x) = 1.

x Говорят, что распределение F имеет длинный правый хвост, если F (x) L.

Ради простоты будем писать F L, если распределение F имеет длинный правый хвост. Отметим, что F L влечет G+ L.

Говорят, что распределение F имеет длинный левый хвост, если F (-x) L. Обозначим через L семейство всех распределений в R, обладающих этим свойством. Заметим, что распределение F случайной величины принадлежит классу L тогда и только тогда, когда распределение - принадлежит L.

Лемма 2. Пусть f L. Тогда существует возрастающая функция g :

R R+ = [0, ) такая, что g(x) при x и lim f(x + g(x))/f(x) = 1.

x Доказательство. В силу определения класса L найдется возрастающая последовательность действительных чисел {xn, n 1} таких, что xn n и f(x + n)/f(x) 1 - 1/n для любого x xn.

Положим 0 при x < x1, g(x) = n при xn x < xn+1.

Поскольку xn, имеем g(x) при x и для любого xn x < xn+f(x + g(x))/f(x) 1 - 1/n, что влечет lim inf f(x + g(x))/f(x) 1.

x С другой стороны, f(x + g(x)) f(x) для любой неотрицательной функции g.

Доказательство закончено.

Следствие 1. Предположим, что f L. Тогда для любой функции g(x), доставляемой леммой 2, lim inf f(y + g(x))/f(y) = 1.

x yx Доказательство. Фиксируем > 0. Тогда в силу леммы 2 существует x0 такое, что f(x + g(x))/f(x) 1 - для любого x x0. Следовательно, для любого y x x0 монотонность g влечет неравенства f(y + g(x))/f(y) f(y + g(y))/f(y) 1 -.

1072 Д. А. Коршунов, С. Шлегель, Ф. Шмидт Лемма 3. Пусть последовательность случайных величин T1, T2,... такова, что Tn/n 0 при n с вероятностью 1. Тогда найдется неубывающая функция h : N R+ такая, что h(n) = o(n) при n и lim P {|Tn| z + h(n)} = 1.

z nДоказательство. Поскольку Tn/n 0 с вероятностью 1, существует последовательность натуральных чисел {Nk, k 1} такая, что Nk и P {|Tn| > n/k} 2-k (6) nNk при любом k = 1, 2,..., причем, не ограничивая общности, можно считать, что Nk+1 Nk + 1. Положим n при n < N1, h(n) = (7) n/k при Nk n < Nk+1.

Поскольку Nk, то h(n) = o(n). Для любого фиксированного M N имеем неравенство NM - P {|Tn| > z + h(n)} P{|Tn| > z} + P {|Tn| > h(n)}.

n1 n=1 nNM Следовательно, lim sup P {|Tn| > z + h(n)} P {|Tn| > h(n)}.

z n1 nNM Используя (6) и (7), получаем оценки P {|Tn| > h(n)} P {|Tn| > h(n)} nNM k=M Nkn n/k} 2-k = 2-M+1.

k=M nNk k=M Так как M можно выбрать произвольным образом, предельный переход при M приводит к соотношению lim sup P {|Tn| > z + h(n)} = 0, z nчто эквивалентно lim P {|Tn| z + h(n)} = 1.

z nПолагая теперь h(n) max{h(k), k n}, получаем неубывающую функцию h(n) = o(n), удовлетворяющую заключению леммы.

Асимптотический анализ случайных блужданий Лемма 4. Пусть a > 0 и n1 1. Пусть h : N R+ функция такая, что h(n) = o(n) при n. Если G+ L, то при z F (z+na) a-1G+(z); F (z+na+h(n)) a-1G+(z).

n=n1 n=nДоказательство. Для любого распределения F имеем n F (z + na) F (z + ay) dy = F (z + ay) dy = a-1G+(z). (8) n=n1 n=1n-С другой стороны, n+ F (z + na) F (z + ay) dy n=n1 n=n1 n = F (z + ay) dy = a-1G+(z + an1) a-1G+(z) nпри z, ибо G+ L. Таким образом, первая эквивалентность леммы доказана. Перейдем к доказательству второй эквивалентности. Зафиксируем > 0. Прежде всего F (z + na + h(n)) F (z + na) a-1G+(z).

n=n1 n=nКроме того, поскольку h(n) = o(n), существует N n1 такое, что h(n) n для любого n N. Следовательно, F (z + na + h(n)) F (z + n(a + )) (a + )-1G+(z) n=n1 n=N при z ввиду первой эквивалентности леммы. Так как > 0 выбрано произвольным образом, это влечет вторую эквивалентность леммы.

Пусть bk R, k N, ограниченная сходящаяся последовательность.

Тогда, в частности, супремум b = sup |bk| конечен. Положим k n Tn = bn-kk k=и для любых натуральных чисел n 1 и m 0, n > m, n-m- (m) Tn = bn-kk.

k=По определению при n > m n (m) Tn = Tn + bn-kk.

k=n-m 1074 Д. А. Коршунов, С. Шлегель, Ф. Шмидт (m) Последовательности {Tn} и Tn удовлетворяют условию леммы 3. Дей(m1) ствительно, так как Ei = 0, имеем сходимости lim Tn/n = 0 и lim Tn /n = n n 0 с вероятностью 1 в силу усиленного закона больших чисел (см. лемму 1). Следовательно, для любой функции g(x) со свойством g(x) найдется функция h(n) со свойством h(n) = o(n) такая, что lim P {|Tn| g(x) + h(n)} = 1, (9) x n (m) lim P {|Tn | g(x) + h(n)} = 1. (10) x nmКроме того, для n > m1 N определим событие n-m1- (m1) Bn = {|Tj| g(x)+h(j)} {|Tn | g(x)+h(n)} j=n {bm n-m > x+(2+m1b)g(x)+na+2h(n)} {|j| g(x)}, 1 j=n-m1+а для n > m2 N событие n-m2- (m2) Bn = {|Tj| g(x)+h(j)} Tn g(x)+h(n) j=n {bm n-m > x+(2+m2b)g(x)+na+2h(n)} {|j| g(x)}.

2 j=n-m2+Лемма 5. Пусть m1, m2 N произвольные натуральные числа такие, что bm 0 и bm 0. Тогда события Bn, n > m1, и Bn, n > m2, попарно не 1 пересекаются.

Доказательство. Рассмотрим для примера любые два события из набора {Bn, n > m1}, скажем Bk и Bn, m1 < k < n. Если n k + m1, то для Bn имеем bm n-m () > x + (2+m1b)g(x) + na + 2h(n) bm g(x), 1 1 в то время как для Bk bm n-m () bm |n-m ()| bm g(x).

1 1 1 1 Если n > k + m1, то для Bk получим k (m1) Tk() = Tk () + bm k-m () + bk-jj() 1 j=k-m1+> -g(x) - h(k) + x + (2+m1b)g(x) + ka + 2h(k) - m1bg(x) g(x) + h(k), в то время как для Bn выполняется неравенство |Tk()| g(x) + h(k).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.