WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

Пусть отображения f и g лежат в BV1(I1; BV1(I2; M)). Тогда m d11(f, g) = d1(f(a1), g(a1)) + sup d1(f(ti) + g(ti-1), g(ti) + f(ti-1)), i=где супремум берется по всем разбиениям = {ti}m отрезка [a1, b1]. Имеем i=d1(f(a1), g(a1)) = d(f(a1)(a2), g(a1)(a2)) n + sup d(f(a1)(sj) + g(a1)(sj-1), g(a1)(sj) + f(a1)(sj-1)) j=b= d(f(a), g(a)) + Wa (f(a1, ·), g(a1, ·));

здесь супремум берется по всем разбиениям = {sj}n отрезка [a2, b2]. Далее, j=d1(f(ti)+g(ti-1), g(ti)+f(ti-1)) = d(f(ti)(a2)+g(ti-1)(a2), g(ti)(a2)+f(ti-1)(a2)) n + sup d(f(ti)(sj) + g(ti-1)(sj) + g(ti)(sj-1) + f(ti-1)(sj-1), j=g(ti)(sj) + f(ti-1)(sj) + f(ti)(sj-1) + g(ti-1)(sj-1)) n = d(f(ti)(a2) + g(ti-1)(a2), g(ti)(a2) + f(ti-1)(a2)) + sup md2(f, g, Iij), j=где использовано обозначение (4). Из аддитивности W2 следует, что n n ti,bmd2(f, g, Iij) W2(f, g, Iij) = W2 f, g, It,a2, i-j=1 j=а потому m b1 b sup d1(f(ti) + g(ti-1), g(ti) + f(ti-1)) Wa (f(·, a2), g(·, a2)) + W2 f, g, Ia.

i=(21) Замечая, что n d(f(ti)(a2) + g(ti-1)(a2), g(ti)(a2) + f(ti-1)(a2)) + md2(f, g, Iij) j= d1(f(ti) + g(ti-1), g(ti) + f(ti-1)) и что слагаемые в левой части этого неравенства не убывают при добавлении точек в разбиение = {ti}m, приходим к обратному неравенству в (21). Остаi=ется принять во внимание выражение для d2(f, g).

b Хотя, как показано выше, отображения из BV2 Ia; M являются отображениями ограниченной повторной вариации и имеет место равенство метрик d11 = d2, на последних липшицевы операторы суперпозиции H устроены несколько Абстрактные операторы суперпозиции иначе (см. теорему 4 ниже). Причина здесь кроется в том, что для отображений ограниченной повторной вариации левая-левая регуляризация существует не всегда.

b b 2 1 a Для g (NI )I (т. е. g : I1 NI ) или g NI (т. е. g : Ia N) полагаем g(t, s) = g(t)(s) для всех t I1 и s I2. Для заданного отображения b 2 1 2 h : Ia N M оператор H : (NI )I (MI )I, определенный для (t, s) 2 I1 I2 и g (NI )I правилом (H g)(t)(s) (H g)(t, s) = h(t, s, g(t, s)) h(t, s, g(t)(s)), (22) называется повторным оператором суперпозиции Немыцкого с генератором h.

В следующей теореме мы используем обозначение для левой регуляризации h- (в одномерном смысле, см. [1, замечание 6]) отображения h BV1([a, b]; M), когда (M, d, +) есть полная метрическая полугруппа: h-(t) = lim h(s) при st-a < t b и h-(a) = lim h-(t) в M. Если обозначить через BV-([a, b]; M) ta+множество тех отображений из BV1([a, b]; M), которые непрерывны слева на b b (a, b], то h- BV-([a, b]; M) и Va (h-) Va (h).

Теорема 4. Пусть (N,, +, ·) и (M, d, +, ·) два абстрактных выпуклых b конуса, где M полный, и отображение h : IaN M есть генератор повторного оператора суперпозиции H из (22). Если H отображает BV1(I1; BV1(I2; N)) в BV1(I1; BV1(I2; M)) и является липшицевым, то h(x, ·) Lip(N; M) для всех b b b x Ia и найдутся два отображения f : Ia L(N; M) и h0 : Ia M такие, что f(·)(·)u, h0 BV-(I1; BV1(I2; M)) для всех u N и h-(t, s, u) = f(t, s)u+h0(t, s) b в M для всех (t, s) Ia и u N, где h-(t, s, u) есть левая регуляризация (в одномерном смысле) отображения h(, s, u) в точке t [a1, b1] при всех фиксированных s I2 и u N (отметим, что отображения f(, s)u и h0(, s) непрерывны слева на (a1, b1] для всех s I2 и u N).

Доказательство. Положим N1 = BV1(I2; N) и M1 = BV1(I2; M). Тогда четверки (N1, 1, +, ·) и (M1, d1, +, ·) также являются абстрактными выпуклыми 2 конусами, причем M1 полный. Определим отображение h1 : I1 NI MI правилом h1(t, u1)(s) = h(t, s, u1(s)), t I1, s I2, u1 NI. (23) 2 1 2 Исходя из этого определим оператор суперпозиции H1 : (NI )I (MI )I следующим образом:

2 H1(g)(t) = h1(t, g(t)), t I1, g (NI )I. (24) Отметим, что если t I1 и s I2, то H1(g)(t)(s) = h1(t, g(t))(s) = h(t, s, g(t)(s)) = (H g)(t, s). (25) Покажем, что h1 : I1 N1 M1. Действительно, пусть t I1 и u1 N1.

Положим g(t)(s) = u1(s) для t I1 и s I2, так что g BV1(I1; N1). По условию H g лежит в BV1(I1; M1), поэтому (H g)(t) M1, но h1(t, u1)(s) = h(t, s, u1(s)) = h(t, s, g(t)(s)) = (H g)(t)(s), s I2, 1 откуда h1(t, u1) = (H g)(t) M1. Отсюда следует, что H1 : (N1)I (M1)I и выполнено (24) для t I1 и g (N1)I, т. е. отображение h1 : I1 N1 M1 является генератором оператора суперпозиции H1 : (N1)I (M1)I. Более 956 В. В. Чистяков того, H1 : BV1(I1; N1) BV1(I1; M1), так как если g BV1(I1; N1), то в силу (25) и условий теоремы H1(g) = H g BV1(I1; M1). Из липшицевости H для всех g1, g2 BV1(I1; N1) имеем d2(H g1, H g2) L(H )2(g1, g2), но d2 = (d1)1 и 2 = (1)1 в силу леммы 1, поэтому благодаря (25) находим, что HLip(BV1(I1; N1); BV1(I1; M1)). Согласно замечанию 6 из [1] h1(t, ·) Lip(N1; M1) для всех t I1 (26) и найдутся два отображения f1 : I1 L(N1; M1) и h0 : I1 M1 такие, что отображения f1(·)u1 и h0 лежат в BV-(I1; M1) для всех u1 N1, причем h-(t, u1) = f1(t)u1 + h0(t) в M, t I1, u1 N1, (27) где h-(·, u1) левая регуляризация отображения h1(·, u1), u1 N1.

Ниже в этом доказательстве для u, v N полагаем u1(s) = u и v1(s) = v для всех s I2. Учитывая (23), (3) и (26), для u, v N найдем, что d(h(t, s, u), h(t, s, v)) = d(h1(t, u1)(s), h1(t, v1)(s)) d1(h1(t, u1), h1(t, v1)) L(h1(t, ·))1(u1, v1) = L(h1(t, ·))(u, v), b откуда h(x, ·) Lip(N; M) для всех x = (t, s) Ia.

b Для (t, s) Ia определим отображение f(t, s) = f(t)(s) : N M правилом f(t, s)u = [f1(t)u1](s), u N.

Тогда из (27) получаем следующее равенство в M:

h-(t, u1)(s) = [f1(t)u1](s) + h0(t)(s) = f(t, s)u + h0(t, s). (28) Покажем, что на самом деле отображение f(t, s) аддитивно и липшицево, т. е.

f(t, s) L(N; M). Для u, v N в силу аддитивности f1(t) имеем f(t, s)(u + v) = [f1(t)(u + v)1](s) = [f1(t)(u1 + v1)](s) = [f1(t)u1 + f1(t)v1](s) = [f1(t)u1](s) + [f1(t)v1](s) = f(t, s)u + f(t, s)v, а из (3) и липшицевости f1(t) вытекает, что d(f(t, s)u, f(t, s)v) = d([f1(t)u1](s), [f1(t)v1](s)) d1(f1(t)u1, f1(t)v1) L(f1(t))1(u1, v1) = L(f1(t))(u, v).

Поскольку f(t)(·) = f1(t)u1 M1, то f : I1 M1. Более того, f(·)(·)u = f1(·)uпринадлежит BV1(I1; M1), причем d1(f()(·)u, f(t)(·)u) = d1(f1()u1, f1(t)u1) 0 при t - 0, поэтому f()(·)u непрерывно слева, так что f(·)(·)u BV-(I1; M1). Остается вычислить левую часть в (28). В силу (23) и (3) имеем d(h(, s, u), h-(t, u1)(s)) = d(h1(, u1)(s), h-(t, u1)(s)) 1 d1(h1(, u1), h-(t, u1)) 0 при t - 0, и остается положить h-(t, s, u) = h-(t, u1)(s) = lim h(, s, u).

t-Абстрактные операторы суперпозиции ЛИТЕРАТУРА 1. Чистяков В. В. Абстрактные операторы суперпозиции на отображениях ограниченной вариации двух вещественных переменных. I // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, № 3. С. 698–717.

.

2. Чистяков В. В. Метрические полугруппы и конусы отображений конечной вариации нескольких переменных и многозначные операторы суперпозиции // Докл. РАН. 2003.

Т. 393, № 6. С. 757–761.

3. Чистяков В. В. Операторы суперпозиции на BV-отображениях двух переменных // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань: Изд-во Казанск. мат. об-ва, 2003. Т. 19. С. 229–230.

4. Vitali G. Sulle funzione integrali // Atti Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. 1904/1905.

V. 40. P. 1021–1034; and Opere sull’analisi reale, Cremonese. 1984. P. 205–220.

5. Clarkson J. A., Adams C. R. On definitions of bounded variation for functions of two variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1933. V. 35, N 4. P. 824–854.

.

6. Hildebrandt T. H. Introduction to the theory of integration. New York; London: Acad. Press, 1963.

7. Chistyakov V. V. Superposition operators in the algebra of functions of two variables with finite total variation // Monatsh. Math. 2002. V. 137, N 2. P. 99–114.

.

8. Balcerzak M., Belov S. A., Chistyakov V. V. On Helly’s principle for metric semigroup valued BV-mappings of two real variables // Bull. Austral. Math. Soc. 2002. V. 66, N 2. P. 245–257.

.

9. Smajdor A., Smajdor W. Jensen equation and Nemytskii operator for set-valued functions // Rad. Mat. 1989. V. 5. P. 311–320.

.

Статья поступила 13 марта 2004 г.

Чистяков Вячеслав Васильевич Гос. университет Высшая школа экономики, кафедра математики, ул. Большая Печерская, 25, Нижний Новгород czeslaw@mail.ru

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.