WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

k=1 k=1 k=Пусть {ti}m и {sj}n разбиения отрезков [a1, b1] и [a2, b2] соответственi=0 j=b но. Заметим, что в силу аддитивности оператора f(x) при всех x Ia для i = 1,..., m и j = 1,..., n имеет место равенство (нижние индексы у квадратных скобок в этом равенстве лишь осуществляют нумерацию и указывают на соответствие между слагаемыми в левой и правой его частях, которое будет использовано ниже) [(fg)(ti-1, sj-1) + (fg)(ti, sj)]0 + [(f(ti-1, sj) + f(ti, sj-1))g(ti-1, sj-1)]+ [f(ti, sj)(g(ti-1, sj) + g(ti, sj-1))]2 + [f(a1, sj-1)g(ti, a2) + f(a1, sj)g(ti-1, a2)]+ [f(a1, sj-1)(g(ti-1, a2) + g(ti, sj-1)) + f(a1, sj)(g(ti-1, sj-1) + g(ti, a2))]+ [(f(a1, sj) + f(ti, sj-1))g(ti, a2) + (f(a1, sj-1) + f(ti, sj))g(ti-1, a2)]+ [(f(a1, sj) + f(ti, sj-1))(g(ti-1, a2) + g(ti, sj-1)) + (f(a1, sj-1) + f(ti, sj))(g(ti-1, sj-1) + g(ti, a2))]+ [f(ti-1, a2)g(a1, sj) + f(ti, a2)g(a1, sj-1)]+ [f(ti-1, a2)(g(a1, sj-1) + g(ti-1, sj)) + f(ti, a2)(g(a1, sj) + g(ti-1, sj-1))]+ [(f(ti-1, sj) + f(ti, a2))g(a1, sj) + (f(ti-1, a2) + f(ti, sj))g(a1, sj-1)]+ [(f(ti-1, sj) + f(ti, a2))(g(a1, sj-1) + g(ti-1, sj)) + (f(ti-1, a2) + f(ti, sj))(g(a1, sj) + g(ti-1, sj-1))]= [(fg)(ti-1, sj) + (fg)(ti, sj-1)]0 + [(f(ti-1, sj-1) + f(ti, sj))g(ti-1, sj-1)]+ [f(ti, sj)(g(ti-1, sj-1) + g(ti, sj))]2 + [f(a1, sj)g(ti, a2) + f(a1, sj-1)g(ti-1, a2)]+ [f(a1, sj)(g(ti-1, a2) + g(ti, sj-1)) + f(a1, sj-1)(g(ti-1, sj-1) + g(ti, a2))]+ [(f(a1, sj-1) + f(ti, sj))g(ti, a2) + (f(a1, sj) + f(ti, sj-1))g(ti-1, a2)]+ [(f(a1, sj-1) + f(ti, sj))(g(ti-1, a2) + g(ti, sj-1)) + (f(a1, sj) + f(ti, sj-1))(g(ti-1, sj-1) + g(ti, a2))]+ [f(ti, a2)g(a1, sj) + f(ti-1, a2)g(a1, sj-1)]+ [f(ti, a2)(g(a1, sj-1) + g(ti-1, sj)) + f(ti-1, a2)(g(a1, sj) + g(ti-1, sj-1))]948 В. В. Чистяков + [(f(ti-1, a2) + f(ti, sj))g(a1, sj) + (f(ti-1, sj) + f(ti, a2))g(a1, sj-1)]+ [(f(ti-1, a2) + f(ti, sj))(g(a1, sj-1) + g(ti-1, sj)) + (f(ti-1, sj) + f(ti, a2))(g(a1, sj) + g(ti-1, sj-1))]10.

ij ij Для k = 0, 1,..., 10 обозначим через lk (соответственно rk ) k-е слагаемое в квадратной скобке слева (соответственно справа) в этом равенстве, так что его 10 ij ij можно переписать в виде lk = rk. Согласно (4) и (14) находим, что k=0 k= ij ij ij ij md(fg, Iij) = d l0, r0 d rk, lk, k=поэтому m n 10 m n ij ij md(fg, Iij) d rk, lk = Sk.

i=1 j=1 k=1 i=1 j=1 k=m n ij ij Оценим выражения Sk = d rk, lk, k = 1,..., 10, по отдельности. Из (6) i=1 j=b следует, что если (t, s) Ia, то b |g(t, s)| = (g(t, s), 0) (g(a), 0) + (g(t, s), g(a)) |g(a)| + T V g, Ia = g, и аналогично из (9) и (6) вытекает, что |f(t, s)|d = L(f(t, s)) L(f(a)) + dL(f(t, s), f(a)) L b |f(a)|d + T Vd f, Ia = f d.

L L L В силу определения метрики dL и оценки на |g(t, s)| для S1 имеем ij ij d r1, l1 dL(f(ti-1, sj-1) + f(ti, sj), f(ti-1, sj) + f(ti, sj-1))|g(ti-1, sj-1)| md(f, Iij) g, откуда b S1 V2 f, Ia g.

Из определения константы Липшица и оценки на |f(t, s)|d для S2 находим, что L ij ij d r2, l2 L(f(ti, sj))(g(ti-1, sj-1) + g(ti, sj), g(ti-1, sj) + g(ti, sj-1)) = |f(ti, sj)|d md(g, Iij) f d md(g, Iij) L L и, следовательно, b S2 f d V2 g, Ia.

L Для слагаемого S3 (снова привлекая определение dL) имеем ij ij d r3, l3 dL(f(a1, sj), f(a1, sj-1))(g(ti, a2), g(ti-1, a2)) и, значит, b2 bS3 Va (f(a1, ·))Va (g(·, a2)).

2 Аналогично S3 оценивается выражение S7:

ij ij d r7, l7 dL(f(ti, a2), f(ti-1, a2))(g(a1, sj), g(a1, sj-1));

b1 bS7 Va (f(·, a2))Va (g(a1, ·)).

1 Абстрактные операторы суперпозиции Для S4 получаем ij ij d r4, l4 dL(f(a1, sj), f(a1, sj-1))(g(ti-1, a2)+g(ti, sj-1), g(ti-1, sj-1)+g(ti, a2)) ti,sj-1 ti,b= dL(f(a1, sj), f(a1, sj-1)) md g, It,a2 dL(f(a1, sj), f(a1, sj-1))V2 g, It,a2, i-1 i-откуда благодаря (монотонности и) аддитивности V2 (см. (7)) находим, что b2 b S4 Va (f(a1, ·))V2 g, Ia.

Аналогично S4 получаем оценку для S8:

ij ij ti-1,sj d r8, l8 dL(f(ti, a2), f(ti-1, a2)) md g, Ia,sj- b1,sj dL(f(ti, a2), f(ti-1, a2))V2 g, Ia,sj-1 ;

b1 b S8 Va (f(·, a2))V2 g, Ia.

Чтобы оценить S5, заметим, что ij ij d r5, l5 dL(f(a1, sj-1)+f(ti, sj), f(a1, sj)+f(ti, sj-1))(g(ti, a2), g(ti-1, a2)) ti,sj b1,sj = md f, Ia,sj-1 (g(ti, a2), g(ti-1, a2)) V2 f, Ia,sj-1 (g(ti, a2), g(ti-1, a2)), 1 откуда в силу монотонности и аддитивности двойной вариации V b bS5 V2 f, Ia Va (g(·, a2)).

Аналогично S5 оценивается слагаемое S9:

ti,sj ij ij d r9, l9 md f, It,a2 (g(a1, sj), g(a1, sj-1)) i- ti,b V2 f, It,a2 (g(a1, sj), g(a1, sj-1));

i- b bS9 V2 f, Ia Va (g(a1, ·)).

Из следующих неравенств, базирующихся на определении dL:

ij ij d r6, l6 dL(f(a1, sj-1) + f(ti, sj), f(a1, sj) + f(ti, sj-1)) (g(ti-1, a2) + g(ti, sj-1), g(ti-1, sj-1) + g(ti, a2)) ti,sj-1 ti,bti,sj b1,sj = md f, Ia,sj-1 md g, It,a2 V2 f, Ia,sj-1 V2 g, It,a2, 1 i-1 1 i-и аддитивности V2 вытекает оценка для S6:

b b S6 V2 f, Ia V2 g, Ia.

Слагаемое S10 оценивается так же, как S6:

ti,sj ij ij ti,bti-1,sj b1,sj d r10, l10 md f, It,a2 md g, Ia,sj-1 V2 f, It,a2 V2 g, Ia,sj-1 ;

i-1 1 i-1 b b S10 V2 f, Ia V2 g, Ia.

b Таким образом, для V2 fg, Ia получаем следующую оценку:

b b b1 b V2 fg, Ia |f(a)|d V2 g, Ia + 2Va (f(·, a2))V2 g, Ia L b2 b b + 2Va (f(a1, ·))V2 g, Ia + V2 f, Ia |g(a)| b b1 b b+ 2V2 f, Ia Va (g(·, a2)) + 2V2 f, Ia Va (g(a1, ·)) 1 b1 b2 b2 b1 b b + Va (f(·, a2))Va (g(a1, ·)) + Va (f(a1, ·))Va (g(·, a2)) + 4V2 f, Ia V2 g, Ia.

1 2 2 Принимая во внимание (10)–(13) и последнюю оценку, получим искомое неравенство в теореме 2.

b Замечание 1. Если в теореме 2 положить Ia = [a, b] R и заменить BV2 BV1 и L(N; M) на Lip0(N; M) = {T Lip(N; M) | T (0) = 0}, то fg на b b BV1 Ia; M, причем fg d 2 f d g, где fg d = d((fg)(a), 0) + Va (fg), L b b f d = L(f(a)) + Va (f) и g = (g(a), 0) + Va (g).

L Ввиду теоремы 2 теорема 1 из [1] допускает следующее обращение.

950 В. В. Чистяков Теорема 3. Пусть (N,, +) и (M, d, +) две метрические полугруппы с b нулями, и пусть отображение h : Ia N M, определенное согласно правилу b h(x, u) = f(x)u+h0(x), где f BV2 Ia; L(N; M), h0 BV2 Ib M, является ге a; b b нератором оператора суперпозиции H. Тогда H Lip BV2 Ia; N ; BV2 Ia; M и имеет место неравенство L(H ) 4 f d.

L Доказательство. Вначале предполагаем, что h0 = 0. Тогда оператор суперпозиции H с таким генератором действует по правилу: (H g)(x) = f(x)g(x) b b b = (fg)(x) для x Ia и g : Ia N. По теореме 2 если g BV2 Ia; N, то b b b H g BV2 Ia; M, так что H действует из BV2 Ia; N в BV2 Ia; M. Покажем, что H липшицев.

b Пусть g1, g2 BV2 Ia; N. По определению метрики d2 имеем b d2(H g1, H g2) = d((H g1)(a), (H g2)(a)) + T Wd H g1, H g2, Ia, где последнее слагаемое равно bWa ((H g1)(·, a2), (H g2)(·, a2)) b2 b + Wa ((H g1)(a1, ·), (H g2)(a1, ·)) + W2 H g1, H g2, Ia.

Оценим каждое из четырех слагаемых в d2(H g1, H g2) по отдельности. Для первого слагаемого имеем d((H g1)(a), (H g2)(a)) = d(f(a)g1(a), f(a)g2(a)) |f(a)|d (g1(a), g2(a)).

L Для оценки второго слагаемого заметим, что в силу аддитивности операторов f(t, a2) для всех t, s [a1, b1] будет [(fg1)(t, a2) + (fg2)(s, a2)]0 + [f(t, a2)(g2(t, a2) + g1(s, a2))]+ [f(s, a2)g1(s, a2) + f(t, a2)g2(s, a2)]= [(fg2)(t, a2) + (fg1)(s, a2)]0 + [f(t, a2)(g1(t, a2) + g2(s, a2))]+ [f(t, a2)g1(s, a2) + f(s, a2)g2(s, a2)]2.

Отсюда в силу (14) получаем, что d((H g1)(t, a2) + (H g2)(s, a2), (H g2)(t, a2) + (H g1)(s, a2)) = d((fg1)(t, a2) + (fg2)(s, a2), (fg2)(t, a2) + (fg1)(s, a2)) d(f(t, a2)(g1(t, a2) + g2(s, a2)), f(t, a2)(g2(t, a2) + g1(s, a2))) + d(f(t, a2)g1(s, a2) + f(s, a2)g2(s, a2), f(s, a2)g1(s, a2) + f(t, a2)g2(s, a2)) L(f(t, a2))(g1(t, a2) + g2(s, a2), g2(t, a2) + g1(s, a2)) + dL(f(t, a2), f(s, a2))(g1(s, a2), g2(s, a2)) и, следовательно, b1 bWa ((H g1)(·, a2), (H g2)(·, a2)) ( sup L(f(t, a2)))Wa (g1(·, a2), g2(·, a2)) 1 t[a1,b1] b+ Va (f(·, a2))( sup (g1(s, a2), g2(s, a2))).

s[a2,b2] В этом неравенстве, как отмечено в доказательстве теоремы 2, bsup L(f(t, a2)) |f(a)|d + Va (f(·, a2)) L t[a1,b1] Абстрактные операторы суперпозиции и bsup (g1(s, a2), g2(s, a2)) (g1(a), g2(a)) + Wa (g1(·, a2), g2(·, a2)).

s[a1,b1] Таким образом, подобно (12) имеем b1 bWa ((H g1)(·, a2), (H g2)(·, a2)) |f(a)|d Wa (g1(·, a2), g2(·, a2)) L 1 b1 b1 b+ Va (f(·, a2))(g1(a), g2(a)) + 2Va (f(·, a2))Wa (g1(·, a2), g2(·, a2)).

1 1 Аналогичная оценка имеет место и для третьего слагаемого:

b2 bWa ((H g1)(a1, ·), (H g2)(a1, ·)) |f(a)|d Wa (g1(a1, ·), g2(a1, ·)) L 2 b2 b2 b+ Va (f(a1, ·))(g1(a), g2(a)) + 2Va (f(a1, ·))Wa (g1(a1, ·), g2(a1, ·)).

2 2 b Для оценки четвертого слагаемого W2 H g1, H g2, Ia поступим следующим образом. Пусть {ti}m и {sj}n разбиения [a1, b1] и [a2, b2] соответственно.

i=0 j=ij ij Обозначим (несколько точнее) через lk (g) и rk (g) выражения в квадратных ij ij скобках lk и rk из доказательства теоремы 2. Тогда найдем, что в M выполнено равенство 10 ij ij ij ij lk (g1) + rk (g2) = rk (g1) + lk (g2) k=0 k=(формально оно вытекает из использованного в доказательстве теоремы 2 ра10 ij ij венства lk (g) = rk (g) при g = g1 - g2), из которого в силу (4) и (14) k=0 k= ij ij ij ij md2(g1, g2, Iij) = d l0 (g1) + r0 (g2), l0 (g2) + r0 (g1) 10 ij ij ij ij d rk (g1) + lk (g2), rk (g2) + lk (g1) dij.

k k=1 k=Положим m n Sk = dij, k = 1,..., 10.

k i=1 j=Чтобы оценить величины Sk, заметим, что ввиду (8) и определения метрики b для всех (t, s) Ia имеем b (g1(t, s), g2(t, s)) (g1(a), g2(a)) + T W g1, g2, Ia = 2(g1, g2).

Как и в доказательстве теоремы 2, оценка S1 следует из определения метрики dL:

dij=d((f(ti-1, sj-1)+f(ti, sj))g1(ti-1, sj-1)+(f(ti-1, sj)+f(ti, sj-1))g2(ti-1, sj-1), (f(ti-1, sj-1) + f(ti, sj))g2(ti-1, sj-1) + (f(ti-1, sj) + f(ti, sj-1))g1(ti-1, sj-1)) dL(f(ti-1, sj-1)+f(ti, sj), f(ti-1, sj)+f(ti, sj-1))(g1(ti-1, sj-1), g2(ti-1, sj-1)) md(f, Iij)2(g1, g2), откуда b S1 V2 f, Ia 2(g1, g2).

Подобным образом получаются такие же оценки на Sk, как в доказательстве b1 bтеоремы 2, в которых следует заменить Va (g(·, a2)) на Wa (g1(·, a2), g2(·, a2)), 1 b2 b2 b b Va (g(a1, ·)) на Wa (g1(a1, ·), g2(a1, ·)) и V2 g, Ia на W2 g1, g2, Ia.

2 952 В. В. Чистяков Следовательно, собирая вместе все эти оценки, найдем, что d2(H g1, H g2) 4 f d 2(g1, g2).

L b Общий случай для h0 BV2 Ia; M вытекает из только что рассмотренного b благодаря инвариантности относительно сдвигов метрики d2 на BV2 Ia; M.

b Замечание 2. Пусть N и M такие, как в теореме 3, и g BV2 Ia; N.

b b Тогда оператор H : BV2 Ia; L(N; M) BV2 Ia; M, действующий по правилу H(f) = fg, является липшицевым с константой Липшица L(H) 4 g.

Замечание 3. Из теоремы Банаха о неподвижной точке и теоремы 3 непосредственно вытекает, что M есть если полная метрическая полугруппа с нулем, b b h0 BV2 Ia; M, f BV2 Ia; L(N; M) и f d < 1/4, то существует единственL b ное отображение g BV2 Ia; M такое, что g(x) = f(x)g(x) + h0(x) для всех b x Ia.

Замечание 4. С учетом замечания 1 (см. также замечание 6 в [1]) аналог теоремы 3 имеет место и для отображений одной переменной.

§ 5. Липшицевы повторные операторы суперпозиции b Рассмотрим иной подход к определению пространства BV2 Ia; M, когда b (M, d, +) метрическая полугруппа. Пусть f BV2 Ia; M. Тогда f(·, s) BV1([a1, b1]; M) для всех s [a2, b2] и аналогично f(t, ·) BV1([a2, b2]; M) для всех t [a1, b1] и имеют место неравенства [7, 8] y1 y1 y1,s Vx (f(·, s)) Vx (f(·, a2)) + V2 f, Ix,a2, x1, y1 [a1, b1], x1 y1, (15) 1 1 y2 y2 t,yVx (f(t, ·)) Vx (f(a1, ·)) + V2 f, Ia,x2, x2, y2 [a2, b2], x2 y2. (16) 2 2 b Положим Ik = [ak, bk], k = 1, 2, так что Ia = I1 I2. В силу (16) f(t, ·) BV1(I2; M) при любом t I1, поэтому если F (t) = f(t, ·) для t I1, то отображение F : I1 BV1(I2; M) действует по правилу F (t)(s) = f(t, s), t I1, s I2. Как отмечено ранее, пространство BV1(I2; M) является метрической bполугруппой с метрикой d1(, ) = d((a2), (a2)) + Wa (, ), а значит, можно посчитать вариацию отображения F на отрезке I1. Для этого пусть = {ti}m i=есть разбиение I1. Рассмотрим выражение bd1(F (ti), F (ti-1)) = d(F (ti)(a2), F (ti-1)(a2)) + Wa (F (ti), F (ti-1)). (17) Ясно, что первое слагаемое справа равно d(f(ti, a2), f(ti-1, a2)). Для оценки второго слагаемого предположим, что = {sj}n есть разбиение I2. Тогда (см.

j=(2) и (4)) d(F (ti)(sj) + F (ti-1)(sj-1), F (ti-1)(sj) + F (ti)(sj-1)) = md(f, Iij) (18) и в силу аддитивности V2 находим, что n d(F (ti)(sj) + F (ti-1)(sj-1), F (ti-1)(sj) + F (ti)(sj-1)) j=n n ti,b= md(f, Iij) V2(f, Iij) = V2 f, It,a2.

i-j=1 j=Абстрактные операторы суперпозиции Следовательно, благодаря произвольности ti,bbWa (F (ti), F (ti-1)) V2 f, It,a2, i = 1,..., m. (19) 2 i-Тогда из (17) получаем m m m ti,bd1(F (ti), F (ti-1)) d(f(ti, a2), f(ti-1, a2)) + V2 f, It,ai-i=1 i=1 i= b1 b Va (f(·, a2)) + V2 f, Ia, откуда (в силу произвольности разбиения ) b1 b1 b Va (F ) Va (f(·, a2)) + V2 f, Ia.

1 Снова возвращаясь к разбиениям и, из (18) найдем также, что m n m bmd(f, Iij) Wa (F (ti), F (ti-1)), (20) i=1 j=1 i= b b1 b2 b1 bа потому V2 f, Ia Va F ; Wa, где Va F ; Wa вариация F по отрезку 1 2 1 bI1, вычисленная в полуметрике Wa. Последнее неравенство вместе с (19) дает b b1 bV2 f, Ia = Va F ; Wa.

1 Кроме того, из (20) с учетом первого слагаемого (17) вытекает, что m m n ti,sj d(f(ti, a2), f(ti-1, a2)) + md f, It,sj-i-i=1 i=1 j=m b d1(F (ti), F (ti-1)) Va (F ), i=а так как суммы в левой части не убывают при измельчении разбиения, то b1 b bVa (f(·, a2)) + V2 f, Ia Va (F ).

1 Итак, мы показали, что F BV1(I1; BV1(I2; M)) и b1 b1 b Va (F ) = Va (f(·, a2)) + V2 f, Ia.

1 Аналогично если G (s)(t) = f(t, s), t I1, s I2, то G BV1(I2; BV1(I1; M)), b2 b2 b b b2 bVa (G ) = Va (f(a1, ·)) + V2 f, Ia и V2 f, Ia = Va G ; Wa.

2 2 2 Указывая для отображений F и G их зависимость от f, т. е. записывая их в виде Ff и Gf, придем к равенству b b BV2 Ia; M = f : Ia M | Ff BV1(I1; BV1(I2; M)) и Gf BV1(I2; BV1(I1; M)), которое можно переписать в следующей символической форме:

b BV2 Ia; M = BV1(I1; BV1(I2; M)) BV1(I2; BV1(I1; M)).

Всюду ниже для f BV1(I1; BV1(I2; M)) полагаем f(t, s) = f(t)(s), t I1, s I2.

Для изучения повторных операторов суперпозиции (см. ниже) нам потребуется 954 В. В. Чистяков Лемма 1. Если (M, d, +) метрическая полугруппа, то метрика d11 = (d1)1 на метрической полугруппе BV1(I1; BV1(I2; M)) задается равенством d11 = d2.

Доказательство. Пусть d1 введенная ранее метрика на BV1 I2; M.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.