WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

Пусть дана операда R с композицией xx1... xm, и пусть построен клон с суперпозицией [xx1... xm]. Рассмотрим операду, строящуюся по этому клону так, как это было сделано выше. Прежде всего необходимо убедиться, что для любого морфизма из F Set вида f : [n] [m] и любого x R(n) имеет место равенство fx = [xpf(1),m... pf(n),m]. В самом деле, [xpf(1),m... pf(n),m] = µm,n x pm... pm f(1) f(n) = µm,n pm · · · pm (x... ).

f(1) f(n) Следовательно, вопрос сводится к тождеству µm,n pm · · · pm = 1[n], коf(1) f(n) торое непосредственно вытекает из определений. Таким образом, обе операды, исходная и построенная по клону, совпадают как функторы. Установим совпадение композиций. Пусть x R(m), = (n1,..., nm), n = n1 + · · · + nm, ri = ri() : [ni] [n], xi R(ni), 1 i m. Тогда [x(r1x1)... (rmxm)] = µm,n(r1 · · · rm)(xx1... xm).

Необходимое нам равенство следует из легко проверяемого тождества µm,n(r· · · rm) = 1[n].

Обратно, пусть дан клон K с суперпозицией [xx1... xm]. Построим, как было сделано выше, операду с композицией xx1... xm и по ней новую суперпозицию. Убедимся, что она совпадает с исходной. Пусть x K(m), xi K(n), 1 i m, = (nm), ri = ri() : [n] [nm], 1 i m. Тогда, используя (), получим µm,n(xx1... xm) = µm,n[x(r1x1)... (rmxm)] = [x(µm,nr1x1)... (µm,nrmxm)].

Остается несложная проверка того, что µm,nri = 1[n] для всех i. Очевидно также, что элементы pi,n одни и те же и в исходном клоне, и в построенном по операде.

Более детальный анализ определений клона и операды показывает, что можно дать их переформулировку для произвольной категории с конечными прямыми произведениями и терминальным объектом I. При этом выделенные элементы становятся морфизмами с областью определения I. Например, аналоги элементов pi,n R(n) (для клона) морфизмы вида I R(n). Аналогами тождеств из определений клона и операды являются коммутативные диаграммы. Доказательство приведенной выше теоремы полностью переносится Абстрактные клоны и операды на этот категорный случай, так как все проделанные в нем выкладки сводятся к проверкам коммутативности некоторых диаграмм. Само доказательство в принципе остается точно таким же.

Значительно интереснее дело обстоит в многоосновном случае, так как здесь существенно меняется точка зрения на смысл понятия операды, которое становится естественным многомерным обобщением понятия категории. А именно, стрелки могут иметь не одно начало и один конец, как в категориях, а несколько начал (входов) и один конец. Вместо категорий F Set и P также приходится брать их нетривиальные обобщения, причем многоосновный аналог P вообще не является подкатегорией многоосновного аналога F Set. Изложение всего этого занимает достаточно много места и будет предметом другой публикации.

Наконец, имеются основания предполагать, что вербальные подкатегории категории F Set являются естественными инвариантами, позволяющими некоторым образом классифицировать тождества. Например, для многообразий линейных (мультиоператорных) алгебр автором было показано, что такие многообразие определяется полилинейными тождествами тогда и только тогда, если оно является (с точностью до рациональной эквивалентности) многообразием всех алгебр над некоторой линейной -операдой [14–17]. Можно сформулировать и доказать и нелинейный аналог этого результата. Недавно удалось показать, что аналогичный факт имеет место и для многообразий супералгебр [18].

В [19] начато построение теории эквивалентности Мориты для линейных операд.

Автор выражает благодарность рецензенту за замечания, способствовавшие улучшению качества текста работы.

ЛИТЕРАТУРА 1. Общая алгебра / В. А. Артамонов, В. Н. Салий, Л. А. Скорняков и др. Под общ. ред.

Л. А. Скорнякова. М.: Наука, 1991. Т. 2. May J. P. The geometry of iterated loop spaces. Berlin: Springer-Verl., 1972. (Lecture Notes in Math.; 271).

3. Бордман Дж., Фогт Р. Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах. М.: Мир, 1977.

4. Тронин С. Н. Абстрактные клоны и операды // Логика и приложения: Тез. междунар.

конфер., посвящ. 60-летию со дня рожд. акад. Ю. Л. Ершова. Новосибирск, 4–6 мая 2000 г. Новосибирск, 2000. С. 100.

.

5. Артамонов В. А. Клоны полилинейных операций // Успехи мат. наук. 1969. Т. 24, № 1.

С. 47–59.

6. Ginzburg V., Kapranov M. Koszul duality for operads // Duke Math. J. 1994. V. 76, N 1.

.

P. 203–272.

7. Ginzburg V., Kapranov M. Erratum to Koszul duality for operads // Duke Math. J. 1995.

.

V. 80, N 1. P. 293.

8. Operads: Proc. of Renaissance Conferences / J.-L. Loday, J. D. Stasheff, A. A. Voronov (Eds.) Contemp. Math. 1996. V. 202.

9. Kapranov M. Operads and Algebraic Geometry // Proc. Intern congr. math. Berlin, Aug. 18– 27, 1998. V. II. Invited Lectures. Berlin, 1998. P. 277–286. (Documenta Math. Extra Volume ICM. II).

10. Smirnov V. A. Simplicial and Operad Methods in Algebraic Topology. Providence, R.I.: Amer.

Math. Soc., 2001. (Translations of Math. Monographs; 198).

11. Джонстон П. Теория топосов. М.: Мир, 1986.

12. Мальцев А. И. Структурная характеристика некоторых классов алгебр // Докл. АН СССР. 1958. Т. 120, № 1. С. 29–32.

13. Пинус А. Г. Инварианты отношения рациональной эквивалентности // Сиб. мат. журн.

.

2000. Т. 41, № 2. С. 430–436.

936 С. Н. Тронин 14. Тронин С. Н. О многообразиях, задаваемых полилинейными тождествами // Тез. сообщ.

XIX Всесоюзн. алгебр. конференции, 9–11 сент. 1987. Ч 2. Львов, 1987. С. 280.

.

15. Тронин С. Н. О некоторых свойствах финитарных алгебраических теорий // Тез. сообщ.

V Сибирской школы по многообразиям алгебраических систем, 1–5 июля 1988. Барнаул,.

1988. С. 68–70.

16. Тронин С. Н. О некоторых свойствах алгебраических теорий многообразий линейных алгебр. I. Многообразия, задаваемые полилинейными тождествами / Казанский гос. ун-т..

Казань, 1988. 31 Деп. в ВИНИТИ 11.08.88, № 6511-В88.

17. Тронин С. Н. О ретракциях свободных алгебр и модулей: Дис.... канд. физ.-мат. наук.

Кишинев, 1989.

18. Тронин C. Н. Многообразия супералгебр и линейные операды // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Материалы школы-конференции, посвящ. 130-летию со дня рожд. Д. Ф. Егорова, Казань, 13–18 сент. 1999. Казань: Казанское мат. общество,.

1999. С. 224–227.

19. Тронин С. Н., Копп О. А. Матричные линейные операды // Изв. вузов. Математика.

2000. Т. 6. С. 52–63.

Статья поступила 3 апреля 2001 г., окончательный вариант 27 февраля 2002 г.

Тронин Сергей Николаевич Казанский гос. университет, механико-математический факультет, кафедра алгебры, Казань Serge.Tronin@ksu.ru

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.