WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Абстрактные клоны и операды Определение 4. Пусть Sets категория счетных семейств множеств, морфизмы которой определяются как счетные семейства отображений с покомпонентной композицией. Рассмотрим два многообразия (категории) M1 и M2 многоосновных алгебр со счетным семейством основ, и пусть Ui : Mi Sets, i = 1, 2, соответствующие забывающие функторы. Многообразия Mи M2 будем называть рационально эквивалентными, если существует изоморфизм категорий (не просто эквивалентность!) F : M1 M2 такой, что выполнено строгое равенство F U1 = U2.

В [13] это свойство названо категорной эквивалентностью, но там же показано, что данное свойство равносильно рациональной эквивалентности, введенной и изученной А. И. Мальцевым в [12]. Доказательства для многоосновных алгебр, по сути, те же самые, что и для одноосновных. Неформально говоря, рациональная эквивалентность означает, что на одних и тех же множествах (в нашей ситуации на счетных семействах множеств) определены два набора операций и их можно выразить друг через друга взаимно обратным образом.

Категории абстрактных клонов и W -операд являются многообразиями многоосновных алгебр со счетным множеством основ, так как замкнуты относительно взятия произвольных прямых произведений, подобъектов (подклонов или подоперад) и гомоморфных образов. Обозначим их через Clones и W -Operads соответственно.

Отличия нашего определения -операды от имеющихся в цитированной литературе, как показывает следующее утверждение, являются сугубо внешними.

Предложение. Многообразие -операд рационально эквивалентно многообразию собственно операд, т. е. таких операд, которые определяются в цитированной литературе.

Доказательство. Сначала заметим, что W -операду R можно рассматop ривать как контравариантный функтор на двойственной к W категории W.

При таком подходе естественно писать xf вместо fx, а так как копроизведения op в W становятся прямыми произведениями, то тождество из п. 4 выглядит так:

x(y1f1)... (ymfm) = (xy1... ym)(f1 · · · fm).

op Пусть W =. Очевидно, что морфизмы из W можно мыслить как подстановки, обратные к подстановкам из, так что их умножение производится по правилу · = -1-1. Если = (n1,..., nm), f = m (предполагаем k = m в приведенной выше диаграмме, из которой определяется f), то подстановка, обратную к которой можно описать следующим образом. Разобьем упорядоченную последовательность 1, 2,..., n1 +· · ·+nm на блоки отрезки:

b1 = [1, n1], b2 = [n1+1, n1+n2],..., bm = [n1+· · ·+nm-1+1, n1+· · ·+nm-1+nm].

b1b2... bm Тогда ()-1 =. Эту подстановку многие авторы записыb(1)b(2)... b(m) вают так: (n1,..., nm). В этих обозначениях свойство 5 из нашего определения операды приобретает следующий вид:

(x)y1... ym = (xy(1)... y(m))(n1,..., nm).

Таким образом, действие функтора, сопоставляющего -операде операду в том смысле, который используется в цитированной литературе, сводится, по сути, к изменению обозначений.

Напомним вкратце примеры операд, из которых будет видно сходство и отличие между операдами и клонами.

930 С. Н. Тронин Пример 1. Пусть X, Y произвольные множества, и пусть Map(X, Y ) множество всех отображений из X в Y. Положим R(n) = Map(Xn, X), и опредеi лим композицию следующим образом. Пусть xi Xn, 1 i m, ni 0, тогда x1... xm Xn +···+nm. Пусть f R(m), Fi R(ni). По определению имеем ff1... fm(x1... xm) = f(f1(x1),..., fm(xm)). Другое название этой операции бесповторная суперпозиция. Легко убедиться в ее ассоциативности, а также в том, что роль единицы играет тождественное отображение X X. Если : [n] [m] морфизм категории F Set, то для f R(n), x = x1... xm Xm положим (f)(x) = f(x(1),..., x(n)). Свойства F Set-операды проверяются непосредственно.

Пример 2. Положим R(n) = {n} при n 0, и пусть при m > 0 композиция определяется так: mn... n = n +···+nm. Нетрудно убедиться, что 1 m композиция ассоциативна и что 1 играет роль единицы. Для : [n] [m] (морфизма категории F Set) полагаем n = m. Выполнимость оставшихся свойств операды очевидна.

Пример 3. Положим R(n) = n для n 1, и пусть R(0) одноэлементное множество. Если m R(m), m > 0, n R(ni), = (n1,..., nm) i P (n1 + · · · + nm, m), то полагаем 1... m = ()(1 · · · m). Это произведение подстановок из n +···+nm. В случае, когда какой-то ni равен 0, соответствующее слагаемое i пропускается. Чтобы получить -операду, определяем действие n на R(n) слева как умножение подстановок. Это один из самых известных примеров операд.

Сформулируем основной результат работы.

Теорема. Многообразие F Set-операд рационально эквивалентно многообразию абстрактных клонов.

Доказательство. Неформально говоря, будет показано, что структура абстрактного клона на R определяет некоторую структуру F Set-операды на том же семействе R, а структура F Set-операды на R определяет на R структуру клона и эти соответствия взаимно обратны.

Дадим теперь точное определение функтора F из категории F Set-операд в категорию Clones. Пусть дана операда R. Превратим ее в клон следующим образом. В качестве операции суперпозиции в клоне возьмем композицию отобµm,n ражений R(m) R(n)m - R(nm) - R(n). Левая стрелка здесь обозначает композицию в операде R. Иными словами, [xy1... ym] = µm,n(xy1... ym). Пусть pn : [1] [n] морфизм F Set, отображающий 1 в i [n], 1 i n. Рассмотi рим соответствующие отображения pn : R(1) R(n). В качестве проекций i берутся элементы pi,n = pn R(n). Проверим выполнение свойств из опредеi ления клона. Начнем с ассоциативности. Смысл обозначений тот же, что и в данном в начале работы определении клона. При проведении преобразований используются свойства 3, 4 и 1 из определения операды:

[x[y1z]... [y1z]] = µm,k(x[y1z]... [ymz]) = µm,k(x(µn,k(y1z)... (µn,k(ymz))) = µm,k(µn,k · · · µn,k)(x(y1z)... (ymz)) = µm,k(µn,k · · · µn,k)((xy1... ym)z... z).

В последнем выражении µn,k и z = z1... zn повторяются по m раз. С другой Абстрактные клоны и операды стороны, [[xy1... ym]z] = [(µm,n(xy1... ym))z] = µn,k((µm,n(xy1... ym))z) = µn,k((µm,n))((xy1... ym)z... z).

Здесь = (kn) P (nk, k) и последнее выражение получено в результате применения свойства 5 из определения операды, в котором роль f играет µm,n :

[nm] [n]. Строка zf(1)... zf(nm), согласно определению µm,n является сцеплением z с самой собой m раз. Необходимое нам равенство получится, если будет доказано, что имеет место равенство морфизмов из F Set:

µm,k(µn,k · · · µn,k) = µn,k((µm,n)).

Заметим сначала, что в любой категории с прямыми произведениями диаграмма 2,X Y Z - Y Z -- 1,2 X Y - Y --будет декартовым квадратом. Здесь буквой обозначены соответствующие проекции, например, поэлементно 2,3(x, y, z) = (y, z), 1(y, z) = y и т. п.

Рассмотрим категорию F Set и положим X = [k], Y = [n], Z = [m]. Тогда для приведенной выше диаграммы X Y Z = [knm], X Y = [kn], Y Z = [nm], 1 = µm,n, 2 = (kn) =, 2,3 = (knm), 1,2 = µm,kn. Но так как 2,3 = (knm) неубывающее отображение, то из декартовости квадрата и определения (µm,n) следует, что (µm,n)(kn) = µm,kn. Таким образом, требуется установить равенство µm,k(µn,k · · · µn,k) = µn,kµm,nk.

Чтобы убедиться в его справедливости, будем представлять [knm] как копроизведение mn экземпляров [k], [mk] как копроизведение m экземпляров [k], [nk] как копроизведение n экземпляров [k] и рассмотрим ограничение отображений в левой и правой частях на какое-либо прямое слагаемое [k] в [knm].

Сначала представим [knm] как копроизведение m экземпляров [kn]. По определению µn,k отображение µn,k · · · µn,k переводит каждый экземпляр [k] из j-го экземпляра [kn], входящего в [kmn], тождественно на j-й экземпляр [k] из [km]. Затем µm,k отображает этот j-й экземпляр тождественно на [k].

С другой стороны, µm,nk отображает каждый экземпляр [nk] из [kmn] (здесь [kmn] рассматривается как копроизведение m экземпляров [nk]) тождественно на [nk]. Следовательно, каждый экземпляр [k] из [kmn] тождественно отображается на соответствующий экземпляр прямого слагаемого [k] из [nk]. Затем µn,k вновь переводит этот экземпляр [k] тождественно на [k]. Таким образом, ограничение отображений в левой и правой частях доказываемого равенства на каждое прямое слагаемое [k] из [knm] тождественное отображение, и равенство (а вместе с ним и ассоциативность суперпозиции в абстрактном клоне) установлено.

Осталось проверить свойства pi,n = pn. Пусть x R(n). Тогда i [xp1,n... pn,n] = µn,nx((pn)... (pn)) 1 n = µn,n(pn · · · pn)(x... ) = µn,n(pn · · · pn)x.

1 n 1 n 932 С. Н. Тронин Отсюда следует, что необходимое равенство может быть получено из тождества µn,n(pn · · · pn) = 1[n], которое легко вытекает из определений. Далее, 1 n пусть = (nm), x1,..., xm R(n). Тогда, используя свойство 5 из определения операды, получим [pi,mx1... xm] = µm,n(pm)(x1... xm) = µm,n((pm))(xi) = µm,n((pm))xi.

i i i Необходимое нам равенство получится, если будет доказано тождество µm,n((pm)(nm)) = 1[n]. Прямо из конструкции расслоенного произведения слеi дует, что (pm)(nm) сохраняющая порядок биекция [n] на i-е прямое слаi гаемое [n] в nm. Осталось еще раз использовать тот факт, что ограничение µm,n на каждое такое прямое слагаемое является тождественным отображением. Это завершает построение клона. По определению если R операда, то F (R) это только что построенный абстрактный клон. Легко убедиться, что гомоморфизм операд h : R K таким же образом превращается в гомоморфизм клонов F (h) : F (R) F (K). Это завершает построение функтора F : F Set-Operads Clones. Из самого построения видно, что если UO : F SetOperads Sets, UC : Clones Sets забывающие функторы, то UCF = UO.

Построим обратный к F функтор G. Пусть K абстрактный клон. Превратим соответствие [n] K(n) в функтор, определенный на категории F Set, полагая для f : [n] [m] и x K(n) значение K(f)(x) = fx равным [xpf(1),m... pf(n),m]. Пусть дан еще один морфизм g : [m] [k] категории F Set.

Проверим, что g(fx) = (gf)x g(fx) = [[xpf(1),m... pf(n),m]pg(1),k... pg(m),k] = [x[pf(1),m(pg(1),k... pg(m),k)]... [pf(n),m(pg(1),k... pg(m),k)]].

Так как [pf(i),m(pg(1),k... pg(m),k)] = pg(f(i)),k, последнее выражение есть (gf)x.

Из определения клона также сразу следует 1[n]x = [xp1,n... pn,n] = x. Это завершает проверку функториальности.

Установим некоторые необходимые для дальнейшего соотношения. Пусть x K(m), xi K(n), 1 i m, f : [n] [k] морфизм F Set. Тогда [x(fx1)... (fxm)] = f[xx1... xm]. () В самом деле, если p = pf(1),k... pf(n),k, то [x(fx1)... (fxm)] = [x[x1p]... [xmp]] = [[xx1... xm]p] = f[xx1... xm].

Пусть = (n1,..., nm) P (n, m). Определим отображения ri = ri() :

[ni] [n1 +... nm] = [n], 1 i m, полагая ri(0) = 0, ri(j) = n1 + · · · + ni-1 + j при 1 j ni (подразумевается, что n0 = 0). Эти морфизмы образуют коконус, соответствующий разложению [n1 +... nm] = [n1] · · · [nm]. Если для всех i заданы fi : [ni] [ki] из F Set и = (k1,..., km), то имеют место коммутативные диаграммы ri() [ni] - [n1 + · · · + nm] -- m fj () fi j=ri() [ki] - [k1 + · · · + ki].

--Определим композицию операды следующим образом:

xx1... xm = [x(r1x1)... (rmxm)] = [x[x1p1,n... pn,n][x2pn +1,n... pn +n2,n]... [xmpn +···+nm-1+1,n... pn,n]].

1 1 1 Абстрактные клоны и операды Здесь x K(m), x1 K(n1),..., xm K(nm), n = n1 + · · · + nm-1 + nm. Проверим сначала аксиомы F Set-операды, связанные с действием морфизмов F Set:

x(f1x1)... (fmxm) = [x(r1()f1x1)... (rm()fmx1)] = [x(( fi)r1()x1)... (( fi)rm()xm)] = ( fi)[x(r1()x1)... (rm()xm)] = (f1 · · · fm)(xx1... xm).

Пусть теперь x K(k), xi K(ni), 1 i m, и задан морфизм f : [k] [m] категории F Set. Положим = (n1,..., nm), ri = ri() и z = (r1x1)... (rmxm).

Тогда (fx)(x1... xm) = [(fx)z] = [[xpf(1),m... pf(1),m]z] = [x[pf(1),mz]... [pf(k),mz]] = [x(rf(1)xf(1))... (rf(k)xf(k))].

Вспоминая, что f = (nf(1),..., nf(k)), и пользуясь легко проверяемым равенством rf(i)() = (f)ri(f), получим следующую цепочку преобразований:

[x(rf(1)xf(1))... (rf(k)xf(k))] = [x((f)r1(f)xf(1))... ((f)rk(f)xf(k))] = (f)[x(r1(f)xf(1))... (rk(f)xf(k))] = (f)(xxf(1)... xf(k)).

Кроме того, при x K(k), x1,..., xm K(n), f F Set([k], [m]) в клоне K имеет место тождество [(fx)x1... xm] = [xxf(1)... xf(k)]. () В самом деле, [(fx)x1... xm] = [[xpf(1),m... pf(k)]x1... xm] = [x[pf(1),mx1... xm]... [pf(k),mx1... xm]] = [xxf(1)... xf(k)].

Единица строящейся операды элемент = p1,1 K(1). Проверим определение. Пусть x K(n). Тогда x = [p1,1x] = x по определению p1,1. С другой стороны, x... = [x[p1,1p1,n][p1,1p2,n]... [p1,1pn,n]] = [xp1,np2,n... pn,n] = x.

Завершая построение операды, покажем ассоциативность композиции.

Пусть x K(m), yi K(ni), 1 i m, zi = (zi1... zin ), zij K(kij), i 1 j ni. Положим ki = ki1 + · · · + kin, 1 i m, = (k1,..., km), ri = ri() :

i [ki] [k1+· · ·+km], i = (ki1,..., kin ), rij = rij(i) : [kij] [ki], = (n1,... nm), i r = ri() : [ni] [n1 + · · · + nm], = (k11,..., k1n,..., km,1,..., kmn ), rij = 1 m rij() : [kij] kij. Легко проверяется, что rij = ririj. Будем писать i,j rizi вместо (ri1zi1)... (rin zin ) и z вместо (r1z1)... (rmzm). Напомним так i i же правило действия отображения f : [p] [q] на строку вида = a1... aq:

f = af(1)... af(p). Мы будем применять его для сокращения записи. При этих обозначениях имеет место соотношение zri = rizi В нижеследующих преобра зованиях используются установленные ранее тождества, причем ( ) можно записать в форме [(fa)b] = [a(bf)]:

x(y1z1)... (ymzm) = [x(r1(y1z1))... (rm(ymzm))] = [x(r1[y1(r11z11)... (r1n z1n )])... (rm[ym(rm1zm1)... (rmn zmn )])] 1 1 m m = [x[y1(r1r11)z11... (r1r1n )z1n ]... [ym(rmrm1)zm1... (rmrmn )zmn ]] 1 1 m m = [x[y1(r11z11)... (r1n z1n )]... [ym(rm1zm1)... (rmn zmn )]].

1 m 1 m 934 С. Н. Тронин С другой стороны, (xy1... ym)(z1... zm) = [[x(r1y1)... (rmym)](r1z1... (rmzm] = [[x(r1y1)... (rmym)]z] = [x[(r1y1)z]... [(rmym)z]] = [x[y1(zr1)]... [ym(zrm]] = [x[y1(r1z)]... [ym(rmz]].

Таким образом, ассоциативность доказана. Построенную операду обозначим через G(K). Из приведенных выше соотношений легко следует, что для любого гомоморфизма клонов f : K H то же самое семейство отображений {fn | n = 0, 1,... } становится гомоморфизмом операд G(K) G(H). Рассматривая его в этом качестве, обозначим через G(f). Таким образом, построен функтор G : Clones F Set-Operads.

Осталось проверить взаимную обратность функторов F и G, т. е. взаимную обратность построенных переходов от операды к клону и от клона к операде.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.