WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Сибирский математический журнал Июль август, 2002. Том 43, № 4 УДК 512 АБСТРАКТНЫЕ КЛОНЫ И ОПЕРАДЫ С. Н. Тронин Аннотация: Устанавливается связь между абстрактными клонами и операдами, которая состоит в том, что и клоны, и операды являются частными случаями более общего понятия, которое в данной работе называется W -операдой (ввиду большего внешнего сходства с операдами) и которое можно рассматривать как функтор на подкатегории W категории конечных ординалов, обладающей несколькими достаточно естественными свойствами. Когда W категория, морфизмы которой всевозможные биекции, многообразие W -операд рационально эквивалентно многообразию операд в традиционном смысле. Основной результат работы: если W совпадает с категорией всех конечных ординалов, то многообразие W -операд рационально эквивалентно многообразию абстрактных клонов.

Ключевые слова: операда, абстрактный клон, многообразие, рациональная эквивалентность В данной работе устанавливается связь между абстрактными клонами, давно и хорошо известными алгебраистам [1, с. 317], и операдами, более распространенными пока в топологии [2, 3]. Коротко эту связь можно выразить так:

и клоны, и операды являются частными случаями некоторого более общего понятия, которое в данной работе будет называться W -операдой (ввиду б ольшего внешнего сходства с операдами) и которое можно рассматривать как функтор на подкатегории W категории конечных ординалов, обладающей несколькими достаточно естественными свойствами. Когда W категория, морфизмы которой всевозможные биекции, то W -операды это операды в традиционном смысле. Если же W совпадает с категорией всех конечных ординалов, то W -операды, по сути, то же самое, что и абстрактные клоны (точнее, рационально эквивалентны им). Существуют и другие категории W, для которых определены W -операды, но их роль еще предстоит выяснить. Основной результат данной работы был анонсирован в [4]. Заметим, что наличие тесной связи между клонами и операдами чувствовалось давно и само понятие операды (в линейном случае), по-видимому, впервые появилось под названием клона полилинейных операций [5]. Термин операда появился в работе [2] спустя три года. О современном состоянии теории операд можно судить, например, по работам [6–9]. К настоящему моменту большая часть того, что сделано в теории операд, относится так или иначе к топологии или к ее приложениям. В 2001 г.

вышла монография [10], посвященная в основном операдам в категориях топологических пространств и цепных комплексов. Имеется также ряд статей, в которых операды изучаются в связи с их применениями в теории категорий, а также физике. Эти темы не имеют прямого отношения к данной работе, и мы Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99–01–00469).

© 2002 Тронин С. Н.

Абстрактные клоны и операды ограничимся только упоминанием о них. Несмотря на то, что понятие операды является, по сути, алгебраическим, именно с этой стороны оно пока изучено недостаточно. Цель данной работы выявить одну из точек соприкосновения между теорией операд и классической алгеброй.

Напомним определение абстрактного клона (далее просто клона) в удобной для нас форме. Клоном называется семейство множеств R = {R(n) | n 0}, причем в каждом R(n), n 1, выделено множество элементов (проекций) p1,n,..., pn,n и для любой пары целых чисел m > 0, n 0 определены операции суперпозиции R(m) R(n)m R(n), действие которых в данной работе будет обозначаться так: (x, y1,..., ym) [xy1... ym]. Строки y1... ym часто будут записываться как y. Должны быть выполнены следующие свойства:

1) (ассоциативность) [x[y1z]... [ymz]] = [[xy1... ym]z] для всех x R(m), yi R(n), z = z1... zn, zj R(k), 1 i m, 1 j k;

2) [pi,my1... ym] = yi, [xp1,m... pm,m] = x при любых таких же x, y1,..., ym.

Гомоморфизм f клона R в клон K это семейство f = {fn | n 0} отображений fn : R(n) K(n) такое, что должны быть выполнены свойства:

fn([xy1... ym]) = [fm(x)fn(y1)... fn(ym)] и fn(pi,n) = pi,n для всех возможных значений n, m и для всех возможных значений аргументов функций.

Хорошо известно, что каждый клон R можно описать как семейство свободных алгебр некоторого многообразия универсальных алгебр с базисами из n элементов (n = 0, 1, 2,... ). Базисными элементами являются проекции, а операция суперпозиции, по сути, есть подстановка вместо переменных свободной алгебры R(m) с базисом из m элементов p1,m,..., pm,m элементов из свободной алгебры R(n), результат которой принадлежит R(n).

Чтобы дать определение операды, необходимо предварительно ввести ряд понятий и обозначений. Пусть n 0 натуральное число. Всюду в дальнейшем [n] означает множество {0, 1,..., n}. Обозначим через F Set подкатегорию категории множеств с объектами [n], n 0, морфизмами которой являются такие отображения f : [n] [m], что f(0) = 0 и f-1(0) = {0}. Заметим, что категория F Set изоморфна категории Fin Ord всех конечных ординалов, т. е.

категории с объектами множествами {1,..., n}, n 1, морфизмами которой служат всевозможные отображения. Функтор, устанавливающий изоморфизм, сопоставляет объекту [n] = {0, 1,..., n} объект {1,..., n}, а отображению f : [n] [m] его ограничение на подмножество {1,..., n} множества [n], образ которого принадлежит подмножеству {1,..., m} множества [m]. Обратный функтор строится очевидным образом.

Категория F Set обладает конечными копроизведениями, которые описываются следующим образом. Естественный изоморфизм [n] [m] [n + m] отображает i [n] в i [n + m], j [m], j > 0 в n + j [n + m]. Поэтому если даны f : [n] [m], g : [p] [q], то f g : [n + p] [m + q] действует следующим образом: (f g)(i) = f(i) при 0 i n, (f g)(j) = m + g(j) при 1 j p.

Разбиением натурального числа n на m частей в данной работе будем называть неубывающее отображение вида : [n] [m], являющееся морфизмом F Set. Через P обозначим категорию с объектами [n] и множествами морфизмов P (n, m) = P ([n], [m]), состоящими из всевозможных разбиений n на m частей. Для P (n, m) и для всех 1 i m положим ni = |-1(i)|. Тогда можно отождествить с упорядоченной последовательностью (n1,..., nm) целых неотрицательных чисел длины m такой, что n1 + · · · + nm = n. Этим объясняется выбор термина. Если P (n, m), P (m, k), = (m1,..., mk), то 926 С. Н. Тронин можно записать в виде (n1,1,..., n1,m,..., nk,1,..., nk,m ). Теперь композицию 1 k m mk можно описать как последовательность n1,i,..., nk,i. В случае, коi=1 i=гда n1 = · · · = nm = k, разбиение будем обозначать через = (km). Если P (n, m), P (k, l) то P (n + k, m + l) (хотя [n + m] не является копроизведением [n] и [m] в P ). Любое разбиение : [n] [m], представленное в форме (n1,..., nm), можно считать морфизмом tn · · · tn : [n1] · · · [nm] 1 m [1] · · · [1] = [m], где tk обозначает единственный морфизм категории F Set из [k] в [1].

В категории F Set, изоморфной топосу Fin Ord, существуют также расслоенные произведения. Нам понадобится их явный вид в одном частном случае. Далее через [p, q] при p q будет обозначаться множество целых чисел {p, p + 1,..., q - 1, q}. Пусть P (n, m), f : [k] [m] морфизм из F Set.

Рассмотрим расслоенное произведение (декартов квадрат) вида [n] [m] [k] - [k] -- f [n] - [m].

--Лемма 1. В категории F Set это расслоенное произведение устроено следующим образом. Пусть = (n1,..., nm). В качестве [n][m][k] можно взять объект [nf(1) + · · · + nf(k)]. При этом 2 становится неубывающей сюръекцией, которую можно записать в виде разбиения (nf(1),..., nf(k)). Проекция 1 описывается так: ее ограничение на каждый отрезок [nf(1) +· · ·+nf(j-1) +1, nf(1) + · · ·+nf(j)] неубывающая биекция на отрезок [n1+· · ·+nf(j)-1+1, n1+· · ·+nf(j)] и 1(0) = 0.

Доказательство. Используем кроме изоморфизма между F Set и Fin Ord еще тот факт, что категория Fin Ord эквивалентна категории F inSet всех конечных множеств и их отображений. Отображая с помощью этих двух эквивалентностей объект [n] [m] [k] в категорию F inSet, получаем множество X={(i, j) | 1 i nf(j), 1 j k}, причем 1((i, j)) = n1 + · · · + nf(j-1) + i, 2(i, j) = j. При обратном переходе в Fin Ord множество X отображается в объект, изоморфный объекту {1, 2,..., nf(1) + · · · + nf(k)} этой категории, причем элементу (i, j) соответствует число nf(1) + · · · + nf(j-1) + i. При последующем переходе в F Set к этому множеству добавляется 0, и оно превращается в [nf(1) + · · · + nf(k)]. Морфизмы 1 и 2, как нетрудно убедиться, приобретают при этом вид, указанный в формулировке леммы.

Проекцию 2 = (nf(1),..., nf(k)) будем обозначать через f. Преимущество такого обозначения в том, что если дано g : [p] [k], то (fg) = (f)g. Проекцию 1 обозначим через f. Следуя терминологии и обозначениям из [11], заметим, что f есть не что иное, как подъем вдоль f. Множество [nf(1) + · · · + nf(k)] можно рассматривать как результат применения функтора замены базы, т. е. как f[n].

Определение 1. Рассмотрим подкатегорию W F Set со всеми теми же объектами [n], морфизмы которой должны удовлетворять следующим условиям:

1) если f, g Mor(W ), то f g Mor(W );

Абстрактные клоны и операды 2) если f : [k] [m] есть морфизм из W, то для любого P (n, m) имеет место включение f W (f[n], [n]).

Категорию W с указанными выше двумя свойствами будем называть вербальной.

Укажем несколько очевидных примеров вербальных подкатегорий.

1. Тривиальная категория Id, морфизмы которой тождественные отображения вида [n] [n] для всех n = 0, 1, 2,....

2. Категория, в которой (n, m) пусто при n = m, а (n, n) = n, группа подстановок n-й степени.

3. Категория P.

4. Категория Mon, морфизмами которой являются все мономорфизмы (т. е.

инъекции) из F Set. То, что инъекции и мономорфизмы в F Set это одно и то же, следует из эквивалентности категорий F Set и Fin Ord. Первое свойство из определения вербальной категории для Mon очевидно. Чтобы проверить второе, надо вспомнить, что в любом топосе из мономорфности f следует мономорфность f для любого.

5. Категория Epi, морфизмами которой являются все эпиморфизмы (т. е.

сюръекции) из F Set. Как и выше, чтобы проверить это, проще всего использовать эквивалентность F Set и Fin Ord. Здесь надо использовать то, что в топосе Fin Ord из эпиморфности f следует эпиморфность f.

6. Если W1 и W2 две вербальные категории, то вербальной является и категория W1 W2, класс морфизмов которой есть Mor(W1) Mor(W2). В частности, Epi Mon =, P = Id.

7. Наконец, вся категория F Set также является вербальной.

Аналогично тому, как это сделано выше для расслоенных произведений, прямые произведения [n] [k] в F Set можно описать следующим образом. Из обычного теоретико-множественного описания произведения как множества пар исключаются пары вида (i, 0), i > 0, (0, j), j > 0, после чего производится отождествление оставшегося подмножества с [nk] Ob(F Set), причем (0, 0) соответствует элементу 0, а паре (i, j), где 1 i n, 1 j k, соответствует i + n(j - 1) [nk]. Проекция на второй сомножитель 2 : [nk] [k] при этом оказывается морфизмом (nk) из P. Первую проекцию 1 : [nk] [n] будем также обозначать через µk,n. Она отображает в i, 1 i n, элементы вида i, i + n, i + 2n,..., i + (k - 1)n. При отождествлении [nk] с k-кратным копроизведением [n] то же самое отображение получается по универсальному свойству копроизведений из семейства тождественных отображений [n] [n] (коконуса), взятых по одному для каждого слагаемого в копроизведении. Если даны f : [n] [m], g : [k] [l], то f g : [nm] [kl] определяется формулой i + (j - 1)n f(i) + (g(j) - 1)m.

Докажем одно существенное свойство вербальных подкатегорий F Set.

Лемма 2. Пусть W вербальная подкатегория категории F Set, f W ([n], [m]), g W ([k], [l]). Тогда f g W ([nk], [ml]).

Доказательство. Представим f g в виде композиции f 1[k] : [nk] [mk] и 1[n] g : [nk] [nl]. Легко заметить, что отображение f 1, действующее по правилу i + (j - 1)n f(i) + (j - 1)m, совпадает с отображением f · · · f : [nk] = [n] · · · [n] [m] · · · [m] = [mk].

Согласно определению вербальной категории отсюда следует, что f Mor(W ). Из этого, однако, не вытекает автоматически, что 1 g Mor(W ).

928 С. Н. Тронин Воспользуемся таким фактом. В любой категории с прямыми произведениями квадрат 1g X Y - X Z -- Y Z g Y - Z --будет декартовым. Здесь Y, Z обозначают проекции на соответствующие множители. Частным случаем этого является диаграмма 1g [nk] - [nl] -- (nk) (nl) g [k] - [l].

--Отсюда согласно второму условию из определения вербальной категории следует, что 1 g Mor(W ).

Определение 2. Пусть W вербальная категория. W -операдой будем называть семейство множеств R = {R(n) | n 0} такое, что для любых упорядоченных последовательностей неотрицательных целых чисел (n1,..., nm), m 1, определены операции композиции R(m) R(n1) · · · R(nm) R(n1 + · · · + nm), действие которых будет обозначаться так: (x, y1,..., ym) xy1... ym = x(y1... ym) = xy. Должен быть выделен также элемент R(1) (единица опе рады). Список свойств, которыми по определению должна обладать операда, выглядит следующим образом.

1. (Ассоциативность) x(y1z1)... (ymzm) = (xy1... ym)z1... zm для любых x R(m), yi R(ni), 1 i m, zi = zi1... zin, zi,j R(kij), 1 j ni.

i 2. Имеют место равенства x = x = x... для любого x R(m), m 1.

3. Соответствие n R(n) ковариантный функтор, определенный на категории W, действие которого обозначается так: если f W ([n], [m]), x R(n), то R(f)(x) = fx R(m). Отображение R(f) : R(n) R(m) также будем иногда ради краткости обозначать через f.

4. Если fi : [ni] [ki], 1 i m, морфизмы категории W, x R(m), yi R(ni), то имеет место тождество x(f1y1)... (fmym) = (f1 · · · fm)(xy1... ym).

5. Если f : [k] [m] является морфизмом W, = (n1,..., nm) P (n, m), x R(k), yi R(ni), 1 i m, то имеет место тождество (fx)y1... ym = (f)(xyf(1)... yf(k)).

Тождества из пп. 4 и 5 можно найти (в несколько иной форме и в ином контексте) в книге [3].

Определение 3. Гомоморфизмом (или морфизмом) W -операды R в W операду K будем называть семейство отображений h = {hn | hn : R(n) K(n), n 0} такое, что h1() = и hn +···+nm(xy1... ym) = hm(x)hn (y1)... hn (ym) 1 1 m во всех случаях, когда определены левая и правая части равенства. Кроме того, семейство h должно быть естественным преобразованием функторов из категории W.

Прежде чем сформулировать основные результаты работы, напомним необходимый нам вариант определения рациональной эквивалентности [12, 13].

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.