WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

x + y t x + y 0 После замены переменной u = x + y последний интеграл примет вид свертки Меллина:

1 du (u - x)t = (1 - x)t xt.

t u t x По теореме о свертке 1 1 (s)(t) M (s, t) = xs-1(1 - x)t dx xs-1xt dx =, t (s + t)(s + t + 1) 0 откуда и следует (4.2).

4.2. Поставим следующую задачу.

Задача 3. Требуется найти многочлены An(z, w) и Bn(z, w) такие, что 1) эти многочлены не равны тождественно нулю одновременно, и deg An 2n, deg Bn 4n;

2) существует исправление Dn(z, w) ряда (z + w)2nAn(z, w)D(z, w) + Bn(z, w)E(z, w), для которого Аппроксимации Эрмита Паде a) функция Dn(z, w) Rn(z, w) = (z + w)2n голоморфна в окрестности бесконечности, b) если l < 0 или m < 0, то {Rn}l,m = 0, c) если (l, m) T, то {Rn}l,m = 0;

n 3) функция Bn(x, y) n(x, y) = An(x, y)(x + y) + (x + y)2n такова, что функция n(x, y) (1 - x - y)2n+голоморфна в области {(x, y) C2 : x + y (-, 0]}. (4.3) Аналогично предложению 2 доказывается Предложение 5. Справедливы следующие утверждения.

1. Решение задачи 3 существует и единственно (с точностью до нормировки).

2. Многочлены An и Bn могут быть определены формулой Родрига 1 n 1 n n(x, y) = xn yn2n(x + y).

n! xn n! yn 3. Имеет место интегральное представление xnyn2n(x + y) Rn(z, w) = dxdy.

(z - x)n+1(w - y)n+ 4.3. Исследуем асимптотическое поведение многочленов An(z, w) при n. Проведем в пространстве C2 комплексную плоскость (3.12), где, как и раньше, считаем > 0.

Рассмотрим функцию двух комплексных переменных xy(1 + x + y)(x, y|z, w) =, (4.4) (z - x)(w - y) определенную в области (4.3), при этом Re x + y > 0. Напишем систему уравнений d = 0, (4.5) определяющую критические точки функции (4.4). В разрезанной окрестности бесконечности существует и единственно голоморфное решение системы (4.5) (с учетом (3.12)) такое, что при z xA(z) a()z, yA(z) b()z, где a() и b() суть функции, голоморфные в области C \ (-, 0] такие, что a(1) = b(1) = 2. Положим A(z) = (xA(z), yA(z)|z, z). (4.6) Тогда функция (4.6) аналитически продолжается в область C \ (-, 0]. Аналогично предложению 3 доказывается 904 В. Н. Сорокин Предложение 6. Справедливы следующие утверждения.

1. Равномерно внутри области C \ (-, 0] lim |An(z, z)|1/n = |A(z)|.

n 2. Все нули многочленов An(z, z) лежат на промежутке (-, 0], который служит предельным множеством этих нулей.

§ 5. Матричные аппроксимации Эрмита Паде 5.1. Определим функции ln 1 ln 1 x y D, (z, w) = ln dxdy,, = 0, 1, (5.1) (z - x)(w - y) x + y естественной областью голоморфности каждой из которых служит область (2.2). При этом D0,0 = D.

Заметим, что функция D(z, w) = D1,1(z, w) - (z)D0,1(z, w) - (w)D1,0(z, w) + (z)(w)D0,0(z, w) имеет интегральное представление x y ( )( ) z w D(z, w) = (x + y) dxdy (z - x)(w - y) и тем самым голоморфна в области (3.4).

Предложение 7. В области (2.4) функции (5.1) раскладываются в степенные ряды b, l,m D, (z, w) =, zl+1wm+l=0 m=где коэффициенты b0,0 = bl,m определяются формулой (4.2), l,m 1 b1,0 = bl,m dl,m +, b0,1 = bl,m dm,l +, l,m l,m l + m + 2 l + m + а также 1 1 1 b1,1 = bl,m dl,m + dm,l + + -, l,m l + m + 2 l + m + 2 (l + m + 2)2 kk=l+m+при этом числа dl,m определяются формулой (3.3).

Доказательство этого предложения вытекает из доказательств предложений 1 и 4.

5.2. Поставим следующую задачу.

Задача 4. Требуется найти многочлены An(z, w) и Bn(z, w) такие, что 1) эти многочлены не равны тождественно нулю одновременно, и deg An 2n, deg Bn 6n;

, 2) для любых = 0, 1 и = 0, 1 существует исправление Dn (z, w) ряда (z + w)4nAn(z, w)D, (z, w) + Bn(z, w)E, (z, w), Аппроксимации Эрмита Паде для которого a) функция, Dn (z, w), Rn (z, w) = (z + w)4n голоморфна в окрестности бесконечности,, b) если l < 0 или m < 0, то {Rn }l,m = 0,, c) если (l, m) T, то {Rn }l,m = 0;

n 3) имеем Bn(z, 1 - z) 0.

Введем обозначения Bn(x, y) n(x, y) = An(x, y)(x + y) + (x + y)4n и 1,1 0,1 1,0 0,Rn(z, w) = Rn (z, w) - (z)Rn (z, w) - (w)Rn (z, w) + (z)(w)Rn (z, w).

Как и выше, легко доказывается Предложение 8. Справедливы следующие утверждения.

1. Решение задачи 4 существует и единственно (с точностью до нормировки).

2. Многочлены An и Bn могут быть определены формулой Родрига 1 n 1 n 1 n 1 n n(x, y) = xn yn xn yn2n(x + y).

n! xn n! yn n! xn n! yn 3. Имеет место интегральное представление znwnxnyn2n(x + y) x y Rn(z, w) = n n dxdy.

(z - x)2n+1(w - y)2n+1 z w 5.3. Будем изучать асимптотическое поведение при n многочленов An(z, w) и функций Rn(z, w) в плоскости (3.12), где > 0.

Рассмотрим функцию двух комплексных переменных (1 - 2 + 2)(, |p, q) =, (p + )(q + ) где параметры p и q связаны с переменными z и w соотношениями (3.13).

В окрестности точки p = выделим решения системы d = 0, имеющие асимптотику 1 R, R, 2 2 2 при этом 2 R + R, а также A a()p, A b()p, где a() и b() суть функции, голоморфные в области C \ (-, 0], такие, что a(1) = b(1) = -2, и при этом если = 1, то 2 A + A -2 2p.

Определим функции R(z) и A(z) формулой (3.17). Они аналитически продолжаются в область C \ (-, 0].

906 В. Н. Сорокин Предложение 9. Справедливы следующие утверждения.

1. Равномерно внутри области C \ (-, 0] lim |Rn(z, z)|1/n = |R(z)|2, lim |An(z, z)|1/n = |A(z)|2.

n n 2. Нули многочленов An(z, z) лежат на промежутке (-, 0], который служит предельным множеством всех этих нулей.

ЛИТЕРАТУРА 1. Суетин П. К. Ортогональные многочлены по двум переменным. М.: Наука, 1988.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1966. Т. 2.

3. Appell P., Kampe de Feriet J. Fonctions hypergeometriques et hyperspheriques, polynomes d’Hermite. Paris: Gauthier-Villars, 1926.

4. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986.

5. Никишин Е. М., Сорокин В. Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. М.:

Наука, 1988.

6. Hermite C. Sur la fonction exponentielle // C. R. Acad. Sci. Paris. 1873. T. 77. P. 18–24, 74–79, 226–233, 285–293.

7. Marcellan F., Rocha I. A. On semiclassical linear functionals: integral representations // J.

Comput. Appl. Math. 1995. V. 57. P. 239–249.

.

8. Beukers F. Pade approximations in number theory // Lecture Notes Math. 1981. N 888.

P. 90–99.

9. Apery R. Irrationalite de (2) et (3). Journees arithmetiques de Luminy // Asterisque. 1979.

V. 61. P. 11–13.

10. Калягин В. А. Об одном классе полиномов, определяемых двумя соотношениями ортогональности // Мат. сб. 1979. Т. 110. С. 609–627.

.

11. Гончар А. А., Рахманов Е. А. Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов // Мат. сб. 1984. Т. 125. С. 117–127.

.

Статья поступила 7 февраля 1997 г., окончательный вариант 25 апреля 2001 г.

Сорокин Владимир Николаевич Московский гос. университет, механико-математический факультет, Воробьевы горы, 119899 Москва В-234, vnsormm@mech.math.msu.su;

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.