WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

t x(y(), fn)(s) - x(y(), f)(s), f(s) - fn(s) ds t = x(y(), fn)(s) - x(y(), f)(s), f(s) - vn(x(y(), fn)(s) ds t + x(y(), fn)(s) - x(y(), f)(s), vn(x(y(), fn)(s) - fn(s) ds. (4.13) Воспользовавшись неравенством (4.9), получаем t x(y(), fn)(s) - x(y(), f)(s), f(s) - vn(x(y(), fn)(s) ds t x(y(), fn(s) - x(y(), f)(s) ds n t + k(t) x(y(), f)(s) - x(y(), fn)(s) 2 ds. (4.14) Так как fn(s) = gn(x(y(), fn)(s), из (4.11) и леммы 2.1 вытекает, что последовательность vn(x(y(), fn)-fn сходится в -L2(T, H) к нулевому элементу пространства L2(T, H). Поскольку последовательность x(y(), fn) - x(y(), f), n 1, относительно компактна в C(T, H), то t lim x(y(), fn)(s)-x(y(), f)(s), vn(x(y(), fn)(s)-fn(s) ds = 0, t T.

n (4.15) Последовательность x(y(), fn) - x(y(), f), n 1, относительно компактна в C(T, H), тем самым, не нарушая общности, можно считать, что она сходится в C(T, H) к некоторому элементу y(·). Переходя к пределу в (4.12) и учитывая (4.13)–(4.15), получаем t y(t) 2 k(s) y(s) 2 ds.

Из этого неравенства и неравенства Беллмана Гронуолла следует, что y(t) = 0, t T. Значит, последовательность x(y(), fn) сходится к x(y(), f) в C(T, H). Из неравенства (4.9) вытекает, что lim f(t) - vn(x(y(), fn)(t) = 0, t T. (4.16) n Как указано выше, последовательность vn(x(y(), fn) - fn, n 1, сходится в -L2(T, H) к нулевому элементу пространства L2(T, H). Тогда согласно (4.16) последовательность fn сходится к f в -L2(T, H). Таким образом, мы показали, что для элемента (x(y(), f), f) RF (y() существует последовательность {x(y(), fn), fn} Rext F (y(), n 1, сходящаяся к этому элементу в C(T, H) -L2(T, H). Теперь равенство (4.7) вытекает из теоремы 4.1. Теорема доказана.

898 А. А. Толстоногов Следствие 4.1. Пусть выполняется предположение H(F ). Тогда T rF (y()) для любого является компактным подмножеством пространства C(T, H) и справедливо равенство T rF (y()) = T rext F (y()), где черта означает замыкание в C(T, H).

Следствие 4.2. Пусть выполняется предположение H(F ). Тогда AF (y())(t) для любого является непрерывным отображением из T в comp H и справедливо равенство AF (y())(t) = Aext F (y())(t), t T, где черта означает замыкание в H.

Следствия вытекают из теорем 4.1 и 4.2.

§ 5. Сходимость аппроксимаций Всюду в дальнейшем в этом параграфе мы считаем, что выполнено предположение H(F ).

Обозначим через DL2(·, ·) метрику Хаусдорфа на пространстве cb L2(T, H).

Пусть (, f),, f L2(T, H), многозначное отображение, определенное по правилу (, f) = {u M (H); u(t) F (t, L (, (y(), f)(t)) п. в.}.

Из (2.13) вытекает, что (, f) является выпуклым замкнутым ограниченным разложимым подмножеством пространства L2(T, H). В соответствии с утверждением 4.2 в [7] DL2( (1, f), (2, f)) 1/ D2(F (t, L (1, (y(1), f)(t)), F (t, L (2, (y(2), f)(t))) dt, 1, 2.

T Поскольку множество имеет только одну предельную точку = 0, то из этого неравенства, неравенства (2.14) и леммы 3.1 следует, что отображение (, f) является непрерывным из в cb L2(T, H).

На пространстве L2(T, H) кроме стандартной нормы введем следующую норму:

1/ t -4 k2(s) ds · f(t) 2 dt, f L2(T, H). (5.1) P (f) = exp T Очевидно, что P (f) является нормой, эквивалентной исходной норме пространства L2(T, H).

Пусть DP (·, ·) метрика Хаусдорфа на пространстве cb L2(T, H), порожденная нормой (5.1). Воспользовавшись утверждением 4.2 в [7], получаем t DP ( (, f1), (, f2)) exp-4 k2(s) ds T 1/ D2(F (t, L (, (y(), f1)(t)), F (t, L (, (y(), f2)(t))) dt. (5.2) Аппроксимация множеств достижимости Из неравенств (5.2), (2.14), (3.1) следует, что DP ( (, f1), (, f2)) 1/ t t -4 k2(s) ds) · k2(t) ( f1(s) - f2(s) 2 ds dt, (5.3) exp T 0 t T, f1, f2 L2(T, H). Применяя правило интегрирования по частям, получим t t -4 k2(s) ds · k2(t) ( f1(s) - f2(s) 2 ds) dt exp T 0 t -4 k2(s) ds · f1(t) - f2(t) 2dt. (5.4) exp T Воспользовавшись (5.1), (5.3), (5.4), приходим к неравенству DP ( (, f1), (2, f2)) P (f1 - f2), f1, f2 L2(T, H). (5.5) Напомним, что неподвижной точкой многозначного отображения f (, f) называется точка f, удовлетворяющая включению f (, f).

Обозначим через Fix (),, множество неподвижных точек отображения f (, f). Так как отображение (, f) непрерывно из в cb L2(T, H) и имеет место неравенство (5.5), отображение (, f) удовлетворяет всем предположениям теоремы 3.1 в [10]. Согласно этой теореме для любого множество Fix () непусто и существует непрерывная функция u : L2(T, H) такая, что u() Fix (), ; (5.6) если u(0) Fix (0), то существует непрерывная функция u : L2(T, H) такая, что имеет место включение (5.6) и u(0) = u(0). (5.7) Теорема 5.1. Отображение T r(y()) является непрерывным по Хаусдорфу из в comp C(T, H).

Доказательство. Поскольку множество имеет только одну предельную точку = 0, нам нужно показать, что если n 0, n, n = 0, то n T r (y(n)) T r(y(0)) в comp C(T, H). Покажем вначале, что отображение T r(y()) является полунепрерывным снизу по Вьеторису. Для этого достаточно доказать, что если x T r(y(0)) и n 0, n = 0, то существует n последовательность xn T r (y(n)), n 1, сходящаяся к x(·) в C(T, H).

Пусть x T r(y(0)). Из определения решения включения (1.1) вытекает существование f L2(T, H) такого, что x = L (0, y(0), f) и f(t) F (t, L (0, y(0), f)(t)) п. в. (5.8) 900 А. А. Толстоногов Из (5.8) следует, что f Fix (0). Согласно (5.6), (5.7) существует непрерывная функция f : L2(T, H) такая, что f() Fix () и f(0) = f. Пусть fn = f(n). Положим xn = L (n, y(n), fn). (5.9) Тогда fn(t) F (t, xn(t)) п. в. (5.10) Из (5.9), (5.10) вытекает, что пара (xn, fn) является решением включения (1.2) n с = n. Следовательно, xn T r (y(n)). Так как fn f в L2(T, H) и y(n) y(0), из леммы 3.1 следует, что xn(·) x(·) в C(T, H). Тем самым отображение T r(y()) является полунепрерывным снизу по Вьеторису.

Докажем теперь полунепрерывность сверху по Вьеторису отображения T r(y()). Так как для каждого множества T r(y()) и RG (см. (3.29)) являются компактами в C(T, H) и T r(y()) RG,, нам нужно показать, n что если n 0, n и последовательность xn T r (y(n)), n 1, n сходится к x в C(T, H), то x T r(y(0)). Если xn T r (y(n)), то существует fn L2(T, H) такое, что имеют место соотношения (5.9), (5.10). Поскольку fn SG, не нарушая общности, можно считать, что fn, n 1, сходится в -L2(T, H) к некоторому элементу f SG. Воспользовавшись теоремой 3.1, получаем, что x = L (0, y(0), f). (5.11) С другой стороны, из (5.10) и теоремы Мазура следует, что f(t) co fk(t) F (t, x(t)) п. в. (5.12) n=1 k=n Из (5.11), (5.12) вытекает, что (x, f) является решением включения (1.1). Поэтому x T r(y(0)). Тем самым мы показали, что отображение T r(y()) полунепрерывно сверху по Вьеторису и, следовательно, непрерывно по Вьеторису из в comp C(T, H). Хорошо известно, что если отображение T r(y()) является непрерывным по Вьеторису из в comp C(T, H), то оно будет непрерывным по Хаусдорфу. Теорема доказана.

Обозначим через C(T, comp H) пространство всех непрерывных отображений из T в comp H с топологией равномерной сходимости на T.

Следствие 5.1. Для каждого функция t AF (y())(t), элемент пространства C(T, comp H) и отображение AF (y())(t) непрерывно из в C(T, comp H).

Следствие вытекает из следствия 4.2 и теоремы 5.1.

Следствие 5.2. Отображение T rext F (y()), где черта означает замыкание в C(T, H), является непрерывным по Хаусдорфу из в comp C(T, H).

Следствие 5.3. Для каждого функция t Aext F (y())(t), где при каждом t T черта означает замыкание в H, является элементом про странства C(T, comp H), а отображение Aext F (y())(t) непрерывно из в C(T, comp H).

Следствия 5.2, 5.3 вытекают из следствий 4.1, 4.2, 5.1 и теоремы 5.1.

Замечание 5.1. Для y0 dom 0, 0(y0) M1 и n (0, 1], n 0, мы выбирали последовательность yn dom 0 такую, чтобы 0(yn) M1 (5.13) Аппроксимация множеств достижимости (см. (3.4)). Если функция 0(x) непрерывна в точке y0, то неравенство (5.13) будет выполняться для любой последовательности yn dom 0, n 1, сходящейся к y0 при некотором M1 > 0. Поэтому если функция 0(x) непрерывна в точке y0 dom 0, то все наши утверждения будут справедливы для любой последовательности yn dom 0, сходящейся к y0.

В частности, если внутренность int dom 0 эффективной области dom непуста и y0 int dom 0, то функция (x) непрерывна в точке y0 [11].

§ 6. Приложение Уравнение возмущенного движения электромотора с присоединенным к нему манипулятором описывается уравнениями [12] 1 = x2, 2 = -bx2 - f1(x2) - (x1) + ku, x1(0) = x1, x2(0) = x2, (6.1) 0 с ограничениями umin u umax, (6.2) где x1 угол поворота ротора, b коэффициент вязкого трения, f(x2) разрывная нелинейность, характеризующая сухое трение, (x1) нагрузка на валу двигателя, u напряжение. Функции f1(x) и (x) имеют следующий вид:

f1(x) = a sgn x · exp(-|x|), где sgn x разрывная в точке x = 0 функция и sgn x = 1, если x > 0, sgn x = -1, если x < 0; a > 0, > 0; (x) = 0, если x < xf, (x) = ks(x - xf ), если x xf, xf > 0, ks > 0.

Если под решением уравнения (6.1) с разрывной правой частью понимать решение в смысле А. Ф. Филиппова [13], то в точке x = 0 функцию sgn x мы должны доопределить следующим образом: sgn 0 = [-1, 1]. Всюду в дальнейшем под sgn x мы будем понимать функцию, доопределенную в точке x = вышеуказанным способом. В этом случае управляемая система (6.1) сведется к дифференциальному включению -1 = -x2, -2 f1(x2) + bx2 + (x1) - ku, x1(0) = x1, x2(0) = x2, (6.3) 0 с ограничениями (6.2) на управление u.

Представим функцию f1(x2) в виде f1(x2) = a sgn(x2) + f2(x2), где -a(1 - exp(-x2)), если x2 > 0, f2(x2) = a(1 - exp(x2)), если x2 0.

Очевидно, что f2(x2) является липшицевой функцией. Перепишем включение (6.3) в эквивалентном ему виде -1 = -x2, -2 = a sgn(x2)+f2(x2)+bx2+(x1)-ku, x1(0) = x1, x2(0) = x2.

0 (6.4) Наряду с включением (6.4) рассмотрим управляемую систему -1 = -x2, -2 f(x2) + f2(x2) + bx2 + (x1) - ku, (0, 1], (6.5) x1(0) = x1, x2(0) = x2, где -a, x2 < -a, f(x2) = x2/, |x2| a, a, x2 > a.

902 А. А. Толстоногов Пусть T = [0, 1], U отрезок [umin, umax], ext U = {umin, umax}, где {umin, umax} множество, состоящее из двух точек umin и umax. Обозначим через M (U) совокупность всех измеримых функций u : T R, u(t) U п. в., а через M (ext U)} совокупность всех измеримых функций u : T R, удовлетворяющих включению u(t) ext U п. в. Для фиксированного u(·) M (U) под решением в смысле А. Ф. Филиппова управляемой системы (6.1) мы понимаем абсолютно непрерывную функцию t (x1(t), x2(t)), x1(0) = x1, x2(0) = x2, 0 t T, почти всюду удовлетворяющую включению -1(t) = -x2(t), -2(t) f(x2(t)) + bx2(t) + (x1(t)) - ku(t).

Ясно, что определение решения управляемой системы (6.1) с разрывной нелинейностью совпадает с общепринятым определением решения дифференциального включения (6.3) или эквивалентного ему включения (6.4). Решение управляемой системы (6.5) для u M (U) определяется аналогично.

Множество всех решений включения (6.3), соответствующих u M (U), обозначим через T rU 1 x2 а множество всех решений системы (6.5) будем x0, 0, обозначать через T rU x1, x2 ; T rext U x1, x2 и T rext U x1, x2 означают сово 0 купности всех решений включения (6.3) и системы (6.5) с u M (ext U). Множества достижимости в момент t T включения (6.3) и системы (6.5) с u M (U) мы обозначаем через AU x1, x2 (t) и AU x1, (t). Аналогичный смысл имеют 0 x обозначения Aext U x1, x2 (t) и Aext U x1, x2 (t) для u M (ext U).

0 Теорема 6.1. Для любых x1, x2 R2, x1, x2 R2, (0, 1] справед0 ливы следующие утверждения:

1) множества T rU x1, x2, T rU x1, x2, T rext U x1, x2, T rext U x1, x0 0 0 непусты;

2) множества T rU x1, x2, T rU x1, x2 являются выпуклыми компактны0 ми подмножествами пространства C(T, R2) и T rU x1, x2 = T rext U x1, x2, T rU x1, x2 = T rext U x1, x2, 0 0 0 где черта сверху означает замыкание в C(T, R2);

3) для любой последовательности n 0 и любой последовательности n x1, x2, n 1, сходящейся к x1, x2, последовательность T rU x1, x2, n n 0 0 n n n 1, сходится к T rU x1, x2 в пространстве comp C(T, R2).

0 Доказательство. Пусть y = (x1, x2). Рассмотрим собственную выпуклую функцию (y) = (x1, x2) = a|x2|. Хорошо известно [1], что (y) = (0, a sgn(x2)), (y) = (0, f(x2)). (6.6) Положим g(y, u) = (-x2, f2(x2) + bx2 + (x1) - ku), (6.7) F (y) = {g(y, u); u U}. (6.8) Тогда ext F (y) = {g(y, u); u ext U}. (6.9) Воспользовавшись (6.6)–(6.8), перепишем системы (6.4), (6.5) в виде -(t) (y(t)) + F (y(t)), y(0) = x1, x2, (6.10) 0 -(t) (y(t)) + F (y(t)), y(0) = x1, x2. (6.11) Аппроксимация множеств достижимости Очевидно, что отображение F : R2 R2 удовлетворяет предположению H(F ).

Поэтому, как доказано в теореме 4.1, множества траекторий T rF x1, x2, 0 T rF x1, x2 включений (6.10), (6.11) непусты. Из определения решений систем (6.4), (6.5) и включений (6.10), (6.11) вытекает, что T rU x1, x2 T rF x1, x2, T rU x1, x2 T rF x1, x2.

0 0 0 0 Пусть y(·) T rF x1, x2. Тогда согласно определению решения включения 0 (6.10) существует f L2(T, H) такое, что -(t) (y(t)) + f(y(t)) п. в., f(t) F (y(t)) п. в. (6.12) Воспользовавшись (6.8) и теоремой 7.2 в [4], получаем, что существует измеримая функция u(t) U п. в. такая, что f(t) = g(y(t), u(t)). (6.13) Теперь из (6.7), (6.12), (6.13) следует, что y(t) = (x1(t), x2(t)) является решением включения (6.4) и, следовательно, решением эквивалентного включения ему (6.3). Поэтому y(·) T rU x1, x2. Следовательно, T rU x1, x2 = T rF x1, x2.

0 0 0 0 0 Аналогично мы можем показать, что T rU x1, x2 = T rF x1, x2, T rext U x1, x2 = T rext F x1, x2, 0 0 0 T rext U x1, x2 = T rext F x1, x2.

Так как dom = R2, утверждения теоремы вытекают из утверждений теорем 4.1, 4.2, 5.1 и замечания 5.1. Теорема доказана.

Следствие 6.1. Для любых x1, x2 R2, x1, x2 R2, (0, 1] спра0 ведливы следующие утверждения:

1) отображения t AU x1, x2 (t), t AU x1, x2 (t) непрерывны из T в 0 comp R2, и AU x1, x2 (t) = Aext U x1, x2 (t), AU x1, x2 (t) = Aext U x1, x2 (t), 0 0 0 где для каждого t T черта сверху означает замыкание в R2;

2) для любой последовательности 0 и любой последовательности n n x1, x2, n 1, сходящейся к x1, x2, последовательность AU x1, x2 (t) n n 0 0 n n сходится к AU x1, x2 (t) в comp R2 равномерно по t T.

0 Следствие вытекает из теоремы 6.1.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.