WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Лемма 3.2. Существует M2 > 0 такое, что для любого (x(y(), f), f) RF (y()),, имеют место неравенства t x(y(), f)(t) M2 + (a(s) + b(s) x(y(), f)(s) ) ds, t T, (3.5) и L (, y(), 0) C(T,H) M2. (3.6) Доказательство. Пусть (x(y(), f), f) RF (y()). Тогда x(y(), f)) = L (, y(), f),. Воспользовавшись неравенством (3.1), получим t x(y(), f)(t) L (, y(), 0)(t) + f(s) ds. (3.7) Функция y() непрерывна на, оператор L (, y(), 0) согласно лемме 3.1 непрерывен в точке (0, y(0), 0). Воспользовавшись определениями множества и функции y(), получим, что существует константа M2 > 0, при которой имеет место неравенство (3.6). Теперь неравенство (3.5) вытекает из неравенств (2.13), (3.6), (3.7). Лемма доказана.

Из (3.5) и леммы Беллмана Гронуолла следует, что существует константа M > 0 такая, что M2 M, (3.8) x(y(), f)(t) M, t T, (3.9) для любого (x(y(), f), f) RF (y()),.

Пусть B = {x H; x M} (3.10) и G(t) = co F (t, B), t T. (3.11) Из гипотезы H(F )(2) следует, что t G(t) является многозначным отображением с выпуклыми компактными значениями. Обозначим через pr : H B оператор проектирования на множество B, который каждой точке x H ставит в соответствие единственную точку pr x B такую, что pr x-x = min{ y-x ; y B}. Хорошо известно, что pr x - pr y x - y. (3.12) 890 А. А. Толстоногов Рассмотрим отображение F : T H conv H, определенное по правилу F (t, x) = F (t, pr x). Из (3.12) вытекает, что отображение F (t, x) наследует все свойства отображения F (t, x), приведенные в предположении H(F ). В частности, F (t, x) a(t) + b(t) x п. в., x H, (3.13) F (t, x) a(t) + b(t)M п. в., x H, (3.14) и F (t, x) G(t) п. в., x H. (3.15) Если мы рассмотрим включения (1.1), (1.2) с F (t, x), замененным на F (t, x), то из (3.13) следует, что оценка (3.9) останется той же самой и для решений включений с возмущением F (t, x). Тем самым (x(y(), f), f) RF (y()) тогда и только тогда, когда (x(y(), f), f) R (y()),. Поэтому всюду в F дальнейшем, не нарушая общности и не оговаривая специально, будем считать, что для отображения F (t, x) имеют место соотношения F (t, x) a(t) + b(t)M п. в., x H, (3.16) F (t, x) G(t) п. в., x H. (3.17) Пусть xn, n 1, счетное плотное подмножество множества B. Поскольку отображение t F (t, x) измеримо, согласно теореме 5.6 в [4] для каждого n k существует последовательность fn(t), k 1, измеримых селекторов отображения F (t, xn) такая, что k F (t, xn) = fn(t), t T, kгде черта означает замыкание в H. Используя непрерывность отображения x F (t, x), получим, что k F (t, B) = fn(t), t T.

n1 kПоэтому в соответствии с теоремой 5.6 из [4] отображение t F (t, B) измеримо.

Таковым является и отображение t G(t, x) = co F (t, B) = co F (t, B).

Обозначим через SG множество SG = {f M (H); f(t) G(t) п. в.}. (3.18) Из (3.16) следует, что для любого f(·) SG имеет место неравенство f(t) a(t) + b(t)M п. в. (3.19) Поэтому SG является выпуклым компактным подмножеством пространства L2(T, H).

Пусть RG() = {x(y(), f) = L (, y(), f); f SG},. (3.20) Воспользовавшись (3.6), (3.7) и (3.19), получим, что t x(y(), f)(t) M2 + (a(s) + b(s)M) ds = C, t T,. (3.21) Аппроксимация множеств достижимости Лемма 3.3. Для любого и любого x(y(), f) RG() имеет место неравенство t t (x(y(), f)(t)) + (y(), f)(s) 2 ds 0 (y()) t t + f(s) 2 ds + (|ar (s)|2 + |r (s)|)(|s (x(y(), f)(s))| + 1) ds, (3.22) 0 где r = K1 + C + 1 (3.23) и K1 > 0 и C > 0 константы из неравенств (2.4) и (3.21).

Доказательство. Пусть x(f), x(f)(0) = x0 dom 0, (0, 1], решение уравнения (2.6). Тогда согласно лемме 2.2 из [5] справедливо неравенство t t(x(f)(t)) + (f)(s), (f)(s) + f(s) ds t 1/ 0 (x0) + |ar(s)| · (f)(s) + f(s) · s (x(f)(s)) + 1 ds t + |r(s)| · s (x(f)(s)) + 1 ds (3.24) с t r sup Jµx(f)(t) ; t T, µ (0, 1]. (3.25) 1 Воспользовавшись неравенством |c| · |d| c2 + d2 применительно к первому 2 интегральному члену в правой части неравенства (3.24) и соотношениями (2.4), (3.25), получим t t (x(f)(t)) + (f)(s) 2 ds 0 (x0) t t + f(s) 2 ds + (|ar(s)|2 + |r(s)|) · s (x(f)(s)) + 1 ds (3.26) 0 с r x(f) C(T,H) + K1. (3.27) Согласно теореме 2.1 в неравенстве (3.27) мы можем перейти к пределу при 0. Но при достаточно малых > 0 будет иметь место неравенство 1 + x(f) C(T,H) x(f) C(T,H). Поэтому неравенство (3.26) будет выполняться при = 0 с r x(f) C(T,H) + 1 + K1. (3.28) Воспользовавшись (3.26)–(3.28) применительно к x(y(), f),, придем к неравенствам (3.22), (3.23). Лемма доказана.

Обозначим через RG множество RG = {RG(); }, (3.29) и пусть BC = {x H; x C}, (3.30) где C > 0 константа из неравенства (3.21).

892 А. А. Толстоногов Лемма 3.4. Множество RG является равностепенно непрерывным подмножеством пространства C(T, H).

Доказательство. Из неравенств (2.2), (2.3) следует, что для любого x(y(), f) RG,, f SG, справедливо неравенство t (x(y(), f)(t)) t(x(y(), f)(t))+2K1( x(y(), f)(t) +1), t T. (3.31) Воспользовавшись неравенствами (3.22), (3.31), (3.21), (3.4), получим t t (x(y(), f)(t)) + 1 (y(), f)(s) 2 ds M1 + 2K1(C + 1) t t + f(s) 2 ds + (|ar (s)|2 + |r (s)|) · s (x(y(), f)(t)) + 1 ds, (3.32) 0 t T,. Из этого неравенства, (3.19) и неравенства Беллмана Гронуолла вытекает, что существует константа A > 0 такая, что t (x(y(), f)(t)) A, t T,, f SG.

Из последнего неравенства, (3.32) и (3.19) следует, что (y(), f)(t) 2dt R2,, f SG, (3.33) T при некоторой константе R > 0. Из (3.33) и неравенства Г получаем, ельдера что t x(y(), f)(t) - x(y(), f)(s) (y(), f)() d |t - s|1/2 · R, s, f SG. Тем самым множество RG равностепенно непрерывно в C(T, H).

Лемма доказана.

Теорема 3.1. Оператор (, f) L (, y(), f) является непрерывным из -SG в C(T, H).

Доказательство. Так как множество -SG метризуемый компакт в L2(T, H), нам достаточно доказать секвенциальную непрерывность оператора (, f) L (, y(), f). Вначале покажем, что для каждого оператор f L (, y(), f) непрерывен из -SG в C(T, H). Пусть и последовательность fn SG, n 1, сходится к f в топологии пространства -L2(T, H).

Воспользовавшись монотонностью оператора t, получим x(y(), fn)(t) - x(y(), f)(t), (y(), fn)(t) - (y(), fn)(t) x(y(), fn)(t) - x(y(), f)(t), f(t) - fn(t). (3.34) Из неравенства (3.21) следует, что x(y(), fn)(t) BC, t T, n 1, и x(y(), fn) RG.

Согласно лемме 3.4 последовательность x(y(), fn), n 1, равностепенно непрерывна в C(T, H). Поэтому последовательность x(y(), fn), n 1, относительно Аппроксимация множеств достижимости компактна в пространстве C(T, -H). Поскольку множество C(T, -BC) является метризуемым подмножеством в C(T, -H), существует подпоследовательность x(y(), fn ), k 1, последовательности x(y(), fn), n 1, сходящаяся k в топологии пространства C(T, -H) к некоторому элементу z(·) C(T, -BC).

Очевидно, что z(·) L2(T, H). Так как f(t), fn(t) G(t), n 1, и при каждом t T множество G(t) является компактом в H, то lim | x(y(), fn )(t) - z(t), f(t) - fn (t) | = 0, (3.35) k k k t T. Из (3.35) и (3.19) вытекает, что | x(y(), fn )(t) - z(t), f(t) - fn (t) | 4C(a(t) + b(t)M). (3.36) k k Воспользовавшись (3.35), (3.36) и теоремой Лебега об ограниченной сходимости, получаем lim | x(y(), fn )(t) - z(t), f(t) - fn (t) | dt = 0. (3.37) k k k T Поскольку fn f в -L2(T, H), имеем k t lim z(s), f(s) - fn (s) ds = 0, t T. (3.38) k k Из (3.34), (3.37) и (3.38) следует, что x(y(), fn )(t) x(y(), f)(t) в H, t T. (3.39) k На каждом равностепенно непрерывном множестве топология поточечной сходимости на компактном множестве T совпадает с топологией равномерной сходимости [6], тем самым в соответствии с (3.39) x(y(), fn ) x(y(), f) k в C(T, H). Если мы предположим, что сама последовательность x(y(), fn) не сходится к x(y(), f), то существует подпоследовательность x(y(), fn ), k k 1, последовательности x(y(), fn), n 1, такая, что любая подпоследовательность последовательности x(y(), fn ), k 1, не сходится к x(y(), f).

k Повторяя рассуждения, приведенные выше, к последовательности x(y(), fn ), k k 1, придем к противоречию. Тем самым оператор f L (, y(), f) непрерывен из -SG в C(T, H).

Докажем теперь непрерывность оператора (, f) L (, y(), f) из SG в C(T, H). Так как множество имеет единственную предельную точку = 0, на основании доказанного выше нам нужно рассмотреть только случай, когда n 0, и последовательность fn SG, n 1, сходится к f в -L2(T, H). В этом случае L (0, y(0), f) - L (n, y(n), fn) C(T,H) L (n, y(n), fn) - L (n, y(n), f) C(T,H) + L (n, y(n), f) - L (n, y(0), f) C(T,H) + L (n, y(0), f) - L (0, y(0), f) C(T,H). (3.40) Воспользовавшись теоремой 2.1, получаем lim L (n, y(0), f) - L (0, y(0), f) C(T,H) = 0. (3.41) n 894 А. А. Толстоногов В соответствии с неравенством (3.1) lim L (n, y(n), f) - L (n, y(0), f) C(T,H) lim y(n) - y(0) = 0. (3.42) n n Согласно лемме 3.4 последовательность x (y(n), fn) - x (y(n), f), n 1, n n равностепенно непрерывна в C(T, H) и x (y(n), fn)(t) - x (y(n), f)(t) 2C, t T, n 1.

n n Поэтому из последовательности x (y(n), fn) - x (y(n), f)(t), n 1, можно n n выбрать подпоследовательность, сходящуюся в пространстве C(T, -H) к некоторому элементу z(·) C(T, -H). Как показано выше, не нарушая общности, мы можем считать, что сама последовательность x (y(n), fn) - x (y(n), f) n n сходится в C(T, -H) к z(·).

С помощью тех же аргументов, которые использовались при доказательстве соотношений (3.37), (3.38), получаем lim | x (y(n), fn)(t) - x (y(n), f)(t) - z(t), f(t) - fn(t) |dt = 0, (3.43) n n n T t lim z(s), f(s) - fn(s) ds = 0. (3.44) n Поскольку x (y(n), fn)(t) - x (y(n), f)(t) n n t x (y(n), fn)(s) - x (y(n), f)(s), f(s) - fn(s) ds, (3.45) n n из (3.43)–(3.45) вытекает, что последовательность x (y(n), fn)(t) - x (y(n), f)(t), n 1, n n поточечно сходится к нулевому элементу пространства H. Ввиду ее равностепенной непрерывности имеем lim x (y(n), fn) - x (y(n), f) C(T,H) = 0. (3.46) n n n Теперь утверждение теоремы вытекает из (3.40)–(3.42) и (3.46). Теорема доказана.

Следствие 3.1. Множество RG является компактом в C(T, H).

Так как RG = {L (, y(), f);, f SG}, следствие вытекает из теоремы 3.1.

Аппроксимация множеств достижимости § 4. Существование и свойства решений В этом параграфе изложим основные результаты.

Теорема 4.1. Пусть выполняются гипотезы H(F ) (1)–(3). Тогда для лю бого множество Rext F (y()) непусто, а множество RF (y()) является компактным подмножеством пространства C(T, H) -L2(T, H).

Доказательство. Пусть. В соответствии с теоремой 3.1 множество RG() (см. (3.20)) является компактом в C(T, H). Воспользовавшись неравенством (3.16) и утверждением 8.1 в [7], получаем, что существует непрерывное отображение g : RG() L2(T, H) такое, что g(x)(t) ext F (t, x(t)), t T, x RG(). (4.1) Согласно (3.17) ext F (t, x) G(t), x H. Поэтому g(x) SG, x RG(). (4.2) Рассмотрим отображение f g(L (, y(), f)), которое по теореме 3.1 действует непрерывно из -SG в L2(T, H) и, следовательно, из -SG в -L2(T, H).

Воспользовавшись (4.2), получаем, что g(L (, y(), f)) является непрерывным отображением из -SG в -SG. Тогда в соответствии с теоремой Шаудера существует неподвижная точка f SG этого отображения, т. е. f = g(L (, y(), f)).

Положим x(y(), f) = L (, y(), f).

Тогда из (4.1) вытекает, что f(t) ext F (t, x(y(), f)(t)) п. в.

Поскольку x(y(), f) при = 0 является сильным решением уравнения (2.6) с f = f, а при = 0 сильным решением включения (2.5), то (x(y(), f), f) элемент множества Rext F (y()). Тем самым множества Rext F (y()) и RF (y()) непусты.

Докажем компактность множества Rext F (y()) в C(T, H)-L2(T, H). Так как для любого (x(y(), f), f) RF (y()) имеет место включение f(t) F (t, x(y(), f)(t)) G(t) п. в., то RF (y()) RG() SG. (4.3) Поэтому множество RF (y()) является относительно компактным подмножеством в пространстве C(T, H)-L2(T, H). В силу того, что SG метризуемый компакт в -L2(T, H), в соответствии с (4.3) остается доказать секвенциальную замкнутость множества RF (y()). Пусть последовательность (x(y(), fn), fn) RF (y()) сходится в C(T, H) -L2(T, H) к (x, f). Тогда согласно теореме 3.x = L (, y(), f) = x(y(), f). (4.4) Поскольку fn(t) F (t, x(y(n), fn)(t)), t T, (4.5) из теоремы Мазура и гипотезы H(F )(2) и (4.5) следует, что f(t) co fk(t) F (t, x(y(), f)(t)) п. в. (4.6) n=1 k=n Тогда согласно (4.4), (4.6) пара (x(y(), f), f) является элементом множества RF (y()). Теорема доказана.

896 А. А. Толстоногов Теорема 4.2. Пусть выполняется предположение H(F ). Тогда для любого RF (y()) = Rext F (y()), (4.7) где черта сверху означает замыкание в пространстве C(T, H) -L2(T, H).

Доказательство. Пусть (x(y(), f), f) RF (y()). Обозначим через SF (x) множество SF (x) = {f M (H); f(t) F (t, x(t)) п. в.}, x RG().

Из (3.16) и утверждения 4.2 в [7] следует, что SF является отображением из RG() в cb L2(T, H), непрерывным в метрике Хаусдорфа на cb L2(T, H). Возьмем n 1. Для каждого x RG() согласно неравенству (2.14) существует элемент u SF (x) такой, что 1 f(t) - u(t) < + d(f(t), F (t, x(t)) + k(t) x(y(), f)(t) - x(t).

2n 2n Поэтому из утверждения 2.3 и теоремы 3.1 из [8] следует существование непрерывной функции vn : RG() L1(T, H) такой, что vn(x)(t) F (t, x(t)), (4.8) f(t) - vn(x)(t) 1/n + k(t) x(y(), f)(t) - x(t). (4.9) Согласно (4.8) и (3.16) семейство функций {vn(x); x RG()} равномерно интегрируемо со второй степенью. Воспользовавшись утверждением 2.4 из [7], получаем, что функция vn(x) является непрерывной из RG() в L2(T, H).

Тогда в соответствии с теоремой 0.2 в [9] существует непрерывная функция gn : RG() L2(T, H) такая, что gn(x)(t) ext F (t, x(t)) п. в. (4.10) и gn(x) - vn(x) 1/n, (4.11) где · норма (2.1).

Рассмотрим отображение gn(L (, y(), f)) из SG в L2(T, H). Как и при доказательстве теоремы 4.1, получаем, что отображение gn(L (, y(), f) непрерывно из -SG в -SG. Пусть fn неподвижная точка этого отображения, т. е.

fn = gn(L (, y(), fn)).

Положим x(y(), fn) = L (, y(), fn). Тогда ввиду (4.10) пара (x(y(), fn), fn) является элементом множества Rext F (y()). Воспользовавшись монотонностью оператора t, получим x(y(), fn)(t) - x(y(), f)(t) t x(y(), fn)(s) - x(y(), f)(s), f(s) - fn(s) ds. (4.12) Аппроксимация множеств достижимости Оценим правую часть неравенства (4.12) следующим образом:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.