WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Сибирский математический журнал Июль август, 2003. Том 44, № 4 УДК 517.988 АППРОКСИМАЦИЯ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ ЭВОЛЮЦИОННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА А. А. Толстоногов Аннотация: В сепарабельном гильбертовом пространстве рассматривается эволюционное включение с многозначным возмущением и с эволюционными операторами, являющимися субдифференциалами зависящей от времени собственной выпуклой полунепрерывной снизу функции. Наряду с исходным включением рассматривается последовательность аппроксимирующих эволюционных включений с тем же возмущением и с эволюционными операторами, которые являются субдифференциалами регуляризаций Моро Иосиды исходной функции. Показано, что множество достижимости исходного включения, рассматриваемое как многозначная функция времени, является равномерным по времени пределом в метрике Хаусдорфа последовательности множеств достижимости аппроксимирующих включений. В качестве приложения рассмотрен пример управляемой системы с разрывной нелинейностью.

Ключевые слова: субдифференциал, регуляризация Моро Иосиды, непрерывные селектор, крайняя точка, множество достижимости, разрывная нелинейность § 1. Постановка задачи Пусть T = [0, 1] отрезок числовой прямой R с мерой Лебега µ и с алгеброй µ-измеримых множеств. Рассмотрим сепарабельное гильбертово пространство H с нормой · и со скалярным произведением ·, ·. Функция : H R = R {+} называется собственной, если она не равна тождественно +, т. е. если ее эффективная область dom = {x H; (x) < +} непуста. Множество всех функций : H R, которые являются собственными, выпуклыми и полунепрерывными снизу, будем обозначать через 0(H).

Субдифференциалом (x) функции 0(H) в точке x H называется множество (x) = {v H; v, y - x (y) - (x) y H}.

Известно [1], что (x) является максимально монотонным оператором, dom = {x H; (x) = } dom и dom() = dom, где черта означает замы кание в H.

Для каждого > 0 регуляризацией Моро Иосиды функции 0(H) называется функция (x) = inf{(y) + (1/2) y - x 2; y H}.

Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (грант 2000–0015), РФФИ–ГФЕН Китая (грант 02–01–39006) и Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03–01–00203).

© 2003 Толстоногов А. А.

884 А. А. Толстоногов Функция конечная, непрерывная и выпуклая, однозначная функция с dom = H для каждого > 0. Пусть t 0(H), t T, и y : [0, 1] dom непрерывная функция.

Рассмотрим эволюционное включение -(t) t(x(t)) + F (t, x(t)), x(0) = y(0) dom 0, (1.1) где F : T H H многозначное отображение с выпуклыми компактными значениями. Обычно функцию F (t, x) называют многозначным возмущением.

Наряду с включением (1.1) рассмотрим включение -(t) t (x(t)) + F (t, x(t)), x(0) = y() dom 0, (0, 1]. (1.2) Под решением включения (1.1) понимается пара (x(·), f(·)), где x : T H, x(0) = y(0), абсолютно непрерывная функция, f(·) L2(T, H), x(t) dom t почти всюду и имеют место включения -(t) t(x(t)) + f(t) п. в., (1.3) f(t) F (t, x(t)) п. в. (1.4) Под решением включения (1.2) при (0, 1] понимается пара (x(·), f(·)), где x : T H, x(0) = y(), абсолютно непрерывная функция, f(·) L2(T, H) и -(t) = t (x(t)) + f(·) п. в., (1.5) f(t) F (t, x(t)) п. в. (1.6) Множества всех решений включений (1.1) и (1.2) будем обозначать через RF (y(0)) и RF (y()) соответственно. Если (x(·), f(·)) RF (y(0)), то функция x(·), x(0) = y(0), называется траекторией включения (1.1). Аналогично определяется траектория включения (1.2). Множество траекторий включений (1.1) и (1.2) будем обозначать через T rF (y(0)) и T rF (y()) соответственно.

Множеством достижимости включения (1.1) из точки y(0) в момент времени t T называется множество AF (y(0))(t) = {x(t); x(·) T rF (y(0))}, t T.

Аналогично определяется множество достижимости включения (1.2):

AF (y()) = {x(t); x(·) T rF (y())}, t T, (0, 1].

Тем самым будут определены многозначные отображения t AF (y(0))(t), t AF (y())(t), (0, 1].

Пусть ext F (t, x) совокупность всех крайних точек множества F (t, x). Из теоремы Крейна Мильмана следует, что ext F (t, x) = и ext F (t, x) F (t, x).

Наряду с включениями (1.1), (1.2) будем рассматривать включения -(t) t(x(t)) + ext F (t, x(t)) п. в., x(0) = y(0) dom 0, (1.7) -(t) t (x(t)) + ext F (t, x(t)) п. в., x(0) = y() dom 0, (0, 1].

(1.8) Применительно к включениям (1.7), (1.8) мы будем использовать обозначения Rext F (y(0)), T rext F (y(0)), Aext F (y(0)) и Rext F (y()), T rext F (y()), Aext F (y()), (0, 1].

Аппроксимация множеств достижимости Нас будут интересовать взаимосвязи между множествами Rext F (y(0)) и RF (y(0)), Rext F (y()) и RF (y()) и сходимость множеств T rF (y()) к T rF (y(0)) при 0. Как следствие будут получены взаимосвязи между множествами траектории и множествами достижимости. При естественных предположениях мы доказываем, что при AF (y())(t) AF (y(0))(t) равномерно по t T (1.9) в метрике Хаусдорфа.

Необходимость изучения вопросов, затрагиваемых в работе, обусловлена прежде всего тем, что широкий класс управляемых систем с разрывными нелинейностями может быть записан в абстрактной форме в виде включения (1.1).

Для таких систем актуальной является численная оценка множеств достижимости. Однако с точки зрения вычислительных процедур исследование систем с разрывными нелинейностями встречает принципиальные трудности. С другой стороны, используя подходящие однозначные аппроксимации для разрывных нелинейностей, мы можем построить аппроксимирующую последовательность управляемых систем, которые в абстрактной форме могут быть записаны в виде включения (1.2). Численная оценка множеств достижимости для аппроксимирующих систем уже не встречает принципиальных трудностей и может быть произведена с помощью хорошо разработанных методов и подходов. Зная оценки множеств достижимости аппроксимирующих систем и используя (1.9), мы можем дать гарантированные оценки множеств достижимости исходной управляемой системы с разрывными нелинейностями.

§ 2. Основные обозначения, определения и предварительные сведения Пусть X сепарабельное банахово пространство с нормой ·. Всюду в дальнейшем мы используем следующие обозначения: cb X семейство всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств из X, comp X совокупность всех компактных подмножеств из X, conv X совокупность всех выпуклых компактных подмножеств из X. Для множества A X через co A обозначается выпуклая оболочка A, а через co A замкнутая выпуклая оболочка A.

На множестве cb X определим метрику Хаусдорфа D(A, B) = max{sup inf a - b, sup inf a - b }, bB aA aA bB A, B cb X. Всюду в дальнейшем мы считаем, что пространства cb X, comp X и conv X наделены метрикой Хаусдорфа.

Отображение F : X cb X называется полунепрерывным снизу по Вьето-рису, если для любого открытого множества U X множество F (U) = {x X; F (x) U = } открыто.

Отображение F : X cb X называется полунепрерывным сверху по Вье-торису, если для любого замкнутого множества V X множество F (V ) замкнуто.

Отображение F : X cb X называется непрерывным по Вьеторису, если оно одновременно полунепрерывно снизу и сверху по Вьеторису.

Отображение F : X cb X называется непрерывным по Хаусдорфу, если оно непрерывно в метрике Хаусдорфа на пространстве cb X. Хорошо известно, что для отображения F : X comp X понятия непрерывности по Вьеторису и Хаусдорфу совпадают.

886 А. А. Толстоногов Для пространства X символ -X означает, что X наделено слабой (X, X) топологией [2]. Такое же обозначение мы используем и для подмножеств из X. Во всех остальных случаях считаем, что X и его подмножества наделены сильной (нормированной) топологией.

Через C(T, X) (C(T, -X)) мы обозначаем пространство всех непрерывных отображений из T в X (из T в -X) с топологией равномерной сходимости на T. Под M (X) мы понимаем совокупность всех измеримых функций из T в X.

Многозначное отображение F : T cb X называется измеримым, если -F (V ) = {t T ; F (t) V = } для любого замкнутого множества V X.

Множество K L2(T, X) называется равномерно интегрируемым с квадратом, если для любого > 0 существует () > 0 такое, что f(t) 2dt < E для любого E с µ(E) < и для любого f(·) K.

На пространстве L2(T, H) наряду со стандартной нормой рассмотрим другую норму:

t f(·) = sup f(t) dt. (2.1) 0tt t Пространство L2(T, H) с нормой (2.1) будем обозначать через L2 (T, H).

В дальнейшем нам понадобится простой факт, касающийся этой нормы.

Лемма 2.1. Если последовательность fn(·) L2(T, H), n 1, ограничена в L2(T, H) и сходится к f(·) в L2 (T, H), то fn(·) сходится к f(·) в -L2(T, H).

Пусть 0(H). Поскольку является максимально монотонным оператором, для любого (0, 1] будет определен однозначный оператор J = (I + )-1, где I тождественный оператор на H. Оператор J называется резольвентой. Положим () = (I - J).

Следующие факты хорошо известны [1, 3].

1. Функция (x), (0, 1], дифференцируема по Фреше, и ее производная по Фреше равна ; функция является липшицевой с константой Липшица, равной 1/ и = ().

2. Для любых (0, 1] выполнено неравенство (x) (x), x H. (2.2) Рассмотрим семейство функций t 0(H), t T. Всюду в дальнейшем считаем, что для этого семейства выполняется гипотеза H() [3]: для каждого r 0 существуют абсолютно непрерывные функции ar, br : T R+ такие, что (·) L2(T, R) и для любых s, t T, s t, и любого x dom s с x r найдется элемент y dom t, удовлетворяющий неравенствам x - y |ar(t) - ar(s)| · (|s(x)|1/2 + 1), t(y) - s(x) |br(t) - br(s)| · (|s(x)| + 1).

Аппроксимация множеств достижимости Лемма 2.2. Пусть выполняется гипотеза H(). Тогда существует константа K1 > 0 такая, что а) выполнены неравенства t (x) -K1( x + 1), t T, (0, 1], x H; (2.3) б) выполнены неравенства t J(x) x + K1, t T, (0, 1], x H; (2.4) в) функции t t (x), t t (x) измеримы.

Утверждения леммы хорошо известны. Их доказательства можно найти, например, в [3].

Рассмотрим включение -(t) t(x(t)) + f(t) (2.5) и уравнение -(t) = t (x(t)) + f(t), (0, 1]. (2.6) Пусть f(·) L2(T, H) и x0 dom 0. Сильным решением включения (2.5) называется абсолютно непрерывная функция x : T H, x(0) = x0, такая, что x(t) dom t п. в., которая удовлетворяет включению (2.5) п. в. Аналогично определяется решение уравнения (2.6). Подытоживая результаты § 1.3, 1.4 из работы [3], мы можем сформулировать следующее утверждение.

Теорема 2.1. Пусть выполняется гипотеза H(). Тогда для любых xdom 0, f(·) L2(T, H) включение (2.5) и уравнение (2.6) имеют единственные сильные решения x(·), x(·), x(0) = x(0) = x0, такие, что (·), (·) L2(T, H) и существует константа N > 0, зависящая только от x0 и f(·), при которой имеют место неравенства x(·) C(T,H) N, x(·) C(T,H) N, (0, 1], (2.7) (·) L2 N, (·) L2 N, (0, 1], (2.8) (T,H) (T,H) |t(x(t))| N, |t (x(t))| N, t T, (0, 1]. (2.9) При x(·) x(·) в C(T, H), (2.10) (·) (·) в L2(T, H), (2.11) lim t (x(t)) = t(x(t)) п. в. (2.12) Введем следующие допущения относительно отображения F : T H conv H.

Предположение H(F ). Отображение F (t, x) таково, что (1) отображение t F (t, x) измеримо для каждого x H;

(2) отображение x F (t, x) непрерывно при почти каждом t, и для каждого ограниченного множества B H множество F (t, B) относительно компактно;

(3) для почти всех t T F (t, x) = sup{ v ; v F (t, x)} a(t) + b(t) x, x H, a(·), b(·) L2(T, R+);

(2.13) (4) выполнено неравенство D(F (t, x), F (t, y)) k(t) x - y (2.14) при почти всех t T и k(·) L2(T, R+).

Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, мы считаем, что имеют место гипотезы H(F )(1)–(3).

888 А. А. Толстоногов § 3. Априорные оценки Пусть L : [0, 1] dom 0 L2(T, H) C(T, H) оператор, который каждому (0, 1], x0 dom 0, f L2(T, H) ставит в соответствие единственное сильное решение x(x0, f), x(x0, f)(0) = x0 уравнения (2.6), а при = единственное сильное решение x(x0, f), x(x0, f)(0) = x0 включения (2.5).

Лемма 3.1. Для любых [0, 1], x0, x1 dom 0, f1(·), f2(·) L2(T, H) имеет место неравенство t L (, x0, f0)(t)-L (, x1, f1)(t) x0-x1 + f0(s)-f1(s) ds, t T ; (3.1) оператор L (, x, f) является непрерывным из [0, 1]dom 0L2(T, H) в C2(T, H) в любой точке (0, x0, f0), x0 dom 0, f0 L2(T, H).

Доказательство. Пусть = 0. Используя определение сильного решения включения (2.5) и монотонность оператора t, получим (x1, f1)(t) - (x0, f0)(t), x(x1, f1)(t) - x(x0, f0)(t) f0(t) - f1(t), x(x1, f1)(t) - x(x0, f0)(t). (3.2) Из этого неравенства вытекает 1 x(x1, f1)(t) - x(x0, f0)(t) 2 x0 - x1 2 t + f0(s) - f1(s) · x(x1, f1)(s) - x(x0, f0)(s) ds. (3.3) Воспользовавшись неравенством (3.3) и леммой A5 в [1, с. 157], получим t x(x1, f1)(t) - x(x0, f0)(t) x0 - x1 + f0(s) - f1(s) ds.

Тем самым неравенство (3.1) при = 0 доказано. При = 0 неравенство (3.1) доказывается аналогично с использованием монотонности оператора t.

Пусть x0 dom 0, f0 L2(T, H), последовательность n (0, 1], n 1, сходится к 0, последовательность xn dom 0, n 1, сходится к x0 и последовательность fn L2(T, H), n 1, сходится к f0 в L2(T, H). Тогда L (n, xn, fn) - L (0, x0, f0) C(T,H) L (n, xn, fn) - L (n, x0, f0) C(T,H) + L (n, x0, f0) - L (0, x0, f0) C(T,H).

Из этого неравенства, (3.1) и теоремы 2.1 вытекает, что lim L (n, xn, fn) - L (0, x0, f0) C(T,H) = 0.

nЛемма доказана.

Пусть M1 > 0, y0 dom 0 и 0(y0) M1. Возьмем произвольную последовательность yn, n 1, dom 0(yn) M1, сходящуюся к y0, и последовательность Аппроксимация множеств достижимости n (0, 1], n 1, сходящуюся к 0. Положим = {n}, n 0, 0 = 0, и определим функцию y : dom 0, полагая y(n) = yn, n 0. Тогда y() является непрерывной функцией на компактном множестве и 0(y()) M1,. (3.4) Для единообразия обозначений функции t будем приписывать индекс = 0, т. е. t = t. В этих обозначениях включение (1.1) будет записываться как включение (1.2) при = 0, а уравнение (2.6) при = 0 будет рассматриваться как включение (2.5). В этих обозначениях множество RF (y()) при = 0 пере ходит в множество RF (y(0)). Если (x(·), f(·)) RF (y()),, то функция x(·), x(0) = y(), при = 0 является сильным решением включения (2.5), а при = 0 решением уравнения (2.6). Чтобы не вводить новых обозначений, будем обозначать траектории включений (1.1), (1.2) и решения включения (2.5) и уравнения (2.6) через x(y(), f),, подчеркивая зависимость траекторий от y() и f.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.