WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

Доказательство. Для тождественного отображения f0(z) z, z Bn, n+имеем ord f0 = и Jf (z) 1. По п. (б) теоремы А отсюда следует, что Линейно-инвариантные семейства n+1 n+= ord f0 = ord f для любого f F. Значит, ord [F ] =. Теорема 2 доказана.

Замечание. Аналогично можно доказать более общее утверждение: если для любого фиксированного a Bn обозначить Fa = {f L Sn : |Jf (z)| = n+1/|1 - z, a |n+1}, то ord [Fa] =.

Это замечание расширяет представление о множестве отображений, имеющих наименьший порядок (n + 1)/2. Теорема 5 из [4] получается из нашего замечания при a = 0.

Доказательство замечания. Поскольку отображение f0(z) z принадлежит множеству F (обозначения из предыдущей теоремы), то для любого n автоморфизма = Una A, a Bn, a определяется формулой (4), отобn+ражение fa = [f0] имеет порядок ord fa = ord f0 =, причем J (z) a |Jf (z)| = =.

a J (0) |1 - z, a |n+a Отсюда и из п. (б) теоремы А следует, что все отображения из Fa имеют порядок (n + 1)/2. Это доказывает наше замечание.

§ 3. Универсальные л.-и.с.

В связи с теоремой 1 естественно возникает вопрос: если в этой теореме M(n+1) составить из всех отображений порядка (т. е. взять M(n+1) = U(n+ 1)), то получим ли мы в качестве [U(n+1)] все семейство U n+1 (n) или только n+часть этого универсального л.-и.с. Ответ на этот вопрос дает следующая Теорема 7. [U(n + 1)] = U n+1 (n).

n+Доказательство. Обозначим n+n+M(n) = [U(n + 1)] = f L Sn : |Jf (z)| = |JF (z, 0)|, F U(n + 1), n+z Bn. По теореме 1 M(n) л.-и.с. порядка, следовательно, M(n) n+U n+1 (n). Предположим, что существует такое f U n+1 (n), что f M(n).

/ n+2 n+Рассмотрим семейство n+n+Fn+1 = {F L Sn+1 : |JF (z1, 0)| = |Jf (z1, 0 )|, f U n+1 (n)}, 0 Cn-1.

n+По теореме n + ord [Fn+1] = ord U n+1 (n) =.

n+n + Рассмотрим также подсемейство семейства Fn+1:

n+ n+Fn+1 = {F L Sn+1 : |JF (z, 0)| = |Jf (z)|, f U n+1 (n)}, z Bn.

n+ Очевидно, [Fn+1] [Fn+1]. Поэтому ord [Fn+1], причем существует такое F Fn+1 U(n + 1), что |JF (z, 0)| = |Jf (z)|(n+2)/(n+1). Следователь но, по определению M(n) отображение f принадлежит M(n). Противоречие доказывает теорему 7.

Последовательно применяя n - 1 раз теорему 7, получим (в обозначениях § 2) 864 П. Личберский, В. В. Старков Следствие 3. [U(n)] = U 2 (1).

2,3,...,n n+Теперь мы дадим простое доказательство теоремы искажения в U(n), основанное на применении нашего метода понижения размерности.

Доказательство теоремы искажения. Докажем правую часть неравенства (2), левая доказывается аналогично. Предположим противное: пусть существуют f U(n) и z Bn, для которых n+(1 + z )- |Jf (z)| >.

n+(1 - z )+ Подберем такую унитарную матрицу Un, что (Un)-1z = (z1, 0 ), z1 C, z = |z1|, и рассмотрим автоморфизм (z) = Unz. Обозначим G(z) = [f](z) = (Un)-1(Df(0))-1f(Unz) = (Un)-1f(Unz).

Из линейной инвариантности U(n) вытекает, что G U(n). Поскольку DG(z) = (Un)-1Df(Unz)Un, имеем JG(z) Jf (Unz), следовательно, n+(1 + |z1|)- |JG(z1, 0 )| = |Jf (z)| >.

n+(1 - |z1|)+ По следствию U 2 (1) = {p(z1) L S1 : |p (z1)|(n+1/2 = |Jf (z1, 0 )|, f U(n)}.

n+Поэтому существует такая функция g U 2 (1), что n+n+(1 + |z1|)- |g (z1)|(n+1)/2 = |JG(z1, 0 )| >, n+(1 - |z1|)+ т. е.

-n+(1 + |z1|) |g (z1)| >.

+n+(1 - |z1|) Это противоречит известной (см. [1]) теореме искажения для функций из U(1).

Противоречие доказывает теорему искажения.

В следующей теореме дадим обобщение одного известного свойства (см. [1]) универсальных л.-и.с. функций из L S1 на многомерный случай.

Теорема 8. Если f0, f1 U(m) и [0, 1], то любое отображение f L Sm, определяемое формулой |Jf (z)| = |Jf (z)||Jf (z)|1-, также принадле 1 жит U(m).

Доказательство. Достаточно доказать, что ord f. Для любых m A и [0, 1] обозначим g = [f](z), z Bm. Из неравенства (2) следует, что m+1 m+(1 + z )- (1 + z )- |Jg (z)|, |Jg (z)|.

0 m+1 1 m+2 (1 - z )+ (1 - z )+ Значит, 1 Jf ((z))J(z) Jf ((z))J(z) Jf ((z))J(z) 1 |Jg (z)| = = Jf ((0))J(0) Jf ((0))J(0) Jf ((0))J(0) 1 m+(1 + z )- = |Jg (z)||Jg (z)|1-, z Bn.

1 0 m+(1 - z )+ Линейно-инвариантные семейства Теперь отсюда и из п. (а) теоремы А получаем требуемое неравенство: ord f, таким образом, f U(m).

Было бы интересно и важно для приложений получить двустороннюю оценку Df(z), аналогичную неравенству (2). Этому вопросу посвящена следующая Теорема 9. Для любого отображения f U(n) и любого z Bn справедливо точное неравенство n+n 2n (1 - z ) Df(z) ; (15) n++ n 2n (1 + z ) для любого z Bn, z = 0, величина Df(z) не ограничена в U(n).

Доказательство. 1. Поскольку для любой неособенной матрицы A (см. [10]) | det A| A n-1 min A, то | det A| A n. Отсюда и из нера =венства (2) получаем, что для любого f U(n) n+(1 - z )- |Jf (z)| Df(z) n z Bn.

n+(1 + z )+ Покажем, что неравенство (15) точное. Рассмотрим отображение z n+n 2n (1 + z1) F (z) = (s) ds, z2(z1),..., zn(z1) L Sn, (z1) =, n++ n 2n (1 - z1) JF (z) = JK (z) = n(z1). Тогда по п. (б) теоремы А ord F = ord K, сле довательно, F U(n). Заметим, что DF (z1, 0,..., 0) = (z1)I, поэтому для = (1,..., n) Bn n DF (z1, 0,..., 0) 2 = |(z1)|2 |k|2 = |(z1)|2.

k=Значит, n+ n 2n (1 + z1) DF (z1, 0,..., 0) = |(z1)| = n+ + n 2n (1 - z1) и равенство в (15) достигается для рассмотренного отображения F при z = (-r, 0,..., 0), r = z.

2. Пусть n 2. При L > 0 рассмотрим отображение z L -L 1 + s 1 + z FL(z) = JK (s) ds, z2, z3, z4,..., zn;

1 - s 1 - z L 1+zJK (z1) 0 0... 1-z -L -2Lz2 (1-z1)L-1 1+z1 0... (1+z1)L+1 1-z 0 0 1... DFL(z) =.

.......

.......

0 0 0... 866 П. Личберский, В. В. Старков Поэтому FL(z) L Sn и JF (z) = JK (z). Снова по п. (б) теоремы А получаем, L что для любого положительного L будет ord FL = ord K =, т. е. FL U(n).

При = (1,..., n) Bn DFL(z1, 0,..., 0) L L 2 1JK 1 + z1 2 1 - z= (z1) + + |3|2 + · · · + |n|2.

1 - z1 1 + zПоэтому L 1 + z DFl(z1, 0,..., 0) |JK (z1)| 1 - zи lim DFL(|z1|, 0,..., 0) = при z1 = |z1| > 0. Таким образом, DFL(z) не L ограничены при любом фиксированном z = (r, 0,..., 0), r (0, 1). Из инвариантности U(n) относительно преобразования вращения с унитарной матрицей Un: f - (Un)-1f(Unz) следует неограниченность Df(z) в U(n) при любом фиксированном z Bn.

Теорема доказана.

В случае n = 1 семейство U(1) непусто только при 1, причем U1(1) = n+K класс выпуклых функций (см. [1]). Известно [11], что ord Kn > при n 2 (Kn класс выпуклых отображений). В связи с этим интересно Следствие 4. Существуют невыпуклые отображения из U n+1 (n).

Действительно, если Kn U n+1 (n), то для всех f Un+1 (n) выполняется 2 известное в Kn неравенство (см. [12, теорема 3.3.12]) Df(z), (1 - z )а это противоречит теореме 9.

В качестве иллюстрации работы метода понижения размерности докажем еще одно утверждение о множестве Кебе в U(n), т. е. о множестве B = {F (Bn) : F U(n)}.

Из инвариантности множества U(n) относительно преобразования вращения (Un)-1F (Unz) (Un унитарная матрица) следует, что B шар с центром в нуле.

n+Теорема 10. B шар радиуса r(n, ) =.

Доказательство. По сформулированному выше следствию 5.2 из [2] отоб ражения F (z) = (f(z1), z2 f (z1),..., zn f (z1)) принадлежат U(n), если f U 2 (1). Поскольку проекция шара B на плоскость (w1, 0,..., 0), w1 C, n+круг радиуса r(n, ), то этот круг содержится в каждой из областей f(B), f U 2 (1). Но для функций f U(1) известно (см. [1]) множество Кеn+ бе {f(B) : f U(1)}, это круг радиуса. Следовательно, 1 n + r(n, ) =.

2 n+С другой стороны, пример приведенного выше отображения K U(n) показывает, что n + lim K(-r, 0, 0,..., 0) =, r1n+т. е. r(n, ). Это доказывает теорему 10.

Линейно-инвариантные семейства ЛИТЕРАТУРА 1. Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen. I // Math. Ann. 1964.

.

V. 155. P. 108–154.

2. Pfaltzgraff J. A. Distortion of locally biholomorphic maps of the n-ball // Complex Variables.

1997. V. 33. P. 239–253.

3. Barnard R. V., FitzGerald C. H., Gong S. A distortion theorem for biholomorphic mappings in C2 // Trans. Amer. Math. Soc. 1994. V. 344. P. 907–924.

.

4. Pfaltzgraff J. A., Suffridge T. J. An extension theorem and linear invariant families generated by starlike maps // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect. A. 1999. V. 53. P. 193–203.

.

5. Годуля Я., Личберски П., Старков В. В. Линейно-инвариантные отображения шара в Cn // Тр. Петрозаводского ун-та (Математика). 1999. Вып. 6. С. 3–14.

6. Godula J., Liczberski P., Starkov V. V. Order of linearly invariant family of mappings in Cn // Complex Variables. 2000. V. 42. P. 89–96.

7. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Cn. М.: Мир, 1984.

8. Robertson M. S. On the theory of univalent functions // Ann. Math. 1936. V. 37. P. 371–408.

.

9. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

10. Xiangyang Liu. Bloch functions of several complex variables // Pacific J. Math. 1992. V. 152,.

N 2. P. 347–363.

11. Pfaltzgraff J. A., Suffridge T. J. Linear invariance, order and convex maps in Cn // Complex Variables. 1999. V. 40. P. 35–50.

12. Liczberski P. Geometric properties of some classes of holomorphic mappings in Cn // Sci.

Bull. of Lodz Technical Univ. 1999. V. 826. P. 1–22.

.

Статья поступила 14 марта 2000 г.

Liczberski Piotr Institute of Mathematics, Technical University ofLd, 90-924Ld, Poland;

piliczb@ck-sg.p.lodz.pl Старков Виктор Васильевич Петрозаводский гос. университет, математический факультет, Ленина, 33, Петрозаводск starkov@mainpgu.karelia.ru

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.