WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

n+Доказательство. Из определения л.-и.с. следует, что M(n + 1) = {G = n+[F ] : F M(n + 1)} для любого автоморфизма A. Положим A = (0, c) Bn+1 и (Z) = --A(Z), Z Bn+1. Тогда (z, 0) = (z, 0)s + A, |J (z, 0)| = |J (0)|, z Bn, s = 1 - |c|2.

-A -A 856 П. Личберский, В. В. Старков Поэтому для G = (F ) получим JF ((z, 0))J(z, 0) JF ((z, 0)) JF (sz, c).

|JG(z, 0)| = = = JF ((0))J(0) JF ((0)) JF (0, c) Следовательно, Jc[M(n + 1)] = J[M(n + 1)], [M(n + 1)]c = [M(n + 1)]. Теперь утверждение теоремы 4 непосредственно вытекает из теоремы 1.

Существенным дополнением метода понижения размерности являются теоремы 5 и 6 из § 2 и теорема 7 из § 3.

§ 2. Доказательство некоторых утверждений из [2, 4] В этом параграфе мы докажем ряд утверждений, ранее опубликованных в работах [2, 4], но (см. введение) снабженных неверными доказательствами.

Теорема 5.1 (искажения) [2] является, на наш взгляд, важнейшим результатом в [2], суть которого доказательство неравенства (2). Это доказательство в [2] использует неверное равенство (5.3) из [2] (см. введение). В доказательстве самого неравенства (2) можно легко обойти использование (5.3): надо, воспользовавшись определением 2 порядка семейства, при интегрировании равенства, предшествующего (5.3), оценить интеграл в правой части. После интегрирования сразу же получим неравенство (5.4) из [2], а из него нужное неравенство (2). Таким образом, можно сказать, что использование в доказательстве теоремы 5.1 равенства (5.3) несущественно. Однако в § 3 мы дадим простое доказательство теоремы 5.1, опирающееся на метод понижения размерности.

Иначе дело обстоит с доказательством точности неравенства (2). Точность неравенства (2) следует из того, что (2) обращается в равенство при f(z) = K(z) (K(z) из введения), и того, что ord K =. Последнее же равенство вытекает [2] из следствия 5.2.

Следствие 5.2 [2]. Пусть M(1) л.-и.с. функций порядка. Обозначим (M(1))n = {F (z) = (p(z1), z2 p (z1),..., zn p (z1) : p M(1)} L Sn.

Тогда ord [(M(1))n] = (n + 1)/2.

Доказательство же следствия 5.2 в [2] существенно опирается на равенство (5.3). Ниже мы приводим теорему 5, более общую, чем следствие 5.2, и доказываем ее, применяя метод понижения размерности (естественно, без использования (5.3)).

Пусть M(1) произвольное л.-и.с. порядка. Обозначим через 0 нуль n+в Cn-1 и {M(1)}n = f L Sn : |Jf (z1, 0 )| = |p (z1)|, p M(1), z1 B.

Семейство {M(1)}n непусто. Действительно, если P (z) = (p(z1), z2 p (z1),..., zn p (z1)), p M(1), z = (z1,..., zn) Bn, то P {M(1)}n. Так как для отображения F (M(1))n якобиан JF (z) равен (p (z1))(n+1)/2, то {M(1)}n (M(1))n.

Обозначим через Fn линейно-инвариантную оболочку множества {M(1)}n.

n+Теорема 5. ord Fn =.

Доказательство. Поскольку ord M(1) =, для любого > 0 существует такая функция p = p M(1), что ord p -. Возьмем соответствующее n+отображение f {M(1)}n такое, что |Jf (z1, 0 )| = |p (z1)|. Тогда в обозначениях § 1 p [Fn], следовательно, - ord[Fn]. Если мы обозначим 2,...,n 2,...,n Линейно-инвариантные семейства 2 n+1 = ord Fn, то по следствию 1 ord[Fn] = 1 n+1. Поэтому 1 ( - ).

2,...,n n+Отсюда в силу произвольности получаем 1. Осталось показать, что n+1.

Если f L Sn и F = [f], то Jf ((z1, 0,..., 0))J(z1, 0,..., 0), A n z1 B. (8) |JF (z1, 0,..., 0)| =, Jf ((0))J(0) Так как автоморфизм можно записать в виде = Una, где Un унитарная матрица n-го порядка с первым столбцом u = (u1,..., un), u = 1, a определяется по формуле (4), a = (a,..., a ) Bn, то 1 n J(z1, 0,..., 0) J (z1, 0,..., 0) a = =. (9) n+ J(0) J (0) 1 - z1a a Поскольку для произвольных a, z Bn и любой унитарной матрицы Un выполняется равенство Unz, Una = z, a, то (см. формулу (4)) (z1, 0,..., 0) = A(z1u), где A = Una = (a1,..., an), A = a и первая координата вектора A - sz1u + (s - 1)Az1 u,A A A(z1u) =, s = 1 - a 2 = 1 - A 2, 1 - z1 u, A имеет вид a1 - sz1u1 + (s - 1)a1z1 u,A A (A)1(z1u) =, 1 - Un(z1, 0,..., 0), Una обозначим ее через 1(z1). Далее, обозначим r = su1 + (1 - s)a1 u,A B. Тогда A a1 - z1r 1(z1) =, z1 B. (10) 1 - z1a Заметим, что |1(z1)| < 1 при z1 B, 1(0) = a1.

Пусть теперь F Fn. Тогда существуют такие отображение f {M(1)}n n L Sn и автоморфизм A, что F = [f]. Из определения семейства {M(1)}n, с учетом (8) и (9) получаем Jf ((z1, 0,..., 0)) |JF (z1, 0,..., 0)| = 1 - z1a|n+Jf ((0)) n+1 n+ 2 p (1(z1)) 1 p (1(z1)) = = 2, n+ p (1(0)) p (a1) 1 - z1a |1 - z1a|где p M(1). Если r = a1a, то функция 1(z1) однолистна и, обозначив p(1(z1)) - p(a1) Ha(z1) =, z1 B, (11) p (a1) a1a - r получим n+ |JF (z1, 0,..., 0)| = |Ha(z1)|, z1 B.

Если r = a1a, то последнее равенство для якобиана справедливо с выпуклой функцией Ha(z1) = - log 1 - z1a /a. Следовательно, множество всех таких 1 выпуклых функций Ha и функций, определенных формулой (11), содержит л.и.с. [Fn]. Покажем, что ord Ha для любой такой функции Ha. Тогда 2,...,n n+ord[Fn] и 1.

2,...,n 858 П. Личберский, В. В. Старков В случае, когда Ha(z1) = - log 1 - z1a /a, верно равенство ord Ha = 1, 1 так как порядок любой выпуклой функции равен 1 (см. [1]). Для r = a1a обозначим + a() =, B;

1 + az1C(z1) = -1(1(z1)) = = C1z1 - C1C2z1 +..., z1 B;

1 + z1Cздесь a1a - r a1a - r 1 (0) 1 C1 = = (0), C2 = =, 1 - |a1|2 1 - |a1|2 2 (0) 1 определено в (10). Если p() M(1), B, то g() = [p]() также принадлежит M(1). Поскольку |(z1)| 1 для всех z1 B, все коэффициенты этой функции по модулю не превосходят 1, в частности, |C1| 1 и |C2| 1. Положим z1 = eit и подберем t [0, 2) так, чтобы eitC2 = -|C2|; тогда |C1| 1. Следовательно, |C2| 1 - |C1|. С другой стороны, из определения |1-|C2|| функций g, и Ha получим g((z1)) g ((z1)) (z1) Ha(z1) =, Ha(z1) =, z1 B, (0) (0) 1 1 (0) Ha (0) = + g (0) (0).

2 2 (0) Поскольку g M(1), то ord g и |g (0)|. Следовательно, Ha (0) |C2| + |C1| 1|g (0)| 1 - |C1| + |C1| = 1 + |C1|( - 1), 2 |h (0)| поэтому ord[Fn] = sup и теорема 5 доказана.

2,...,n h[Fn] 2,...,n Теперь следствие 5.2 из [2] получается как частный случай теоремы 5.

Следствие 2. ord K =.

Последний факт доказывает точность неравенства (2).

Заметим, что кроме K существует много других экстремальных для неравенства (2) отображений. Действительно, пусть n > 1, и пусть фиксировано {1,..., n}. Далее, пусть, например, z z1h1(z),..., z-1h-1(z), h(s) ds, z+1h+1(z),..., znhn(z), R(z) = где hj(z), hj(0) = 1, j = 1,..., n, произвольные голоморфные в B функции, удовлетворяющие условию n (1 + z)-(n+1)/hj(z) =.

(1 - z)+(n+1)/j=Тогда n JR (z) = hj(z), z Bn, j=Линейно-инвариантные семейства и по п. (б) теоремы А ord R = ord K =. Таким образом, R является экстремальной функцией в неравенстве (2).

Переходим к анализу некоторых утверждений из работы [4]. Эта работа содержит 6 теорем, из которых 3 (теоремы 1, 4 и 5), к сожалению, снабжены доказательствами, существенно использующими все то же равенство (5.3) из [2]. В теореме 1 из [4] это равенство дано под номером (6). В этой тео реме рассматриваются отображения f : Bn+1 - Cn+1, определяемые следующим образом. Пусть z = (z1,..., zn) Cn, Z = (z, zn+1) Cn+1. Тогда f(Z) = (f(z), zn+1(Jf (z))1/(n+1)), f M(n) л.-и.с. порядка. Множество таких отображений f обозначается через F.

n+ Теорема 1 [4]. ord [F ] =.

n+Опять мы дадим доказательство, отличающееся от данного в [4] не только справедливостью, но и общностью.

Теорема 6. Пусть M(n) л.-и.с. порядка из L Sn. Обозначим Fn+1 = {F L Sn+1 : |JF (z1, 0)| = |Jf (z1, 0 )|(n+2)/(n+1), f M(n)};

n+здесь 0 нуль в Cn, 0 нуль в Cn-1. Тогда ord [Fn+1] =.

n+ Заметим, что ранее определенное семейство F содержится в Fn+1, поэтому теорема 1 из [4] следует из теоремы 6.

Доказательство теоремы 6. Рассмотрим семейство функций n+M(1) = p L S1 : |p (z1)| = |Jf (z1, 0 )|, f M(n).

По следствию 1 M(1) л.-и.с. порядка. Как и в теореме 5, рассмотрим n+множество отображений n+{M(1)}n+1 = {F L Sn+1 : |JF (z1, 0)| = |p (z1)|, p M(1)} n+n+= {F L Sn+1 : |JF (z1, 0)| = |Jf (z1, 0 )|, f M(n)}.

Следовательно, {M(1)}n+1 = Fn+1, и по теореме n + ord [Fn+1] = ord [{M(1)}n+1] = ord M(1).

2 n+Но, как замечено выше, ord M(1) =. Поэтому ord [Fn+1] =, и n+1 n+теорема 6 доказана.

Заметим, что теорема 5 получается (n - 1)-кратным применением теоремы 6.

Ниже мы даем доказательства теорем 4 и 5 из [4]. Эти доказательства снова опираются на теорему А и метод понижения размерности.

В теореме 4 из [4] речь идет об отображениях вида n n j F (z) = z (fj(zj)/zj), z = (z1,..., zn) Bn, j 0, j = 1, j=1 j=fj() произвольные конформные и однолистные отображения круга B на звездообразную относительно точки 0 область, fj(0) = 0, fj(0) = 1 (класс таких звездообразных функций обозначают через S). В [4] множество всех таких отображений F обозначается через S и доказывается, что эти F (z) биголоморфны в Bn и отображают шар Bn на звездообразную область относительно нуля. Как и раньше, обозначаем через [S] линейно-инвариантную оболочку класса S, т. е. наименьшее л.-и.с., содержащее S.

860 П. Личберский, В. В. Старков 3n+Теорема 4 [4]. ord [S] =.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится также Лемма [8, теорема 2.4]. Если функция h голоморфно и однолистно отображает круг B на выпуклую область, h(0) = 0, h (0) = 1 (класс таких выпуклых функции обозначим через K ) и K B произвольный открытый круг, то h(K) выпуклая область.

Доказательство теоремы 4 из [4]. Поскольку функция () принадлежит S тогда и только тогда, когда существует такая выпуклая функция h K, () что = h () (см., например, [9, с. 204]), то любое отображение F S можно z записать в виде n j F (z) = z (h (zj)), hj K, (12) j j= j имеют прежний смысл. Обозначим л.-и.с. [S] через Fn, = ord Fn. Пусть M(1) = [Fn] = {g(z1) L S1 : |g (z1)|(n+1)/2 = |JG(z1, 0,..., 0), G Fn}.

Тогда по следствию 1 из § 1 M(1) л.-и.с. и ord M(1) =. Семейство Fn n+состоит из таких отображений G(z), что JF ((z))J(z), A n F S.

|JG(z)| =, JF ((0))J(0) Поэтому семейство M(1) состоит из таких функций g(z1), что JF ((z1, 0 ))J(z1, 0 ), (13) |Jg(z1)|(n+1)/2 = |g (z1)|(n+1)/2 = JF ((0))J(0) здесь 0 нуль в Cn-1, F и имеют прежний смысл. Как и в доказательстве теоремы 5, запишем автоморфизм (z) в виде = Una (Un унитарная матрица, a = (a,..., a ) Bn), и обозначим A = Una = (a1,..., an), u = 1 n (u1,..., un) первый столбец матрицы Un. Тогда, как и прежде, (z1, 0 ) = A(Un(z1, 0 )) = A(z1u) = (1(z1u),..., n(z1u)), где ak - sz1uk + (s - 1)akz1 u,A ak A 2 - z1rk k(z1u) = =, 1 - z1 u, A 1 - z1a u, A rk = suk + (1 - s)ak, k = 1,..., n.

A Заметим, что rk B, так как uk B и ak u,A B при A = 0. Действительно, A u, A Un(ak, 0 ), Una (ak, 0 ), a aka ak = = = ;

A 2 A 2 A 2 A a aka1 a если теперь |ak|, то |ak|2 A 2 и rk B, если |ak|, то 1 aka |a|2 a 2 = A 2.

Для отображения F, определенного формулой (12), вычислим якобиан JF (z). Обозначим F = (F1,..., Fn), n j Fk(z) = zk (h (zj)), k = 1,..., n.

j j=Линейно-инвариантные семейства Тогда h (zj) j jFk(z) при k = j, Fk(z) h (zj) j = zj Fk(z) h (zk) k + kFk(z) при k = j zk h (zk) k и 1h (z1) 1 h (zk) h (zn) Fk(z) = Fk(z),..., + k k,..., n n.

h (z1) zk h (zk) h (zn) n 1 k Следовательно, 1 2 n + 1 h (z1) 2 h (z2)... n h (zn) F z1 h (z1) h (z2) h (zn) 1 2 n 1 F -... n z1 z.

......

JF (z) = = Fk(z).

......

k=.

......

1 Fn - 0...

z1 zn результат вычитания первой строки определителя JF из каждой последующей. Расписывая последний определитель по элементам 1-й строки, получим n 1 h (z1) 1 h (z2) JF (z) = Fk(z) + 1 1 + 2 z1 h (z1) z2... zn h (z2) z1z3... zn 1 k= h (z3) 1 h (zn) + 3 3 + · · · + n n h (z3) z1z2z4... zn h (zn) z1z2... zn-3 n n n n n n Fk(z) zkh (zk) zkh (zk) k = 1+ k k = (h (zk)) 1+ k k.

k zk h (zk) h (zk) k k k=1 k=1 k=1 k=Поэтому из (13) имеем n n k h ak-z1rk k 1-z1a n-k= 1 |g (z1)|(n+1)/2 = n 2n - z1a k (h (ak)) n 1 - z1a k k= ak-z1rk n n k ak - z1rk h h (ak) 1-z1a + k 1 + kak k. (14) h (ak) 1 - z1a h ak-z1rk k 1 k k=1 1-z1a k=Если aak = rk, то из леммы следует, что функция hk ak-z1rk - hk(ak) 1-z1a Hk(z1) = = z +...

h (ak) aak - rk k выпуклая, причем h ak-z1rk k 1-z1a Hk(z1) = 2.

h (ak) 1 - z1a k - Если aak = rk, то Hk(z1) примет вид 1 - z1a и также будет производ1 ной выпуклой функции. Следовательно, для рассматриваемых значений k n k функция H (z1) = (Hk(z1)) производная выпуклой функции H(z1), что k=862 П. Личберский, В. В. Старков следует из условия выпуклости функции H: Re{1 + z1H (z1)/H (z1)} > 0 в B (см. [9, с. 165–166]). Из того же условия выпуклости получаем, что числитель и знаменатель в последнем множителе в правой части (14) имеют положительную вещественную часть в B. Поэтому существует такое (-/2, /2], что функция, стоящая под знаком модуля в последнем множителе в правой части (14) (обозначим ее через p(z1) = 1 +... ), удовлетворяет условию Re{eip(z1)} > в B. Следовательно, функция eip(z1) - i sin q(z1) = = 1 +...

cos принадлежит классу Каратеодори, т. е. Re q(z1) > 0 в B. Используя известную 2|z1| в классе Каратеодори оценку |q(z1)| (она вытекает из интегрального 1-|z1| представления в этом классе), получим 2|z1| 1 + |z1| |p(z1)| = |i sin +q(z1) cos | = |ei +(q(z1)-1) cos | 1+cos.

1 - |z1| 1 - |z1| В новых обозначениях равенство (14) перепишется в виде n- 1 |g (z1)|(n+1)/2 = |H (z1)|n - z1a |p(z1)|.

Из неравенства для производных выпуклых функций (см. [9, с. 508–510]) имеем |H (z1)|. Отсюда вытекает оценка в B (1-|z1|) n- 2n 1 - z1a n+2n+(1 + |z1|) (1 + |z1|) |g(z1)|.

4n+(-|z1|)2n+2n+(1 - |z1|) 3n+Из этой оценки и из п. (а) теоремы А получаем ord M(1). Поскольку, с n+2 3n+другой стороны, ord M(1) = по следствию 1, то.

n+1 Теперь рассмотрим конкретный пример отображения G Fn: 1 = 1, zh1(z1) =, U = I (единичная матрица), a = A = (a1, 0 ), a1 < 0, 0 нуль 1+zиз Cn-1 (следовательно, u1 = 1 = r1). Простые вычисления показывают, что в этом случае H (z1) = (1 - z1)-2, p(z1) = (1 + z1)/(1 - z1) (обозначения прежние).

Поэтому при z1 (0, 1) 2n n+2n+(1 + |z1||a1|)n-1(1 + |z1|) (1 + |z1|) |g(z1)| = ----.

4n+(1 - |z1|)2n+1 a1-2n+(1 - |z1|) 3n+Значит, ни при каком < не может выполняться неравенство |g (z1)| -n+(1+|z1|) в B для всех g M(1). По п. (а) теоремы А это означает, что +n+(1-|z1|) 3n+1 3n+. Следовательно, =. Теорема доказана.

2 В теореме 5 из [4] рассматривается множество отображений F = {f L Sn : Jf (z) 1} и утверждается, что порядок линейно-инвариантной оболочки [F ] минимальный.

n+Теорема 5 [4]. ord [F ] =.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.