WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Сибирский математический журнал Июль август, 2001. Том 42, № 4 УДК 517.54+517.55 ЛИНЕЙНО–ИНВАРИАНТНЫЕ СЕМЕЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ШАРА, МЕТОД ПОНИЖЕНИЯ РАЗМЕРНОСТИ П. Личберский, В. В. Старков Аннотация: Понятие линейно-инвариантного семейства отображений шара в C введено в работе Pfaltzgraff J. A. Distortion of locally biholomorphic maps of the n-ball // Complex Variables. 1997. V. 33. P. 239–253 ; оно обобщает классический случай n = 1, изучавшийся ранее Х. Поммеренке, а затем и другими авторами.

В этой работе Пфальцграфф, в частности, получил и использовал неверное равенство (5.3). Применение этого равенства было положено в основу некоторых утверждений не только в указанной работе. В результате отдельные теоремы оказались недоказанными.

Предлагается метод (понижения размерности), позволяющий спасти доказательства и получить новые результаты в линейно-инвариантных семействах отображений шара. Идея метода проста и заключается в редукции задачи, поставленной для линейно-инвариантных семейств в Cn, к задаче для классического случая круга (n = 1). Библиогр. 12.

Введение Обозначим через Bm единичный шар {z = (z1,..., zm) Cm : z = m z, z < 1}, где ·, · скалярное произведение, a A множество всех биголоморфных автоморфизмов шара Bm. Пусть Dkf(z) k-й дифференциал Фреше отображения f в точке z. Тогда Jf (z) = det Df(z) якобиан f, а D2f(z)(w, ·) линейный ограниченный оператор из Cm в Cm, который является сужением симметричного билинейного оператора D2f(z) на w Cm.

Обозначим через L Sm множество всех локально биголоморфных отображений f : Bm - Cm (Jf (z) = 0 для z Bm), нормированных условием: Df(0) = I единичная матрица, f(0) = 0.

Понятие линейно-инвариантного семейства (л.-и.с.) голоморфных в круге B = B1 = {z C : |z| < 1} функций впервые было введено и изучалось Поммеренке в [1]. Линейная инвариантность семейства M локально однолистных в B функций f(z) = z +... означает, что наряду с каждой функцией f M этому семейству принадлежит и функция f((z)) - f((0)) = z +... (1) f ((0)) (0) при любом конформном автоморфизме (z) круга B. Многие известные классы конформных отображений круга B являются л.-и.с.

В дальнейшем понятие линейной инвариантности обобщалось многими авторами в различных направлениях. В 1997 г. в [2] понятие л.-и.с. было перенесено на локально биголоморфные отображения шара Bm, m > 1; в [2] изучались © 2001 Личберский П., Старков В. В.

850 П. Личберский, В. В. Старков л.-и.с. таких отображений. Следует также заметить, что еще ранее подобное обобщение было предпринято в [3] для случая m = 2.

m По аналогии с (1) для каждого A на множестве L Sm определим оператор : [f](z) = (D(0))-1(Df((0)))-1(f((z)) - f((0))), z Bm, и дадим необходимые определения.

Определение 1 [2]. Семейство M L Sm называется линейно-инвариm антным, если для любых f M и A значение [f] принадлежит семейству M.

Ярким примером л.-и.с. является класс Kn биголоморфных отображений шара на выпуклые области.

Определение 2 [2]. Порядком л.-и.с. M называется число m m j tr ord M = sup sup D2g(0)(w, ·) = sup sup gjk(0)wk, 2 gM w =1 gM w =j=1 k=j 2gj где gik =, gj j-я координатная функция отображения g. Порядком zizk m отображения f L Sm называется порядок л.-и.с. {[f] : A }, порожденного отображением f.

Символ tr здесь обозначает след матрицы. Порядок л.-и.с. оказался очень важной числовой характеристикой семейства как в случае m = 1, так и при m > 1 многие свойства л.-и.с. зависят только от порядка семейства. В случае m = 1 определение 2 является классическим определением порядка л.-и.с. M f (0).

(см. [1]): ord M = sup fM Определение 3. Пусть F некоторое множество из L Sm. Линейноинвариантной оболочкой множества F, обозначаемой через [F ] = {[f] :

m f F, A }, называется наименьшее л.-и.с., содержащее F.

Определение 4 [2]. Семейство U(m) = {f L Sm : ord f } называется универсальным л.-и.с. порядка.

m+В [2] показано, что U(m) = для <, а также что (i) компактное л.-и.с. имеет конечный порядок, (ii) л.-и.с. всех нормированных в нуле биголоморфных отображений шара Bm имеет бесконечный порядок.

Кроме того, там доказана теорема искажения в U(m) : если ord f =, то m+1 m+(1 - z )- (1 + z )- |Jf (z)|, z Bm, (2) m+1 m+2 (1 + z )+ (1 - z )+ и утверждалась точность этого неравенства, исходя из того, что в (2) достигается равенство для отображения K(z) = (k(z1), z2 k(z1),..., zm k(z1)), где 2/(m+1) m + 1 1 + z1 (1 + z1)-(m+1)/k(z1) = - 1 JK (z) =, 4 1 - z1 (1 - z1)+(m+1)/Линейно-инвариантные семейства ord K =. Однако при доказательстве равенства ord K = было использовано следующее равенство (5.3) из [2]:

log(| det Df(w)|(1 - w 2)(m+1)/2) 1 w 1 + w = -Re tr D2g(0),. log, (5.3) 2 w 1 - w в котором f L Sm, g = [f](z), w Bm. Это равенство неверно (при переходе к (5.3) интегрированием предыдущего равенства допущена непоправимая ошибка, кроме того, w и g жестко связаны, о чем авторы забывают при использовании (5.3)), об этом свидетельствует хотя бы простой пример: m = 1, f(z) = z. Тем не менее неравенство (2) действительно является точным и равенство ord K = справедливо. Это доказано ниже в § 2 применением метода понижения размерности, разработанного в § 1. Более того, в § 2 показано, что множество экстремальных для неравенства (2) отображений огромно любая голоморфная в Bm функция h(z) = 0 порождает целое семейство таких экстре мальных отображений.

К сожалению, использование заманчивого, но обманчивого равенства (5.3) из [2] вышло за рамки работы [2]. Нам известны результаты нескольких авторов, использовавших (5.3) (часть из них еще не опубликована); так, половина результатов из [4] получена при существенном использовании (5.3). С помощью метода понижения размерности удается спасти те утверждения из [2, 4], доказательство которых получено с использованием равенства (5.3), и прийти к новым результатам.

В § 3 приводятся некоторые новые результаты в U(m), в частности, дана оценка Df(z), f U(m).

В этой работе мы рассматриваем только л.-и.с. конечного порядка.

§ 1. Метод понижения размерности Определение 2 порядка отображения при m 2 выглядит довольно сложным, однако эта числовая характеристика отображения имеет простую и тесную связь с якобианом отображения. Сформулируем соответствующий результат из [5] (полный текст статьи опубликован в [6]):

Теорема А. (а) Если f L Sm, то m+(1 + z )- m ord f = inf > 0 : |J [f](z)|, A, z Bm.

m+ (1 - z )+ (б) Если f1, f2 L Sm и |Jf (z)| = |Jf (z)| для всех z Bm, то ord f1 = 1 ord f2.

Таким образом, порядок отображения f оказывается зависимым только от якобиана |Jf (z)|.

Суть метода понижения порядка состоит в том, чтобы задачу, поставленную для л.-и.с. в Bm, трансформировать в задачу для л.-и.с. в круге B1 и воспользоваться для решения полученной задачи огромным арсеналом средств теории л.-и.с. аналитических в круге функций. Для формулировки теоремы, устанaвливающей такую связь между л.-и.с. в Bm и л.-и.с. в шаре меньшей размерности, дадим необходимые определения.

Будем обозначать через M(m) л.-и.с. из L Sm, подчеркивая тем самым размерность шара, в котором определены рассматриваемые отображения. Если 852 П. Личберский, В. В. Старков z = (z1,..., zn) Cn, то будем обозначать через Z = (z, zn+1) соответствующую точку из Cn+1.

Пусть M(n + 1) л.-и.с. порядка. Обозначим J[M(n + 1)] = {h : Bn - (0, ) : h(z) = |JF (z, 0)|, F M(n + 1)}, (3) n+n+[M(n + 1)] = f L Sn : |Jf | J[M(n + 1)].

Заметим, что семейство [M(n + 1)] непусто. Действительно, фиксируем какоелибо отображение F M(n + 1) и положим n+n+q(z) = (JF (z, 0)), z Bn (q голоморфная в шаре Bn функция, q(0) = 1). Если z p(z) = q(s, z2,..., zn)ds, z2,..., zn, f(z) = (Dp(0))-1p(z), z Bn, то f [M(n + 1)], поскольку n+ n+ n+2 n+q(z) n+1 n+|Jf (z)| = | det((Dp(0))-1Dp(z))| = q(0) n+ n+n+n+= |JF (z, 0)| = |JF (z, 0)|.

n+Теорема 1. [M(n + 1)] л.-и.с. и ord[M(n + 1)] =.

n+Доказательство. Первая часть утверждения теоремы будет доказана, n если мы покажем, что для любых f [M(n + 1)] и A значение g = [f] принадлежит [M(n + 1)]. Фиксируем вышеуказанные f и. Известно (см. [7, с. 36]), что существуют такие унитарная матрица n-го порядка Un и точка a Bn, что = Una, где a - sz + (s - 1)Pa(z) a(z) =, z Bn, (4) 1 - z, a и z,a a при a = 0, a Pa(z) = s = sa = 1 - a 2.

0 при a = 0, С другой стороны, существует отображение F M(n + 1), удовлетворяющее условию n+n+|Jf (z)| = |JF (z, 0)|, z Bn. (5) Обозначим через Un+1 унитарную матрицу (n + 1)-го порядка, которая получается из матрицы Un добавлением вектора (0,..., 0, 1) в качестве (n + 1)го столбца и (n + 1)-й строки. Положим (z, zn+1) = Un+1A(z, zn+1), где A-SZ+(S-1)PA(Z) A = (a, 0) Bn+1, A(Z) =, 1- Z,A Z,A A при A = 0, A PA(Z) = S = SA = 1 - A 2.

0 при A = 0, Обозначим G(Z) = [F ](Z). Поскольку F принадлежит л.-и.с. M(n + 1), то и G принадлежит M(n + 1). Поэтому JF (Un+1A(z, 0))J (z, 0) A |JG(z, 0)| = J[M(n + 1)].

JF (Un+1A(0))J (0) A Линейно-инвариантные семейства Так как A = a, S = s, PA(Z) = (Pa(z), 0), A(z, 0) = (a(z), 0), Un+1A(z, 0) = (Una(z), 0), то, учитывая (5) и формулу для |J (Z)| (см. [7, A с. 36]), запишем n+ n+ Jf (Una(z)) |JG(z, 0)| =.

Jf (Una(0)) |1 - z, a |n+Отсюда, используя равенство n+n+s n+|J (z)| = = |J (Z)| a A |1 - z, a | (см. [7, с. 36]), получим n+ n+ n+Jf ((z))J(z) n+|JG(z, 0)| = = |Jg(z)|.

Jf ((0))J(0) n+n+Следовательно, |Jg| J[M(n + 1)] и g [M(n + 1)]. Это доказывает линейную инвариантность семейства [M(n + 1)].

Вычислим ord[M(n + 1)]. Если g L Sn и z = w, где w Bn, [0, 1), то (см. [2, 6]) d log Jg(w) = tr{(Dg(w))-1D2g(w)(w, ·)}. (6) d Поскольку ord M(n + 1) =, по неравенству Пфальцграффа (2) для любого отображения F M(n + 1) имеем n+(1 + Z )- |JF (Z)|, Z Bn+1.

n+(1 - Z )+ Поэтому для каждого g [M(n + 1)] справедливо неравенство n+ n+2 n+(1 + z )- |Jg(z)|, z Bn, n+(1 - z )+ которое при z = 0 обращается в равенство. Тем самым его можно дифференцировать по = z в точке = 0 (предварительно прологарифмировав) с сохранением знака неравенства:

d n + 1 n + 2 n + 2 n + Re log Jg(w) - + + = 2. (7) d n + 2 2 2 n + =Теперь из (6) и (7) и линейности функционала w - tr D2g(0)(w, ·) получим n + max | tr D2g(0)(w, ·)| 2.

w =1 n + Тогда по определению n + ord[M(n + 1)].

n + Осталось проверить выполнение неравенства n + ord[M(n + 1)].

n + 854 П. Личберский, В. В. Старков Из п. (a) теоремы А и равенства ord M(n + 1) = следует, что для любого > существуют F M(n + 1) и Z Bn+1 такие, что n+(1 + Z )-- |JF (Z)| >.

n+(1 - Z )-+ Очевидно, существует такая унитарная матрица Un+1, что (Un+1)-1Z = V = (v, 0), где v Bn. Обозначим G(Z) = (Un+1)-1F (Un+1Z). Ясно, что G M(n + 1) в силу линейной инвариантности. Поскольку JG (Z) = JF (Un+1Z), имеем JG (V) = JF (Z). Следовательно, n+(1 + v )-- |JG (V)| >, n+(1 - v )-+ так как v = Z. Из определения [M(n + 1)] вытекает существование n+n+отображения f [M(n + 1)], для которого |Jf (z)| = |JG (z, 0)|. Поэтому для такого f n+1 n+n+2 n+(1 + v )(-) n+|Jf (v)| = |JG (V)| >.

n+1 n+n+2 (1 - v )(-) n+Из последнего неравенства и п. (а) теоремы А имеем ord[M(n+1)] > (-).

n+n+В силу произвольности > 0 получаем ord[M(n + 1)]. Теорема n+доказана.

Далее мы дадим два обобщения формулировки теоремы 1. Для произвольного фиксированного k {1,..., n + 1} и z = (z1,..., zn) Bn обозначим Z = (z1,..., zk-1, 0, zk,..., zn) Bn+1. По аналогии с данными выше обозначениями определим Jk[M(n + 1)] = {h : Bn - (0, ) : h(z) = |JF (Z)|, F M(n + 1)}, n+n+[M(n + 1)] = f L Sn : |Jf | Jk[M(n + 1)].

k В частности, Jn+1[M(n + 1)] = J[M(n + 1)], [M(n + 1)] = [M(n + 1)].

n+Теорема 2. Для любого фиксированного k {1,..., n + 1} семейство n+[M(n + 1)] является л.-и.с. из L Sn и его порядок равен, где = k n+ord M(n + 1).

Для доказательства этой теоремы достаточно лишь несколько изменить доказательство теоремы 1.

При доказательстве линейной инвариантности [M(n + 1)] нужно заменить k точку (z, 0) Bn+1, где z = (z1,..., zn) Bn, точкой (z1,..., zk-1, 0, zk,..., zn) Bn+1, точку A точкой (a1,..., ak-1, 0, ak,..., an), а матрицу Un+1 матрицей n+Uk порядка n + 1, которая получается из матрицы Un добавлением к ней в качестве k-го столбца и k-й строки вектора (0,..., 1,..., 0) (с единицей на k-м месте).

При вычислении ord[M(n + 1)] вместо матрицы Un+1 надо взять такую k n+1 n+унитарную матрицу Uk, что (Uk )-1Z = (v1,..., vk-1, 0, vk,..., vn) = V,k, где (v1,..., vn) Bn. В остальном доказательство теоремы 2 повторяет доказательство предыдущей теоремы.

Линейно-инвариантные семейства Теперь фиксируем l {1,..., n} и возрастающую конечную последовательность чисел k1,..., kl {1,..., n+1}. Если координаты точек Z = (Z1,..., Zn+1) Cn+1 и z = (z1,..., zn+1-l) Cn+1-l удовлетворяют соотношению zj при 1 j < k1, zj-i при ki-1 < j < ki, i = 2,..., l - 1, Zj = zj-l при kl < j n + 1, 0 при j = ki, i = 1,..., l, - то будем писать Zk - - z. В частности, если l = 1 и k1 = k, то (z1,..., zk-1, 0,,...,kl zk,..., zn) (z1,..., zn), a (z1,..., zn, 0)n+1(z1,..., zn). Для любого фиксироk ванного l {1,..., n}, любой возрастающей последовательности k1,..., kl - {1,..., n + 1} и Zk - - z обозначим,...,kl Jk,...,kl[M(n + 1)] = {h : Bn+1-l - (0, ) : h(z) = |JF (Z)|, F M(n + 1)}, n+n+2-l [M(n + 1)] = f L Sn+1-l : |Jf | Jk,...,kl[M(n + 1)].

k1,...,kl Теорема 3. Для любого фиксированного l {1,..., n} и любого фиксированного набора чисел k1,..., kl {1,..., n + 1} семейство [M(n + 1)] k1,...,kl n+2-l является л.-и.с. из L Sn+1-l и его порядок равен, где = ord M(n + 1).

n+Доказательство этой теоремы получается l-кратным последовательным применением теоремы 2.

При l = n из теоремы 3 получаем Следствие 1. Пусть M(n + 1) л.-и.с. порядка. Обозначим через нуль в Cn и n+M(1) = p(z1) L S1 : |p (z1)| = |JF (z1, 0)|, F M(n + 1), z1 B.

Тогда M(1) л.-и.с. и ord M(1) =. Более того, если ord M(n + 1) = n+n+(наименьшее возможное значение для непустого л.-и.с.), то ord M(1) = и, следовательно, M(1) является классом однолистных выпуклых функций в единичном круге B (см. [1]).

Теперь мы дадим еще одно обобщение теоремы 1, заменив в определении множества J[M(n + 1)] условие zn+1 = 0 условием zn+1 = c, c B. Пусть M(n + 1) л.-и.с. порядка. Фиксируем c B. Обозначим s = 1 - |c|2, JF (sz, c), F M(n + 1), Jc[M(n + 1)] = h : Bn - (0, ) : h(z) = JF (0, c) n+n+[M(n + 1)]c = f L Sn : |Jf | Jc[M(n + 1)].

Теорема 4. Для любого фиксированного c B семейство [M(n + 1)]c n+является л.-и.с. из L Sn и ord[M(n + 1)]c =.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.