WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Асимптотическая устойчивость стационарного режима Пусть sk(t) = Uk(t), где оператор-функции Uk (k = 1,..., ) определены в (5.3). Из оценки (3.10) для полугруппы сдвигов и равенств (5.3) cледует, что для всех k = 1,..., выполняются неравенства t sk(t) K sk-1(h) dh, t > t, t-t где s0(t) = (t - t) и функция Хевисайда. Умножив последнее неравенство на exp(-µt), µ R, для всех t > t будем иметь t sk(t)eµt K eµ(t-h)sk-1(h)eµh dh r sup{eµhsk-1(h), t > h > t - t}, t-t где r = r(µ) = qv(tµ)-1(eµt - 1). Рекурсивно применяя это неравенство, придем к оценке eµtsk(t) rk sup{s0(h)eµh, t > h > 0} rkeµt, t > t.

Точно такое же неравенство выполняется для t (0, t).

Предположим, что µ выбрано так, что max(r(-µ), r(µ)) < 1, и s (t) = n sk(t). В силу финитности оператор-функций Uk операторы U(t) для всех k=n t > nt допускают оценку -t) U(t) s (t) rn(1 - r)-1eµ(t, t > nt.

n Но re-µt = r(-µ), откуда следует неравенство (t) max(1, eµt )[r(-µ)]n(1 - r(µ))-1, t > nt.

В этом неравенстве правая часть стремится к нулю при t в том и только в том случае, когда неравенство max(r(-µ), r(µ)) < 1 имеет решения. Такие решения существуют, если и только если qv = r(0) < 1, а этому условию по определению удовлетворяет быстрое течение. Теорема 1 доказана.

7. Сглаживание возмущений и затухание старших норм Продолжим доказательство теоремы 2. Нам потребуется дополнительная информация о лагранжевых координатах a,.

Напомним, что путь жидкой частицы, находящейся в точке x в момент времени t параметризуется решением X(s, x, t) задачи Коши (3.1) (см. § 3). Время (x, t) и место a(x, t) рождения частиц выражаются через отображение X по правилам (3.2)–(3.3). Поскольку в сквозном течении время полного протекания t конечно, для всех t > t время рождения частиц положительно всюду в D и выражается равенством (3.6) (см. предложение 3.1), так что = t - t+, где t+ = t+(x) время протекания. Но время рождения жидкой частицы, очевидно, постоянно вдоль ее пути, а потому функция удовлетворяет уравнению (t + Lv) = 0. Полагая в нем = t - t+, найдем, что функция t+ решение задачи Коши Lvt+ = 1, t+|S+ = 0. (7.1) 852 A. Б. Моргулис, В. И. Юдович Вместе с тем по предложению 3.2 для всех t > t место рождения любой частицы совпадает с проекцией a+(x) точки x D на вход потока S+ вдоль линии тока, проходящей через точку x. Таким образом, время протекания t+ удовлетворяет функциональному уравнению X(0, x, t+) = a+ S+. (7.2) Поскольку сквозное течение не имеет точек покоя, гладкость функции t+ определяется лишь гладкостью входа и поля v. В частности, введенное в начале статьи предположение H3 о гладкости основного течения обеспечивает дифференцируемость функции t+ в области D, и, следовательно, дифференцируемость функций a,, в области D {t > t}. Например, градиент времени протекания t+ определяется из уравнения (7.2). Он имеет вид t+ = -1(X+(x))n(a+(x)), (7.3) где вектор n орт внешней нормали к S+, оператор X+(x) : R2 Rпредельное значение дифференциала X (s, x, t) отображения x X(s, x, t) при s (x, t) и сопряженный оператор отмечен верхним индексом.

Оценка оператора X выводится из задачи Коши (3.1). Она имеет вид |X (s, x, t)| exp[(t - s)Mx], s ((x, t), t), x D; (7.4) здесь Mx есть верхняя грань величин |v|(y), когда точка y пробегает отрезок линии тока поля v, соединяющей точку x со входом. Существенно, что эта оценка равномерна по t: в силу условия полного протекания t - (x, t) < t для всех x D и t > 0.

Применим неравенство (7.4) для оценки производных функции t+ (см. (7.3)). Положив t > t и s = t - t+ в неравенстве (7.4), найдем, что |t+|(x) -(a+(x)) exp[t+(x)Mx]. (7.5) Заметим еще, что при условии полного протекания в области течения D можно ввести координаты функция тока время протекания t+. В силу равенства v = производная Lvt+ якобиан преобразования x ((x), t+(x)), который равен единице (см. уравнение (7.1)). Таким образом, преобразование x ((x), t+(x)) cохраняет элемент площади в D.

Вернемся к представлению операторов U(t) полугруппы U в виде ряда теории возмущений (см. § 5). Пусть L2(D) начальное возмущение и (t) = U(t). Тогда (t) = 0(t) + k(t), k=где k(t) = Uk(t). Здесь операторы Uk определены в равенствах (5.3), 0(t) = U0(t) решение транспортной задачи (2.2) и U0(t) оператор полугруппы сдвигов U0. Поскольку t показатель нильпотентности полугруппы U0, вектор-функции m (m = 0, 1,... ), как и оператор-функции Um, могут принимать ненулевые значения, лишь когда t < (m + 1)t.

Определим оператор C как свертку вида t t [(Cf)(t)](x) = U0(t - s)f(s)(x) = f(X(s, x, t), s) ds, (7.6) (x,t) Асимптотическая устойчивость стационарного режима где X(s, x, t) D решение задачи Коши (3.1). По определению операторов Uk(t) функции k удовлетворяют рекуррентным соотношениям t k(x, t) = -[(C(Kk-1))(t)](x) = - (Kk-1)(X(s, x, t), s) ds, k = 1,..., (x,t) (7.7) где K = G. Просуммировав равенства (7.7) по k, найдем, что на луче t > t возмущение (t) есть решение уравнения t (x, t) = -[(C(K))(t)](x) = - ( G)(X(s, x, t), s) ds. (7.8) (x,t) Заметим, что длина отрезка интегрирования в интегралах (7.6)–(7.8) не превосходит времени полного протекания t.

Существо дела состоит в том, что оператор CK является суперпозицией двух сглаживаний: действия оператора K и интегрирования C вдоль конечных путей жидких частиц. Поэтому в момент времени t > mt (m N) возмущение (t) cостоит из слагаемых k(t) (k m), каждое из которых не менее, чем m-кратно сглаженное решение 0 транспортной задачи (2.2).

Лемма 7.1. Пусть t > t и f L2(D). Тогда функция (Cf)(t) удовлетворяет неравенству (Cf)(t) t sup{ f(s) : s (t - t, t)}. (7.9) Доказательство. Применив неравенство (3.10) для оценки норм операторов U0(t - s), получим t t (Cf)(t) U0(t - s) f(s) ds f(s) ds, 0 t-t откуда следует (7.9). Лемма доказана.

Далее нужно исследовать поведение возмущения вблизи входа S+. Поскольку время протекания t+ положительно в области D и равно нулю на входе, достаточно изучить след возмущения (t) на множестве {t+(x) < } для малого > 0.

Пусть функции, класса C0 [0, ) обладают следующими свойствами:

supp [0, 1), 1 (r) 0, (r) = -1(r/).

Лемма 7.2. Пусть C оператор, определенный в (7.6), функция f принадлежит C(R+, L2(D)) и t > t. Тогда функция (Cf)(t) удовлетворяет предельному равенству lim (t+)(Cf)(t) = 0.

Доказательство. Зафиксируем t > t и положим t (t+(x)) f(X(s, x, t), s) ds dx.

I = [(t+(x))[(Cf)(t)](x)]2 dx = D D (x,t) 854 A. Б. Моргулис, В. И. Юдович Применив неравенство Коши Буняковского для оценки внутреннего интеграла [(Cf)(t)](x), приняв во внимание, что = t - t+, когда t > t, и сменив порядок интегрирования, будем иметь t I -1 f2(X, s) dxds, X = X(s, x, t).

t- E1,(s) Здесь E1,(s) = {(x, t) < s} {t+(x) < } и каждой точке x E1,(s) соответствует точка y = X(s, x, t) D. Ввиду несжимаемости жидкости соответствие x y = X(s, x, t) сохраняет площадь, поэтому mes E1,(s) = mes X(s, E1,(s), t).

Следовательно, t I -1 f2(y, s) dyds, E(s) = X(s, E1,(s), t), tE(s) откуда вытекает оценка I sup f2(x, t) dx + [f2(x, s) - f2(x, t)] dx : s (t -, t). (7.10) E(s) D Поcкольку E1,(s) {t+(x) < } для всех s (t -, t) и при этом mes E(s) = mes E1,(s), с учетом положительности функции t+ и ограниченности области D имеем sup{mes E(s) : s (t -, t)} mes{t+(x) < } 0, 0.

Отсюда с учетом неравенства (7.10) и непрерывности f по L2-норме cледует искомое предельное равенство. Лемма доказана.

Лемма 7.3. Пусть функция принадлежит L2(D) и t > t. Тогда производная (Lv)(t) функции (t) = U(t) вдоль линий тока основного течения принадлежит L2(D) и удовлетворяет неравенству (Lv)(t) c max{ (s), t-t < s < t}, где c = c0 (1 + t( + v )), а константа c0 зависит только от D.

Доказательство. Введем соленоидальное поле w = и запишем оператор -K в виде -K = Lw, где = G функция тока возмущения. Через X обозначим дифференциал отображения x X(s, x, t). В силу его определения X v = v X. Зафиксируем момент времени t > t. Продифференцируем уравнение (7.8) и запишем производную Lv в виде t Lv = (Lw)(a+, ) + I, I = [(Lv(Lw))(X, s)] ds, X = X(s, x, t). (7.11) В силу стационарного уравнения Эйлера Lv = 0, а потому поля v и w = коммутируют. Более того, выполняется равенство w = v, где = () = / производная вихря основного течения по его функции тока (см. § 4, (4.8)). Функция постоянна на линиях тока { = const}. Следовательно, LvLw = (vv · + vjvkjk). Подставим это выражение в интеграл I jk Асимптотическая устойчивость стационарного режима из тождества (7.11) и заметим, что (vv)(X) = s X. Проинтегрировав по частям, приведем интеграл I к виду t I = (Lw)(x, t) - (Lw)(a+, ) - (Lwt)(X, s) ds.

Подставив это выражение в равенство (7.11), получим t (Lv)(x, t) = (Lw)(x, t) - (Lwt)(X, s) ds. (7.12) Далее, производная t есть решение задачи Дирихле -t = Lw - Lv t|S = 0.

Здесь правая часть уравнения Пуассона может быть записана в виде div(w v), а потому имеет место неравенство (t)(t) c0( w + v ) (t), где константа c0 зависит только от D. Теперь оценка производной Lv в L2(D) свелась к оценке величины [C(Lwt)](t). Применив для этого лемму 7.1, получим искомое неравенство. Лемма доказана.

Лемма 7.4. Пусть t > t и L2(D). Тогда возмущение (t) = U(t) принадлежит области определения Domv генератора -Ev полугруппы U.

Доказательство. В силу нильпотентности полугруппы сдвигов U0 ее генератор -Lv (определенный на Domv) имеет L2-ограниченный обратный оператор -T0 (см. § 3). В координатах, t+ оператор Lv имеет вид /t+, а обратный оператор T0 выражается интегралом t+ (T0f)(, t+) = f(, s) ds.

Заметим, что предельное равенство леммы 7.2. выполняется для всех функций вида T0f, f L2(D).

По условию t > t. Следовательно, по лемме 7.3 (Lv)(t) L2(D). Поэтому (t) - T0(Lv)(t) = f+() L2(D). Приняв во внимание лемму 7.2, найдем, что f+ = 0 и (t) = T0Lv(t) Domv. Лемма 7.4 доказана.

Из леммы 7.4 следует утверждение (2) теоремы 1 о гладкости полугруппы U (см. [15, гл. X]), которое, вместе с леммой 7.3 и равенством (7.12) влечет L2-оценку производной t из утверждения (4) теоремы 1, этим доказанного.

Перейдем к изучению гладкости возмущений поперек потока.

Лемма 7.5. Пусть поле v столь регулярно, что v L(D) и = rot v 2,p W (D) при некотором p > 2. Тогда для всех t > t имеет место вложение exp(-tEv)L2 W2 (D)Domv. При этом (t) c sup{ (s), t-t s t}, где c = c0((exp(2tM) - 1)/20M)1/2, M = v,D, 0 = min(1, inf{-(x) : x S+}), а константа c0 не зависит ни от t, ни от t.

Доказательство. Пусть f = -K(t). Поскольку t > t, выполняется равенство (7.8). Продифференцировав его, будем иметь t (x)(x, t) = f(a, )(t+)(x) + x[f(X, s)] ds, X = X(s, x, t). (7.13) 856 A. Б. Моргулис, В. И. Юдович Так как t > t, образ tD области D при отображении t : x (a(x, t), (x, t)) содержится в поверхности S+ (t - t, t). Введем на ней координаты (, h), где длина дуги на S+ и h (t - t, t). Положив = (a(x, t)) и h = (x, t), запишем квадрат L2-нормы функции f(a, )(t+)(x) в виде I1 = [f+(, h)(xt+)]2() ddh, tD где f+ след функции f на поверхности S+ (t - t, t). Применив оценку (7.5) градиента функции t+, получим неравенство t -1 I1 0 f+(, h)e2M(t-h) ddh.

t-t S+ 2,По условию H1 оператор G ограничен L2(D) W (D). Так как по предположению вторые производные вихря cуммируемы со степенью p > 2, имеем 1,включение f = -K(t) = G(t) C([0, ), W (D)). В силу теорем вложения для любого момента времени t > 0 выполняется неравенство f+(t) 2,S+ c0 (t), где величина c0 зависит лишь от гладкости основного течения. Из двух последних неравенств вытекает, что нужная оценка верна для величины I1. Осталось установить ее для второго слагаемого в правой части равенства (7.13). Это делается аналогично выводу оценки величины I1. Следует только применить неравенство (7.4) для дифференциала X отображения X и очевидные оценки f по норме L2(D). Лемма доказана.

Предположения леммы 7.5 о гладкости основного течения вплоть до границы выполняются, например, для сдвиговых потоков. В общем случае, однако, они обременительны, так как граница канала негладкая. Вместе с тем локальная гладкость сквозного течения вполне естественна (см. § 4). Поэтому лемму 7.5 можно применить для оценки производных возмущения на подобласти D области D, ограниченной внутренними линиями тока. Такие подобласти инвариантны для основного течения. Тем самым локальная оценка (x)(t) из утверждения (3) теоремы 2 будет доказана.

Вывод оценок (2.8) высших производных возмущения (t) аналогичен доказательству леммы 7.5. Не задерживаясь на деталях, заметим, что следует учесть m-кратную дифференцируемость полугруппы U на луче t > mt, а для оценки производных функции = G можно применить известные локальные оценки решений эллиптических уравнений (см., например, [16]).

ЛИТЕРАТУРА 1. Кочин М. Е. Об одной теореме существования гидродинамики // Прикл. математика и механика. 1957. Т. 20, № 10. С. 5–20.

2. Юдович В. И. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной несжимаемой жидкости через заданную область // Мат. сб. 1964. Т. 64, № 4. С. 562–588.

.

3. Юдович В. И. О задаче протекания идеальной несжимаемой жидкости через заданную область // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146, № 3. С. 561–564.

4. Кажихов А. В. Замечание к постановке задачи протекания для уравнений идеальной жидкости // Прикл. математика и механика. 1980. Т. 44, № 5. С. 947–949.

5. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

6. Солопенко В. М. Свойство разрешимости нестационарных уравнений Эйлера в терминах H, // Докл. АН СССР. 1989. Т. 305, № 3. С. 567–571.

Асимптотическая устойчивость стационарного режима 7. Алексеев Г. В. Об исчезающей вязкости в двумерных стационарных задачах гидродинамики несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск. Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1972. Вып. 10. С. 5–28.

8. Алексеев Г. В. О единственности и гладкости плоских вихревых течений идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР.1973. Вып. 15. С. 7–18.

9. Моргулис А. Б. Разрешимоcть трехмерной стационарной задачи протекания // Сиб. мат.

журн. 1999. Т. 40, № 1. С. 142–158.

.

10. Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростовна-Дону: Изд-во РГУ, 1984.

11. Юдович В. И. О потере гладкости решений уравнений Эйлера со временем // Динамика сплошной среды. 1974. Т. 16. С. 71–78.

12. Yudovich V. I. On the loss of smoothness of the solutions to the Euler equations and the inherent instability of an ideal fluid flows // Chaos. 2000. V. 10, N 3. P. 705–719.

13. Арнольд В. И. Замечания о поведении течений трехмерной идеальной жидкости при малом возмущении начального поля скоростей // Прикл. математика и механика. 1972.

Т. 36, № 5. С. 255–262.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.