WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Сибирский математический журнал Июль август, 2002. Том 43, № 4 УДК 517.958:532.501.34 АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА ПРОТЕКАНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ A. Б. Моргулис, В. И. Юдович Аннотация: Приведены достаточные условия асипмтотической устойчивости стационарного решения задачи о протекании однородной несжимаемой жидкости сквозь заданную плоскую область. Речь идет о плоской задаче, которая состоит из уравнения Эйлера движения жидкости и граничных условий для ее вихря и нормальной скорости, причем нормальная скорость задается на всей границе области течения, а вихрь лишь на той ее части, сквозь которую жидкость втекает в область. Асимптотическая устойчивость стационарного течения (по линейному приближению) установлена в предположении, что оно не имеет точек покоя и удовлетворяет некоторому условию малости, означающему, что возмущения сносятся за пределы области течения прежде, чем скажется их воздействие на основной поток. В частности, асимптотически устойчивым оказывается любое стационарное течение в прямоугольном канале, близкое к течению Куэтта без точек покоя. Кроме того, показано, что устойчивость основного течения в L2-норме для возмущения вихря влечет его устойчивость в старших нормах, зависящих, например, от производных вихря.

Ключевые слова: несжимаемая жидкость, уравнение Эйлера, устойчивость, асимптотическая устойчивость Введение Рассмотрим задачу протекания идеальной однородной несжимаемой жидкости сквозь заданную область D R2. Уравнения Эйлера движения жидкости запишем в виде tv + v = -H, div v = 0, (0.1) где v скорость жидкости, = rot v, H = P + v2/2 и P давление.

Предположим, что на границе S области течения D в каждый момент времени t 0 задана нормальная (нормаль внешняя) скорость жидкости:

vn = (x, t), x S = D; (0.2) здесь vn = v · n, n орт внешней нормали к S и заданная на S функция.

В силу несжимаемости жидкости необходимо, чтобы функция имела нулевое среднее на поверхности S.

+ Обозначим через St и St соответственно вход и выход течения, т. е. те части границы, сквозь которые жидкость втекает в область и соответственно Исследование, описанное в данной публикации, стало возможным благодаря частичной поддержке Американским фондом гражданских исследований и развития (АФГИР) (грант RM1–2084) и Российским фондом фундаментальных исследований (код проекта 99–15–96188).

© 2002 Моргулис A. Б., Юдович В. И.

Асимптотическая устойчивость стационарного режима вытекает из нее в момент времени t 0. Твердая стенка, т. е. непроницаемая для жидкости часть границы, обозначается через St. Таким образом, + по определению St = {x S : (x, t) < 0}, St = {x S : (x, t) > 0} и St = {x S : (x, t) = 0}.

Задача протекания идеальной жидкости сквозь заданную область возникает, когда нормальная скорость жидкости не равна нулю тождественно. Для ее корректной постановки (в отличие от задачи о течении в замкнутом сосуде) требуется дополнительное граничное условие, которое в каждый момент времени t + ставится на входе St потока в область. Напомним, что первой работой по общей проблеме протекания была статья Н. Е. Кочина [1]. В ней было предложено дополнительное граничное условие вида + (x, t) = +(x, t), x St, t 0, (0.3) где + известная функция. В статьях [2, 3] было установлено, что двумерная задача протекания (0.1)–(0.3)–(0.2) глобально разрешима. Далее будем рассматривать только эту двумерную задачу, называя ее задачей Y.

В общем случае задача (0.1)–(0.3)–(0.2) переопределена, см. [4]. Вместе с тем известны другие граничные условия, приводящие к корректным, но лишь локально по времени задачам для двумерных и трехмерных уравнений Эйлера (см. [4–6]). Имеются и теоремы существования стационарных решений [7–9].

Протекание жидкости сквозь границу области течения включает сложный механизм диссипации накачки: проникая в область течения, жидкие частицы приносят, а покидая ее уносят энергию, энстрофию, кинетический момент и другие материальные величины. Например, cильный эффект накачки возникает, когда вход потока содержит замкнутую кривую c. В таком случае из уравнения движения (0.1) и граничных условий (0.3)–(0.2) следует равенство d v · dx = - + ds. (0.4) dt c c Если функции +, постоянны (или периодически зависят от времени и интеграл в правой части равенства (0.4) имеет ненулевое среднее за период), то циркуляция скорости вокруг контура c линейно растет со временем. Контур c неподвижен, но в каждый момент времени t > 0 от него отрывается и уходит внутрь области течения жидкий контур. По теореме Томсона он сохраняет циркуляцию, сколь угодно большую при достаточно больших t. Таким образом, имеет место генерация ускоряющегося вращения вдувом. При этом стационарных (или периодических) режимов не существует и все решения нестационарной задачи неограниченны.

Вместе с тем энстрофия течения (т. е. квадрат L2(D)-нормы вихря) убывает, когда вихрь тождественно равен нулю на входе. В этом случае диссипация сосредоточена на выходе и может показаться слабой, но в действительности ее результатом может быть асимптотическая (экспоненциальная или даже нильпотентная) устойчивость стационарного режима. О ней и пойдет речь в этой заметке.

1. Определения и постановка задачи Пусть задача Y в области D имеет cтационарное решение с полем скорости v и вихрем. Примем следующие предположения:

842 A. Б. Моргулис, В. И. Юдович (H1) область течения ограниченная, односвязная, кусочно-гладкая и удовлетворяет равномерному условию внешней сферы, при этом граничные дуги области течения пересекаются под углами из интервала (0, );

(H2) нормальная скорость задана так, что вход течения S+ и выход Sсуть связные гладкие дуги без общих концевых точек, причем множество угловых точек области D совпадает с множеством S+ S- точек стыка входа, выхода и твердой стенки;

(H3) cтационарное решение столь регулярно, что v C(D) и C1(D);

(H4) выполнено условие полного протекания, т. е. inf{|v(x)|, x D} > 0, так что течение не имеет точек покоя ни внутри области течения, ни на твердой стенке.

Течение (или его поле скорости v), удовлетворяющее условию H4, назовем сквозным.

Условие односвязности существенно, как видно из приведенного выше примера. Условие полного протекания H4 (т. е. отсутствие застойных зон в течении) принципиально для всех результатов, о которых пойдет речь. Более того, оно в определенной степени оправдывает предположения о гладкости cтационарного решения v (cм. [7, 8]). Дело в том, что вихрь течения, имеющего точки покоя, может терпеть разрывы вдоль сепаратрисных линий тока. Существенно, что условие полного протекания оказывается устойчивым по отношению к малым гладким деформациям граничных данных стационарной задачи Y (см. § 4).

Вместе с тем известно много явных гладких решений (как сквозных, так и не сквозных) стационарной задачи Y. Среди них простейшие сдвиговые течения с прямолинейными или круговыми линиями тока, параллельными твердым стенкам канала.

Пусть, например, (x, y) декартовы координаты, функции V, f0, f1 зависят только от координаты y и принадлежат классу C[0, 1], причем f0(y) < f1(y), когда y [0, 1]. Тогда сдвиговое течение с профилем V и полем скорости v = (V, 0) есть решение некоторой стационарной задачи Y в канале D = {f0(y) < x < f1(y), y (0, 1)}.

Далее мы изучим устойчивость основного режима, удовлетворяющего условиям H1–H4, по линейному приближению.

Задачей LY будем называть начально-краевую задачу, возникающую при линеаризации задачи Y вблизи стационарного решения. В односвязной области D задача LY имеет вид t + Lv + K = 0; |S+ = 0; |t=0 =. (1.1) Здесь введены обозначения: возмущение вихря, Lv = (v, ) оператор + дифференцирования вдоль поля v, S+ = St вход основного течения, K = G и G оператор Грина задачи - = ; |S = 0.

Эволюционный оператор U(t) (t 0) задачи LY (при надлежащем расширении) определен и ограничен в пространстве L2(D), при этом множество U = {U(t)}t>0 cильно непрерывная полугруппа (см. § 5).

2. Теоремы об асимптотической устойчивости Рассмотрим равномерный поток v const в прямолинейном канале длины l. Такое течение нильпотентно устойчиво: любое его возмущение обращается в нуль за время, не превосходящее величины t = l/|v|. (2.1) Асимптотическая устойчивость стационарного режима Это легко проверить посредством явного решения задачи LY.

Если v const, но rot v = const, то из уравнения возмущений (1.1) исключается слагаемое K и задача LY сводится к задаче о переносе пассивного скаляра известным полем скорости v:

t + Lv = 0, |S+ = 0; |t=0 =. (2.2) Для произвольного гладкого поля v транспортная задача (2.2) интегрируется в лагранжевых координатах, которые суть время (x, t) и место a(x, t) появления в области D жидкой частицы, находящейся в момент времени t > 0 в точке x D. Подробнее о них см. в § 3. Сейчас заметим лишь, что в случае сквозного поля v конечна величина t = sup{t - (x, t) : x D, t > 0}, (2.3) а потому любое решение задачи (2.2) будет тождественно нулевым для всех t > t. В частности, каждое сквозное течение с постоянным вихрем нильпотентно устойчиво, причем любое его возмущение обращается в нуль за время, не превосходящее величины (2.3). Далее верхняя грань (2.3) называется временем полного протекания. Для равномерного потока время полного протекания дает формула (2.1).

В общем случае будем рассматривать задачу LY как возмущенную транспортную задачу (2.2), разумеется, не предполагая вихрь несущего поля v постоянным. Простейшее общее условие асимптотической устойчивости связано с безразмерной величиной qv = ;Dt-1/2(D), (2.4) где t время полного протекания, вихрь основного течения и 1(D) минимальное собственное значение первой краевой задачи для оператора (-) в области D. Течение (или его поле скорости v), удовлетворяющее условию qv < 1, назовем быстрым.

Пусть f стандартная норма функции f в пространстве L2(D).

Теорема 1. Быстрое течение экспоненциально асимптотически устойчиво по линейному приближению в метрике энстрофии (т. е. в метрике пространства L2(D) для возмущений вихря). При этом оценку затухания возмущения вихря (t) = U(t) дает неравенство (t) max(1, eµt )[r(-µ)]n(1 - r(µ))-1, t > nt, (2.5) где n = 0, 1,..., функция r определена на всей вещественной оси R равенством r = r(µ) = qv(tµ)-1(eµt - 1), (2.6) а число µ любое решение неравенства max(r(µ), r(-µ)) < 1. (2.7) Замечание 1. Если const, то можно применить теорему 1, полагая при этом qv = 0 и r(µ) 0 (см. (2.4) и (2.6)). В таком случае из неравенства (2.5) следует, что любое возмущение обращается в нуль, когда t > t.

Замечание 2. Любое сдвиговое течение превращается в быстрое после прибавления к его профилю V достаточно большой константы V0. Существенно, что быстрое течение остается таковым при малой гладкой деформации (вызванной, например, возмущением граничных данных задачи Y, cм. § 4) и во 844 A. Б. Моргулис, В. И. Юдович всяком случае, когда C1 малые возмущения вихря. В частности, быстрым оказывается любое стационарное течение, близкое к сквозному течению Куэтта с линейным профилем V.

Важным следствием условия полного протекания является еще и то, что на временах, больших времени полного протекания t, гладкость возмущения (t) = U(t) постепенно улучшается, притом независимо от гладкости его начального значения. Для меньших значений времени t возмущение (t) не будет, вообще говоря, гладким, даже если функция была выбрана гладкой.

Точнее, имеет место Теорема 2. Пусть m натуральное число, функция класса L2(D) и D фиксированная подобласть области D, ограниченная парой различных линий тока поля v и дугами S+ и S-. В условиях H1–H4 справедливы следующие утверждения.

(1) Эволюционный оператор U(t) задачи LY вполне непрерывен L2(D) L2(D) для всех t > t.

(2) Полугруппа U = {U(t)} задачи LY на луче t > mt непрерывно дифференцируема m раз в равномерной операторной топологии. При этом образ оператора U(t) содержится в области определения m-й степени генератора полугруппы U.

(3) Предположим дополнительно, что v (D) и D = D. Тогда для всех C m моментов времени t > mt производные t,x (t) порядка m возмущения (t) = U(t) принадлежат пространству L2(D ), причем выполняются неравенства m t,x (t) c sup{ (s) 2,D : s (t - mt, t)}, t > mt, (2.8) 2,D где константа c зависит, вообще говоря, от числа m, поля v и подобласти D, но не зависит ни от начального возмущения, ни от времени t.

(4) Для всех моментов времени t > t производные возмущения (t)(t) и (Lv)(t) принадлежат пространству L2(D) и удовлетворяют неравенству (2.8), где m = 1, D = D и c = c0 (1 + t( + v )), причем константа cзависит только от D.

Замечание. В неравенстве (2.8) можно положить D = D, когда v C(D). Это предположение может выполняться, например, для сдвиговых течений. В общем случае, однако, даже сквозное решение стационарной задачи Y не обязано быть гладким вплоть до границы области течения из-за наличия угловых точек.

Комбинация теоремы 1 об устойчивости в метрике энстрофии и теоремы приводит к выводу о затухании старших норм возмущений. Сформулируем сперва результат, относящийся к производным возмущения вдоль основного потока.

Теорема 3. В условиях теоремы 1 выполняются неравенства t(t), Lv c max(1, eµt )[r(-µ)]n-1(1 - r(µ))-1, t > nt, где n = 1, 2,..., величина c зависит лишь от основного течения, а вещественные числа µ и r(µ) определены, как в теореме 1.

Эта своеобразная устойчивость относительно старших норм заслуживает особого определения. Именно, пусть банахово пространство X содержит линейное множество X0, на котором определено cемейство полунорм P. Пусть Xp замыкание X0 по норме u p = u X + p(u), p P.

Асимптотическая устойчивость стационарного режима Пусть u(t) решение дифференциального уравнения u = F (u, t) в про странстве X, определенное для всех t > 0. Введем уравнение возмущений v = F (v + u(t), t) - F (u(t), t) (2.9) t и обозначим через N, t > 0, его эволюционный оператор. В [10] было предложено определение устойчивости по Ляпунову в терминах непрерывности эволюционного оператора. Именно, пусть Y банахово пространство. Будем говорить, что решение u дифференциального уравнения u = F (u, t) в пространстве X устойчиво по Ляпунову (X, Y), если (и только если) эволюционный оператор t N уравнения возмущений (2.9) непрерывен X Y в точке v = 0 равномерно по t (0, ).

Пусть на множестве P определена функция d : p d(p), принимающая вещественные положительные значения. Будем говорить, что • решение u(t) (асимптотически) устойчиво с запаздыванием d в шкале (X, P), если оно (X, X)-(асимптотически) устойчиво и для любого фиксированd(p) ного p P оператор N (X Xp)-непрерывен в точке v = 0;

• решение u(t) экспоненциально устойчиво с запаздыванием d в шкале (X, P), если оно экспоненциально устойчиво (X, X) и для любого фиксированd(p) ного p P оператор N (X Xp)-непрерывен по Г в точке v = 0.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.